最新高一数学知识点总结知识讲解精华版.docx
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最新高一数学知识点总结知识讲解精华版
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高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.
集合的含义
2.
集合的中元素的三个特性：
（1）
（2）
元素的确定性如：
世界上最高的山
元素的互异性如：
由
{H,A,P,Y}
HAPPY
的字母组成的集合
（3）
元素的无序性:
如：
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：
{
}如：
{我校的篮球队员}，{太平洋,
大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：
A={
员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：
列举法与描述法。
注意：
常用数集及其记法：
我校的篮球队
非负整数集（即自然数集）
记作：
N
正整数集
集R1）
2）
N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数
列举法：
{a,b,c
}
描述法：
将集合中的元素的公共属性描述
出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x
x-3>2},{x|x-3>2}
R|
3）
语言描述法：
例：
{不是直角三角形的三角
形}
4）
4、集合的分类：
Venn图:
（1）
（2）
（3）
有限集
无限集空集
含有有限个元素的集合
含有无限个元素的集合不含任何元素的集合
例：
{x|x2=－5｝
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二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A
B有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A
与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作
A
B或B
A
2．“相等”关系：
A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：
设A={x|x2-1=0}
合相等”
B={-1,1}
“元素相同则两集
即：
①
任何一个集合是它本身的子集。
A
A
②真子集:
如果A
B,且AB那就说集合A是集合B的真子
集，记作A
B（或B
A）
③如果
AB,B
C,那么A
C
④如果A
B
同时B
A那么A=B
Φ
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为
规定:
空集是任何集合的子集，
子集。
空集是任何非空集合的真
2n
个子集，2n-1
有n个元素的集合，含有
个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b（a>0,a
、b属于Q）
（a^a）^b=a^ab（a>0,a
、b属于Q）
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（ab）^a=a^a*b^a（a>0,a
、b属于Q）
指数函数对称规律：
1、函数
y=a^x
与y=a^-x
关于y轴对称
2、函数
y=a^x
与y=-a^x
关于x轴对称
3、函数
y=a^x
与y=-a^-x
关于坐标原点对称
&对数函数y=loga^x
如果a
0，且a
1，M
0，N
0，那么：
○1
loga（M
·N）
M＋logaN；
log
a
M
N
○2
M－logaN；
log
log
a
a
n
○3
logaM
nlog
（nR）．
M
a
注意：
换底公式
log
log
b
a
c
（a
0，且a
1；c0，且c
1；b
0）．
log
b
a
c
幂函数
y=x^a（a
属于R）
（aR）的函数称为幂
1、幂函数定义：
一般地，形如
y
x
函数，其中
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点
（1，1）；
（2）
0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,
）
上是增函数．特别地，当
1时，幂函数的图象下凸；当
0
（3）
1时，幂函数的图象上凸；
0时，幂函数的图象在区间
）上是减函数．在
（0,
第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在
y轴右方无限
x轴上方无限
地逼近y轴正半轴，当x趋于
地逼近x轴正半轴．
时，图象在
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数
D），把使
y
f（x）（x
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f（x）0成立的实数x叫做函数y
f（x）（xD）的零点。
2、函数零点的意义：
函数yf（x）的零点就是方程
f（x）0
实数根，亦即函数
f（x）的图象与
x轴交点的横坐标。
f（x）的图象与x轴有
y
即：
方程f（x）
0有实数根
函数y
交点
函数yf（x）有零点．
3、函数零点的求法：
○1（代数法）求方程
f（x）0的实数根；
○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函
数y
f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
yax2bx
0）．
c0有两不等实根，二次函
二次函数
c（a
bx
ax2
（1）△＞０，方程
数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax2
c0有两相等实根，二次函
bx
数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二
阶零点．
（3）△＜０，方程ax2
c0无实根，二次函数的图象与
x轴无交点，二次
bx
函数无零点．
三、平面向量
向量：
既有大小，又有方向的量．
数量：
只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：
起点、方向、长度．
零向量：
长度为0的向量．
单位向量：
长度等于1个单位的向量．
相等向量：
长度相等且
方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
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AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点
O出发的两个向量
OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边
形OACB，则以O为起点的对角线
OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则
叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量
a，有：
0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做
a的相反向量，－
（－a）＝a，零向量的相
反向量仍然是零向量。
（1）a＋（－a）＝（－a）＋a＝0
（2）a－b＝a＋（－b）。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相
反，当λ=0时，λa=0。
设λ、μ是实数，那么：
（1）（λμ）a=λ（μa）
（2）（λμ）a=
λaμa（3）λ（a±b）
=
λa±λb（4）（－λ）a=－（λa）=
λ（－a）。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
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向量的数量积
已知两个非零向量
a、b，那么|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?
