全国中考数学真题解析4一元一次方程及其应用17页.docx
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全国中考数学真题解析4一元一次方程及其应用17页
一元一次方程及其应用
一、选择题
1.（2014•海南,第2题3分）方程x+2=1的解是（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
考点：
解一元一次方程．
分析：
根据等式的性质，移项得到x=1﹣2，即可求出方程的解．
解答：
解：
x+2=1，
移项得：
x=1﹣2，
x=﹣1．
故选：
D．
点评：
本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据等式的性质正确解一元一次方程是解此题的关键．
2．（2014•无锡，第5题3分）某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）
A．1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87B．1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87
C．2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87D．2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
分析：
设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：
x支铅笔的售价+（60﹣x）支圆珠笔的售价=87，据此列出方程即可．
解答：
解：
设铅笔卖出x支，由题意，得
1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87．
故选B．
点评：
考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据根据描述语找到等量关系是解题的关键．
3．（2014•浙江绍兴,第8题4分）如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（ ）
A．10克B．15克C．20克D．25克
考点：
一元一次方程的应用．
分析：
根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可．
解答：
解：
设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，
根据题意得：
m=n+40；
设被移动的玻璃球的质量为x克，
根据题意得：
m﹣x=n+x+20，
x=（m﹣n﹣20）=（n+40﹣n﹣20）=10．
故选A．
点评：
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系．
1.（2014年湖北咸宁2．（3分））若代数式x+4的值是2，则x等于（ ）
A．2B．﹣2C．6D．﹣6
考点：
解一元一次方程；代数式求值．
分析：
根据已知条件列出关于x的一元一次方程，通过解一元一次方程来求x的值．
解答：
解：
依题意，得x+4=2
移项，得x=﹣2
故选：
B．
点评：
题实际考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
1．（2014·台湾，第19题3分）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？
（ ）
底面积（平方公分）
甲杯
60
乙杯
80
丙杯
100
A．5.4B．5.7C．7.2D．7.5
分析：
根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．
解：
设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，
根据题意得：
60×10＋80×10＋100×10＝60×3x＋80×4x＋100×5x，
解得：
x＝2.4，
则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2（公分）．
故选C．
点评：
此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
2.（2014•滨州，第4题3分）方程2x﹣1=3的解是（）
A．﹣1B．
C．1D．2
考点：
解一元一次方程
分析：
根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．
解答：
解：
2x﹣1=3，
移项，得2x=4，
系数化为1得x=2．
故选：
D．
点评：
本题考查了解一元一次方程，根据解一元次方程的一般步骤可得答案．
二、填空题
1.（2014•娄底13．（3分））已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为 1 ．
考点：
一元一次方程的解
分析：
把x=2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解
解答：
解：
把x=2代入方程，得：
4+a﹣5=0，
解得：
a=1．
故答案是：
1．
点评：
本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
1．（2014•浙江湖州，第11题4分）方程2x﹣1=0的解是x= ．
分析：
此题可有两种方法：
（1）观察法：
根据方程解的定义，当x=
时，方程左右两边相等；
（2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1．
解：
移项得：
2x=1，系数化为1得：
x=
．
点评：
此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：
填空时应填x=
，不能直接填
．
1.（2014•福建厦门，第13题4分）方程x+5=
（x+3）的解是 ．
考点：
解一元一次方程．.
