三角函数图像和性质.docx

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三角函数图像和性质

高三函数三角函数的性质和图像

同学们大家好

这节课我们一起来复习

三角函数的图象与性质

首先我们来看考试内容与要求

我们大家知道

三角函数的图像和性质

是高考考察的重点内容和热点

所以在复习时我们一定要充分运用

数形结合的思想

把图象和性质结合起来

好下面我们来看例题

求函数y等于sin2X加π/3的对称轴

那这个题目是一个选择题

因为这个函数的对称轴有无穷多条

那现在让我们根据选择

看哪一个是它的其中一条对称轴

那我们怎么来考虑这个问题呢

首先我们通过正弦函数的图像

能够发现它的对称轴

一定通过这个函数的最高点

或者是最低点

也就是这个对称轴

如果横坐标取成

这个对称轴的这个数值

那么它的纵坐标一定是得正1

或者是负1那么我们就能够知道

我们把这个2X加π/3

看成一个整体

那么我们就能得到2X加π/3

应该等于Kπ加π/2

当然这里边的K是一个整数

那对于这道题

我们可以就把这个X解出来

那就是X等于kπ/2加π/12

那么我们对照选项不难发现

当这个K等于0时X就等于π/12

所以我们这个题就得到了它的选项

应该是选D

好下面我们来看下一道例题

给定一个函数

是f（X）等于1加cos2X乘以sinX方

那么下面

它让我们讨论这个函数的周期性

还有它的奇偶性

首先拿到这个三角函数

我们应该对它进行化简

那注意到这个题目里边

出现了两个角度

一个是单角X

还有一个是二倍角2X

所以就要把这两个角度进行统一

那么根据前面1加cosX

是一个固定结构

那我们就能知道它1加cos2X

它是等于2倍的cosX方

再乘以后边的sinX方

那我们再结合二倍角公式

就可以得到1/2sin2X的平方

然后我们再根据公式

就是给它变形成1/4减cos4X

那这时候我们这个矛盾

主要是集中在cos4X上

那我们就能够看出

这个函数应该是一个偶函数

而且它的周期T应该是2π/4

也就等于π/2

所以我们也就得到了

这个问题的答案也是选4D

好下边我们再来看一个习题

给定函数

f（x）等于cos2x加上2sinx

现在让我们求它的最大值和最小值

我们仍然是要对给定的

这个三角函数进行化简

三角函数式进行化简

那我们还是考察这个角度

它这个题目里边涉及到两个角

一个是单角x还有一个二倍角2x

那我们必须统一

那这时候

我们把这个二倍角向单角进行转化

但是考虑到我们这个单角

的函数名称是正弦

所以我们把cos2X

化简成1减2sinX方那这时候

我们在三角函数的名称上是统一的

都是正弦函数

而且我们这个f（x）经过这样化简

是关于一个sinx的二次函数

那么我们可以对它进行配方

配方完以后我们就能够发现

当是sinX等于1/2的时候

这个函数取得最大值是3/2

当sinX等于负1的时候

这个函数取得最小值是负3

所以对这个选择题来讲

我们就得到它的答案是选C

好下边我们来看例题

求下列函数的单调区间

第一个是y等于1/2sinπ/4减2/3X

第二个题是y等于负的

然后绝对值

绝对值里面是cosx加π/4

好我们来看第一个题目

第一个题目

我们一定要注意它是一个复合函数

它是由一个正弦函数

和一个一次函数复合而成的

那我们一定要注意一次函数的

X的系数它是负的是负2/3

所以我们在解答的时候

可以采取这种办法

就是根据sinX是奇函数

所以把所给的题目先变形成

y等于负的1/2倍的sin2X/3减π/4

那这时候我们可以

先求对这个sin2x/3减π/4来求区间

那只不过

我们求出sin2X/3减π/4的增区间

就是给定函数的减区间

因为它前边有一个系数是负1/2

所以我们就得到这个问题的答案

我们来看一下

因为sin2X/3减π/4

也就是我们现在换元把这个

2X/3减π/4换成U

它在2Kπ减π/2到2Kπ加π/2上

是递增的

那这时候我们能够解出来

这个X就是

3Kπ加9π/8到3Kπ加21π/8

那我们就得到了它在原函数

在这个区间上应该是单调递减的

用同样的方法

我们可以得到它的增区间

所以我们建议如果是复合函数

外边是一个三角函数

里边是一个一次函数

那我们应该先根据

三角函数的奇偶性

把里边的也就是内层函数

就这个一次函数

它的一次项系数给调整成正的

如果不调整成正的当然也是可以的

那我们就要按照复合函数的

单调性的判别法则来进行解答

好下面我们来看另外一个例题

它说给了一个函数的图像

那这个函数是

y等于asin（）X加（）

现在我们来求它解析式

那这个题目有两个解法

首先根据图像我们能看出

这个题目当中a应该等于根号3

根据它的周期

我们算出（）是等于2的

所以这时候

我们就把这个函数的解析式

就设成y等于

根号3倍的sin2X加（）