b，
θ是a与b的夹角，|a|cos
θ（|b|cos
θ）叫做向量a在b方向上（b
在a方向
上）的投影。
零向量与任意向量的数量积为
0。
a?
b的几何意义：
数量积a?
b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cos
θ
的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
y
cosx
y
tanx
数y
sinx
性
质
图
象
定
xx
k
k
R
R
2
义
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域
值
1,1
1,1
R
域
当
x
2k
k
当x
时，
2k
k
2
最
时
，
；
当
1；当
x
2k
既无最大值也无最小
ymax
1
ymax
x
2k
k
时，
1．
值
ymin
值
2
k
时，
1．
ymin
2
2
周
期
性
奇
奇函数
偶函数
奇函数
偶
性
在
2k
2k
在
2
2
2k
2k
k
单
在
k
k
k
上是增函数；在
上
是
增
函
数
；
在
2
2
调
2k
2k
3
2
2k
2k
k
上是增函数．
性
2
k
上是减函数．
k
上是减函数．
对
称
中
心
对
称
中
心
对
称
中
心
对
k
0
k
k
2
k
0
k
0
k
称
2
对
称
轴
性
对称轴
x
k
k
无对称轴
x
k
k
2
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必修四
角
的顶点与原点重合，角的始边与
x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称
为第几象限角．
o
o
o
第一象限角的集合为
k360
k360
90,k
o
o
o
o
第二象限角的集合为
k360
90
k
360
180,k
o
k360
o
180
o
360
o
第三象限角的集合为
k
270,k
o
k360
o
270
o
360
o
第四象限角的集合为
k
360,k
o
终边在x轴上的角的集合为
k
180,k
o
o
终边在y轴上的角的集合为
k
18090,k
o
终边在坐标轴上的角的集合为
k90,k
o
k360
3、与角
终边相同的角的集合为
k
*
n
所在象限的方法：
先把各象限均分
n等
4、已知
是第几象限角，确定
n
份，再从
x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
原来
是第几象限对应的标号即为
终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1弧度．
口诀：
奇变偶不变，符号看象限．
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
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tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，πα的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π
-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
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公式五：
利用公式一和公式三可以得到
2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
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tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
（以上k∈Z）
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα?
cotα＝1
sinα?
cscα＝1
cosα?
secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
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平方关系：
sin^2（α）＋cos^2（α）＝1
1＋tan^2（
α）＝sec^2（α）
1＋cot^2（
α）＝csc^2（α）
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα?
tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα?
tanβ
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倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2（α）－sin^2（
α）＝2cos^2（
α）－1＝1－2sin^2（
α）
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2（
α）
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2（α/2）＝—————
2
1＋cosα
cos^2（α/2）＝—————
2
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1－cosα
tan^2（α/2）＝—————
1＋cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan（α/2）
sinα＝——————
1＋tan^2（
α/2）
1－tan^2（
α/2）
cosα＝——————
1＋tan^2（α/2）
2tan（α/2）
tanα＝——————
1－tan^2（
α/2）
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和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α＋βα－β
sinα＋sinβ＝2sin—----?
cos—---
22
α＋βα－β
sinα－sinβ＝2cos—----?
sin—----
22
α＋βα－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----
?
cos—-----
22
α＋βα－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----
?
sin—-----
22
积化和差公式
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⒏三角函数的积化和差公式
sinα?
cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα?
sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα?
cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα?
sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
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