(完整版)数值分析复习题及答案.doc

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数值分析复习题

一、选择题

1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.

  A．4和3         B．3和2  C．3和4         D．4和4

2.已知求积公式，则＝（）

A．     B．     C．    D．

3.通过点的拉格朗日插值基函数满足（   ）

  A．＝0，       B．＝0，    

  C．＝1，        D．＝1，

4.设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（   ）敛速。

   A．超线性    B．平方      C．线性          D．三次

5.用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（  ）.

      A．   B．    C．   D．　

二、填空

1.设，取5位有效数字，则所得的近似值x=     .

2.设一阶差商，

  则二阶差商

3.设,则       ，       。

4．求方程  的近似根，用迭代公式，取初始值，那么   

5．解初始值问题近似解的梯形公式是

6、，则A的谱半径＝             。

7、设  ，则              和                。

8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都              。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为             。

10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成                             。

11.设,则       ，       .

12.一阶均差                    

13.已知时，科茨系数，那么            

14.因为方程在区间上满足                ，所以在区间内有根。

15.取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式                     .　

16.设是真值的近似值，则有                位有效数字。

17.对,差商（     ）。

18.设,则       。

19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和                      。

20.若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有（    ）位有效数字.

21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则（     ）.

22. 设f（x）可微，则求方程的牛顿迭代格式是（                 ）.

23. 迭代公式收敛的充要条件是           。

24.解线性方程组Ax=b（其中A非奇异，b不为0）的迭代格式中的B称为（        ）.给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为（          ）。

25、数值计算中主要研究的误差有            和            。

26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则          ；    。

27、设是区间上的一组n次插值基函数。

则插值型求积公式的代数精度为        ；插值型求积公式中求积系数                   ；且         。

28、辛普生求积公式具有   次代数精度，其余项表达式为                                               。

29、则。

30.设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值，则x*有       位有效数字。

31.         ，       。

32.求方程根的牛顿迭代格式是          。

33.已知,则           ,         。

34.方程求根的二分法的局限性是            。

三、计算题 

1．设

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足，以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？

3．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

（提示：

利用Simpson求积公式。

）

4． 利用矩阵的LU分解法解方程组

5.已知函数的一组数据：

求分段线性插值函数，并计算的近似值.

6.已知线性方程组

（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；

（2）于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.

7.用牛顿法求方程在之间的近似根

（1）请指出为什么初值应取2？

（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

8.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.　

9．用二次拉格朗日插值多项式的值。

插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

10.用二分法求方程区间内的一个根，误差限。

11.用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。

12.求系数

13.对方程组试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

14.确定求积公式    的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

15.设初值问题 . 

（1）    写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；

（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。

16.取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。

17、已知函数的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。

18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。

19．确定求积公式。

中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度

20、已知一组试验数据如下：

求它的拟合曲线（直线）。

21、用列主元消去法解线性方程组

22.已知

（1）用拉格朗日插法求的三次插值多项式；

（2）求，使。

23确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度

24、用Gauss消去法求解下列方程组

25.试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。

26.取步长h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题

27.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.

28．用牛顿（切线）法求的近似值。

取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。

29、已知数据如下：

求形如拟合函数。

30、用二次拉格朗日插值多项式计算。

插值节点和相应的函数值如下表。

31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长

。

32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。

其中.

简述题：

叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？

..

数值分析复习题答案

一、选择题1.A　2.D　3.D　4.C　5.B

二、填空1、2.31502、3、6和4、1.5

5、6、7、；8、收敛9、10、11.      9和；12. 13. 14.15. ；16、3   ；17、1   ；18、7       ；19、1；20．3；21.；22.；23.；24、.迭代矩阵，   ；25.相对误差 绝对误差26.      1；27.至少是n      ，b-a；28.3   ；29.10；30、4；31、1，0；32、；33、7,6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。

三、计算题 

1．解：

（1）

（2）

2．解：

由，可得，  

3．.解：

数值积分方法构造该数值解公式：

对方程在区间上积分，

得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：

4．解

5.解，         

，

所以分段线性插值函数为

6.解：

原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

高斯－塞德尔迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德尔迭代公式得

7.解：

，，

，，，故取作初始值

迭代公式为

，

，，

，             

方程的根

8.解 梯形公式                         

        应用梯形公式得                   

        辛卜生公式为           

        应用辛卜生公式得

9．解

10.用二分法求方程区间内的一个根，误差限。

解

11.解迭代公式

12.解：

13.解：

调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：

14．4.解

15.解

16.解：

=

1+2（            

           ，

17、解：

差商表

由牛顿插值公式：

18、解：

19．解：

分别将，代入求积公式，可得。

令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。

20、解：

设则可得

于是，即。

21、解：

即

22.解：

23解令代入公式精确成立，得

；

解得，得求积公式

对；故求积公式具有2次代数精确度。

24、解：

本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

故

25.解：

由等式对精确成立得：

解此方程组得

又当时   左边右边

 此公式的代数精度为2

26.解：

梯形法为即 

迭代得

27.解：

先选列主元，2行与1行交换得消元；

3行与2行交换；消元；

回代得解；行列式得

28．解：

是的正根，，牛顿迭代公式为， 即    

取x0=1.7,列表如下：

29、已知数据如下：

求形如拟合函数。

解：

30、解：

过点的二次拉格朗日插值多项式为

代值并计算得 。

31、解：

32、解：

简述题：

解：

数值运算中常用的误差分析的方法有：

概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

 误差分析的原则有：

1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：

4）注意简化计算步骤，减少运算次数。

一、选择题（共30分，每小题3分）

1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。

（A）方法收敛性；（B）方法的稳定性；

（C）方法的计算量；（D）方法的误差估计。

2、已