那么现在我在这个图像

找一个特殊点

那这个特殊点就是一个零点

就是m点就是（π/3，0）

那我们这个（π/3，0）

也称为这个图像的第一零点

第一零点就是这个函数的增区间

和X轴的焦点

第二零点就是它的减区间

和X轴的零点那好了

我们把这个（π/3，0）代进去

根据第一零点

我们很容易能够求出这个（）

应该等于负的2π/3

所以最后得到函数的解析式

y等于根号3倍的sin2X减2π/3

好解法2跟解法1

在确定a和（）的数值上

是完全一样的

只不过我们在确定（）的时候

我们用的不是零点

而是用的最高点

那我们能够发现这个函数

它经过一个最高点

就是7π/12根号3

那我们代进去解这个三角方程

就能够把（）这个数值给确定

也是负的2π/3

通过以上两种解法我们能够看到了

如果用零点的话我们就要注意区分

这个零点是第一零点还是第二零点

如果我们要用这个函数的最高点

或者是最低点那就不用区分

所以我们建议大家

还是使用函数的最高点或最低点

那这样就容易避免发生一些错误

好那这节课我们就讲到这里

中等职业技术学校数学课程理念

（1）构建必需基础，提供发展平台

中等职业学校数学课程要确保学生学习“必需的数学”，对数学基础知识、基本技能和基本能力内涵的界定，在理论与方法上应是最基本的，在现代生活和生产的应用中又是最广泛的。

要构建既能体现中等职业教育特点，又能适应时代发展的必需基础的数学课程。

中等职业学校数学课程还要确保学生“在数学上得到不同的发展”，要尽可能满足不同专业、不同学生对数学的不同需要，为学生个性发展提供多种平台。

（2）内容精简、实用，体现选择性和弹性

中等职业学校数学课程要精选最基本的和应用最广泛的数学内容，体现近现代数学思想方法。

要增加实际应用、问题探究、数学文化等内容，并采用整体规划与局部调整相结合的方式，形成基础和拓展两部分简明合理的内容结构。

中等职业学校数学课程必须删除繁杂的运算与人为的技巧，必须提出与学生认知水平相适应的逻辑推理、空间想象等能力要求，要适度加强贴近学生生活实际和所学专业相关的数学应用意识，适度加强计算器和现代信息技术的应用。

（3）重视学习过程，改善学习方式

中等职业学校数学课程要遵循学生认知心理发展的规律，抓住知识的主干部分，突出通性通法。

要展现知识形成和发展的过程，提供学生亲身感受和体验的机会，使学生在数学学习活动中获得新知、掌握技能、发展情感。

中等职业学校数学教学无论是沿用并优化接受记忆、模仿练习的方式，还是采用自主探索、动手实践、合作交流的方式，都要促使学生在学习过程中领会数学的思想方法，获得数学活动的经验。

（4）体现数学文化，提升数学素养

中等职业学校数学课程应适当反映数学的产生、发展和应用的趋势，数学科学与社会发展之间的相互作用，数学美学价值，数学家的敬业、创新精神等，以次体现数学的文化价值，并根据需要提出数学文化的学习要求，使学生接受数学文化的熏陶，领悟数学的美学价值。

（5）注重与现代信息技术的整合

中等职业学校数学课程要大力加强与现代信息技术的有机整合，强化工具的使用，促进课程内容的优化。

要通过现代信息技术的应用，改善教学内容的呈现方式，改进教学过程和学习方式，帮助学生理解数学知识，提高信息收集、数据处理、数学建模等应用能力。

（6）实施有效的学习评价

中等职业学校数学课程的学习评价要以促进学生发展为目的，充分发挥评价的诊断功能、激励功能和教育功能。

要通过学习评价，收集信息，改进教与学。

要对不同的学生提出不同的评价要求。

既要关注学生知识与技能的理解和掌握、能力的提高，又要关注他们情感态度与价值观的形成与发展。

既要关注学生学习的结果，又要关注他们在获得结果的过程中所作的努力。

课程目标

1、获得学习中等职业教育其他课程及进一步学习所必需的数学基础知识、基本技能；理解基础知识、基本技能所涉及的数学概念、数学结论等产生的背景、应用及关联；了解数学发生、发展的基本规律及其与社会发展的相互作用。

2、在学习活动中，通过体验、感受、探究、应用的过程，提高运算求解、逻辑推理、空间想象、数据处理等基本数学能力，提高运用现代信息技术的能力，提高问题、分析问题和解决问题（主要是来自于生活实际及与专业相关的简单的数学实际问题）的能力，提高数学思考、数学表达、数学交流和合作的能力，体会数学课程中知识内容所蕴涵的基本数学思想方法及其在数学思考中的积极作用。

3、具有对现实世界中数学现象的好奇心，具有学习数学的兴趣与学好数学的信心，形成良好的学习习惯，提高审美情趣。

逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，逐步树立辩证唯物主义和历史唯物主义观点。

数列[单元目标]

数列是一个重要的概念，它在工农业生产以及经济生活中都有广泛的应用，同时也是今后学习微积分知识的一个基础。

在本单元中，学生将通过对日常生活中实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的应用，并利用它们解决一些实际问题。