分析：
方程去分母，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
解答：
去分母得：
2x+10=x+3，
解得：
x=﹣7．
故答案为：
x=﹣7
点评：
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：
去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解．
1.（2014•黑龙江绥化,第7题3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多 120 元．
考点：
一元一次方程的应用．
分析：
设这款服装每件的进价为x元，根据利润=售价﹣进价建立方程求出x的值就可以求出结论．
解答：
解：
设这款服装每件的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x=60，解得：
x=180．
∴标价比进价多300﹣180=120元．
故答案为：
120．
点评：
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
2.（2014•黑龙江哈尔滨,第14题3分）不等式组
的解集是 ﹣1＜x≤1 ．
考点：
解一元一次不等式组．
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解：
，由①得，x≤1，由②得，x＞﹣1，
故此不等式组的解集为：
﹣1＜x≤1．
故答案为：
﹣1＜x≤1．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2014•湖北荆门,第15题3分）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：
将
转化为分数时，可设
=x，则x=0.3+
x，解得x=，即
=．仿此方法，将
化成分数是
．
考点：
一元一次方程的应用．
分析：
设x=
，则x=0.4545…①，根据等式性质得：
100x=45.4545…②，再由②﹣①得方程100x﹣x=45，解方程即可．
解答：
解：
设x=
，则x=0.4545…①，
根据等式性质得：
100x=45.4545…②，
由②﹣①得：
100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，
即：
100x﹣x=45，
解方程得：
x=
．
故答案为
．
点评：
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．
4．（2014•宁夏，第14题3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是 200 元．
考点：
一元一次方程的应用
分析：
设这款服装每件的进价为x元，根据利润=售价﹣进价建立方程求出x的值就可以求出结论．
解答：
解：
设这款服装每件的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x=20%x，解得：
x=200．
故答案是：
200．
点评：
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
2.（2014•湘潭，第15题，3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为 2x+56=589﹣x ．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
分析：
设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．列方程即可．
解答：
解：
设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，
由题意得，2x+56=589﹣x．
故答案为：
2x+56=589﹣x．
点评：
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，列出方程．
三、解答题
1．（2014•江西省抚州市，第18题8分）情景：
试根据图中信息，解答下列问题：
（1）购买6根跳绳需 150 元，购买12根跳绳需 240 元．
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？
若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由．
考点：
一元一次方程的应用．
专题：
图表型．
分析：
（1）根据总价=单价×数量，现价=原价×0.8，列式计算即可求解；
（2）设小红购买跳绳x根，根据等量关系：
小红比小明多买2跟，付款时小红反而比小明少5元；即可列出方程求解即可．
解答：
解：
（1）25×6=150（元），
25×12×0.8=300×0.8=240（元）．
答：
购买6根跳绳需150元，购买12根跳绳需240元．
（2）有这种可能．
设小红购买跳绳x根，则
25×0.8x=25（x﹣2）﹣5，解得x=11．
故小红购买跳绳11根．
点评：
考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
1.（2014•吉林，第16题5分）为促进交于均能发展，A市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人．
考点：
一元一次方程的应用．
分析：
设女生x人，则男生为（x+3）人．再利用总人数为45人，即可得出等式求出即可．
解答：
解：
设女生x人，则男生为（x+3）人．依题意得
x+x+3=45，解得，x=21，
所以x+3=24．
答：
该班男生、女生分别是24人、21人．
点评：
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出表示出男女生人数是解题关键．
1.（2014•浙江金华，第20题，8分）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．
（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
考点：
规律型：
图形的变化类．
分析：
（1）根据图形可知，每张桌子有4个座位，然后再加两端的各一个，于是n张桌子就有（4n+2）个座位；由此进一步求出问题即可；
（2）由
（1）中的规律列方程解答即可．
解答：
解：
（1）1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人，
2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2=10人，
3张长方形餐桌的四周可坐4×3+2=14人，
…
n张长方形餐桌的四周可坐4n+2人；
所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4+2=18人，
8张长方形餐桌的四周可坐4×8+2=34人．
（2）设这样的餐桌需要x张，由题意得
4x+2=90，解得x=22
答：
这样的餐桌需要22张．
点评：
此题考查图形的变化规律，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律解决问题．
1.（2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：
∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
考点：
解直角三角形的应用．
分析：
设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．
解答：
解：
设AD=x米，则AC=（x+82）米．
在Rt△ABC中，tan∠BCA=
，
∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．
在Rt△ABD中，tan∠BDA=
，
∴AB=AD•tan∠BDA=4x．
∴2.5（x+82）=4x，解得x=
．
∴AB=4x=4×
≈546.7．
答：
AB的长约为546.7米．
点评：
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
2.（2014•益阳，第19题，10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在
（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？
若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