[内容与要求]

1、数列的概念

通过日常生活中的实例，引入数列的概念；了解数列的项、数列的通项、数列前

项和的概念。

2、等差数列与等比数列

（1）通过日常生活中的实例，掌握等差数列、等比数列的概念。

（2）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与等差数列前

项和公式。

（3）理解等差中项、等比中项的概念。

（4）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

 [说明与建议]

在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各个量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度。

等差数列和等比数列有着广泛的实际应用，教学中应重视通过具体实例（如银行储蓄，人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

[参考案例]

例1 某企业债券年利率为3%，为期3年并不缴扣利息税，试问：

（1）甲现在购买该债券10000元，到期后本利和共为多少元？

其中利息为多少元？

（2）如果乙在三年后需资金100000元，那么乙现需购买该债券多少元？

例2汽车变速器等用齿轮传动变速。

输出的齿轮与输入的齿轮的转速之比，叫做齿轮传动的传动比。

对于档位比较多的汽车变速器，各挡位的传动比近似于等比数列的关系，称之“等比数列传动比分配方式”。

某种型号汽车五档变速器的各档传动比按从高到低的顺序为

，

，

，

，

计算各档传动比与高一档传动比的比值，并判断该型号汽车变速器各档位传动比是否采用等比数列传动比分配方式。

（精确到0.001）

2、教学建议

（1）基础知识是基本技能、基本能力的载体，是问题探究、实际应用的基础，而基本技能、基本能力又可促使学生加深对基础知识的理解，它们在教学活动过程中相互交替、相互交融。

要从中等职业学校数学教学的实际出发，在教学活动中把基础落到实处。

（2）应通过典型例子创设问题情景，引导学生经历基础知识的生成与发展的过程，并在初步运用中理解基础知识。

要将一些核心的数学基本思想方法贯穿于教学的始终，并帮助学生逐步加深理解。

（3）倡导基本技能训练的多种方式，提高学生的参与度，适度运用变式训练，使学生掌握通性通法。

基本技能训练一定要降低繁杂的运算要求，淡化人为的技巧。

（4）应确立和尊重学生在学习活动中的主体地位，要关注学生学习兴趣的激发与保持，学习信心的坚持与增强，要运用适当的教学手段和相关的教学资源，为学生提供思考的时间和空间，鼓励学生积极参与数学学习活动，既有包括思维参与，又有行为参与。

（5）教学设计要重视学生的学习活动，教学实施要贯彻“教”为“学”服务的原则，促使学生“要学”、“会学”、“会数学式地思考”。

教师要根据不同的知识内容，采用不同的教学方式。

除了采用学生接受记忆、模仿练习的方式外，还可倡导采用自主探索、动手实践、合作交流的方式，并应积极实行启发式和讨论式。

（6）教师应不断反思自己的教学，以改进和调整教学方式，提高教学水平和教学能力。

要引导学生对自己的学习进行反思，与学生共同完成课堂讲评和小结，鼓励学生质疑，关注学生的学习进步。

3、学习评价

学习评价应与课程目标相一致，既要关注学生知识与技能的理解、掌握和能力的提高，又要关注学生情感、态度与价值观的形成和发展；既要关注学生学习的结果，又要关注学生在学习过程中所作的努力；既要关注教师对学生的评价，又要关注学生的自评、互评。

要采用内容分类与要求分层相结合，以基本要求为主的不同评价。

应将评价贯穿于学习的全过程，发挥学习评价的诊断功能，体现其激励与教育功能，有利于营造良好的学习环境，有利于师生的共同成长。

在实施学习评价时还应考虑：

1、明确评价的主体与责任

学生是评价的对象，也应成为评价的主体。

在评价活动中，应给学生自我评价的权利和评价他人的责任，让学生更多地发挥主体的作用。

2、把握评价的依据与内容

评价的依据是课程目标。

应对学生从基础知识、基本技能的理解和掌握程度，基本能力的发展水平，学生的学习兴趣与态度，学习的潜能，提出问题和探究问题的能力等方面作出评价。

3、实施多元评价

多元评价是指实施主体多元、形式多元、内容多元和目标多元等评价，实施时应根据评价的目的和内容进行选择。

采用教师评价、自我评价、学生互评、相关机构评价相结合，通过定性与定量、书面与口头、课内与课外、结果与过程等形式，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面进行评价。

对不同层次、不同发展要求的学生可采用不同的评价标准。

定量评价的重要形式是笔试，应注重对数学概念的实质性理解、数学思想方法掌握及解决简单实际问题能力的评价，可采用百分制或等级制的方式。

定性评价的主要形式是评语或发展纪录，应用激励性语言全面、客观地描述学生学习的进步情况。

要充分发挥数学作业在学习评价中的作用。

作业的选择应多样化，可有常规作业，探究性数学问题，数学实验，数学建模等；作业结果的呈现形式可有习题解答，数学学习经验体会，数学实验、应用报告等；对作业的评价可以是量化的，也可以是定性的。

作业要及时批改、反馈和讲评。