考点：
二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合
（2）的条件，可知不能实现目标．
解答：
解：
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：
，解得：
，
答：
A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：
200a+170（30﹣a）≤5400，
解得：
a≤10．
答：
超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：
（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400，
解得：
a=20，
∵a＞10，
∴在
（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
点评：
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
3.（2014•株洲，第20题，6分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：
（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；
（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；
（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；
（4）下山用1个小时；
根据上面信息，他作出如下计划：
（1）在山顶游览1个小时；
（2）中午12：
00回到家吃中餐．
若依据以上信息和计划登山游玩，请问：
孔明同学应该在什么时间从家出发？
考点：
一元一次方程的应用．
分析：
由
（1）得v下=（v上+1）千米/小时．
由
（2）得S=2v上+1
由（3）、（4）得2v上+1=v下+2．
根据S=vt求得计划上、下山的时间，然后可以得到共需的时间为：
上、下上时间+山顶游览时间．
解答：
解：
设上山的速度为v，下山的速度为（v+1），则
2v+1=v+1+2，
解得v=2．
即上山速度是2千米/小时．
则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米．
则计划上山的时间为：
5÷2=2.5（小时），
计划下山的时间为：
1小时，
则共用时间为：
2.5+1+1=4.5（小时），
所以出发时间为：
12：
00﹣4小时30分钟=7：
30．
答：
孔明同学应该在7点30分从家出发．
点评：
本题考查了应用题．该题的信息量很大，是不常见的应用题．需要进行相关的信息整理，只有理清了它们的关系，才能正确解题．
4.（2014年江苏南京，第25题）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h；他途中休息了 h；
（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？
（第4题图）
考点：
一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用
分析：
（1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；
（2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式；
（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可．
解答：
（1）小明骑车在平路上的速度为：
4.5÷0.3=15，
∴小明骑车在上坡路的速度为：
15﹣5=10，
小明骑车在上坡路的速度为：
15+5=20．
∴小明返回的时间为：
（6.5﹣4.5）÷2+0.3=0.4小时，
∴小明骑车到达乙地的时间为：
0.3+2÷10=0.5．
∴小明途中休息的时间为：
1﹣0.5﹣0.4=0.1小时．
故答案为：
15，0.1
（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）．
小明下坡行驶的时间为：
2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）．
设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意，得
，解得：
，
∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；
设直线BC的解析式为y=k2+b2，由题意，得
，解得：
，
∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6）
（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，得
10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：
t=0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km．
点评：
本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
5.（2014•泰州，第20题，8分）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．
（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？
（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？
请说明理由．
考点：
一元一次方程的应用；概率的意义
分析：
（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；
（2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可．
解答：
解：
（1）设该运动员共出手x个3分球，根据题意，得
=12，解得x=640，
0.25x=0.25×640=160（个），
答：
运动员去年的比赛中共投中160个3分球；
（2）小亮的说法不正确；
3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球．
点评：
此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义．
7．（2014•浙江宁波，第24题10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）
A方法：
剪6个侧面；B方法：
剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
考点：
一元一次方程的应用；列代数式．
分析：
（1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3：
2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
解答：
解：
（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：
6x+4（19﹣x）=（2x+76）个，
底面的个数为：
5（19﹣x）=（95﹣5x）个；
（2）由题意，得
，解得：
x=7，
∴盒子的个数为：
=30．
答：
裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
点评：
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
8.（2014•滨州，第19题3分）
（1）解方程：
2﹣
=
考点：
解一元一次方程．
专题：
计算题．
分析：
（1）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
解答：
解：
（1）去分母得：
12﹣2（2x+1）=3（1+x），
去括号得：
12﹣4x﹣2=3+3x，
移项合并得：
﹣7x=﹣7，
解得：
x=1；
点评：
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2014•德州，第20题8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好
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