数值分析上机报告.docx
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数值分析上机报告
数值分析上机报告
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姓名
学号
指导教师
2013.06
内容
第一次上机
题目一
分别用不动点迭代与Newton法求解方程
的正根与负根。
（1）不动点迭代
a．原理
将
变形为
进行迭代，直到为止
变形后为有两种形式：
和
b．程序
注：
（初值为0，误差限为10e-6）
形式：
Lx1_1_1.m
x=zeros（100,1）;
tol=1;
i=1;
x
（1）=0;
whiletol>=10e-6;
disp（x（i））
x（i+1）=exp（2*x（i））-5;
tol=abs（x（i+1）-x（i））;
i=i+1;
end
disp（i-1）;
形式：
Lx1_1_2.m
x=zeros（100,1）;
tol=1;
i=1;
x
（1）=0;
whiletol>=10e-6;
disp（x（i））
x（i+1）=1/2*log（x（i）+5）;
tol=abs（x（i+1）-x（i））;
i=i+1;
end
disp（i-1）;
c．运行结果
注：
（初值为0，误差限为10e-6）
正根：
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
0.80471895
0.87933560
0.88572188
0.88626470
0.88631081
负根：
x1
x2
x3
x4
0
-4
-4.99966454
-4.99995457
（2）Newton法
a．原理
假设
，
是方程
根的近似，考虑
在
点展开的一阶泰勒多项式：
，
则有：
，
即，
，
通过初始值p0，就可以产生序列：
。
针对本题来说，迭代公式为：
b．程序
注：
（误差限为10e-6）
Lx1_1_3.m
clc,clear%Newton法
p0=1;%求正根p0=-2;%求负根
TOL=10^（-6）;N0=30;%Input
i=1;
formatlongg;
whilei<=N0
p=p0-（p0-exp（2*p0）+5）/（1-2*exp（2*p0））;
disp（p）;
ifabs（p-p0）break;
else
i=i+1;
p0=p;
end
end
disp（i）;
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c．运行结果
注：
（误差限为10e-6）
正根：
X0
X1
X2
X3
X4
1
0.89918386
0.88649410
0.88631513
0.88631509
负根：
X0
X1
X2
X3
-2
-5.09506038
-4.99995532
-4.99995460
结果分析：
不动点迭代会因为迭代公式选取的不同得出不同的迭代结果，而牛顿法迭代会因为初值选取的不同而得到不同的结果。
牛顿法比不动点迭代法收敛速度快，能使用较少的迭代步数达到理想的结果。
题目二
P100,2.6.9
对于
，使用下面的各种方法求位于[0.1,1]内的解，精确到10e-4。
a.二分法b.Newton法c.正割法d.试位法e.MÜller法
（1）二分法
a．原理
假定f（x）是定义在[a,b]上的连续函数，且f（a）和f（b）反号。
设a1=a和b1=b，p1是[a,b]的中点。
若f（p1）与f（a1）同号，让a2=p1，b2=b1；若f（pn）与f（a1）反号，让a2=a1，b2=p1；重复此过程直到f（pn）=0或者
终止迭代。
b.程序
注：
（误差限为10e-4）
Lx1_2_1.m
clc,clear%二分法
TOL=10^（-4）;N0=30;
a=0.1;b=1;
i=1;
formatlongg;
FA=600*a^4-550*a^3+200*a^2-20*a-1;
whilei<=N0
p=a+（b-a）/2;
FP=600*p^4-550*p^3+200*p^2-20*p-1;
disp（i）;
disp（a）;
disp（b）;
disp（p）;
disp（FP）;
ifFP==0||（b-a）/2break;
else
i=i+1;
ifFA*FP>0
a=p;FA=FP;
else
b=p;
end
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c.运行结果
注：
（误差限为10e-4）
N
An
Bn
Pn
F（Pn）
1
0.1
1
0.55
11.8975
2
0.1
0.55
0.325
1.438515625
3
0.1
0.325
0.2125
-0.2729345703125
4
0.2125
0.325
0.26875
0.524329528808593
5
0.2125
0.26875
0.240625
0.116296443939208
6
0.2125
0.240625
0.2265625
-0.0805102884769422
7
0.2265625
0.240625
0.23359375
0.0173473896831275
8
0.2265625
0.23359375
0.230078125
.0317********
9
0.230078125
0.23359375
0.2318359375
-0.00721856665244491
10
0.2318359375
0.23359375
0.23271484375
0.00505592718842429
11
0.2318359375
0.23271484375
0.232275390625
-0.00108343871279004
12
0.232275390625
0.23271484375
0.2324951171875
0.00198571425098226
13
0.232275390625
0.2324951171875
0.23238525390625
0.000451005303902186
14
0.232275390625
0.23238525390625
0.232330322265625
-0.000316249816916248
（2）Newton法
a．原理
如题目一，令
得到本题迭代公式为：
b.程序
注：
（误差限为10e-4，初值x0=0.5）
Lx1_2_2.m
clc,clear%Newton法
p0=0.5;
TOL=10^（-4）;
N0=30;
i=1;
formatlongg;
whilei<=N0
p=p0-（600*p0^4-550*p0^3+200*p0^2-20*p0-1）/（2400*p0^3-1650*p0^2+400*p0-20）;
disp（i）;
disp（p）;
ifabs（p-p0）break;
else
i=i+1;
p0=p;
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c.运行结果
注：
（误差限为10e-4，初值x0=0.5）
X0
X1
X2
X3
0.5
0.385185185185185
0.281282649165253
0.234848973527312
X4
X5
0.232357862421884
0.232352964768764
（3）正割法
a．原理
在Newton公式中使用近似公式
得到迭代公式为：
，
b.程序
注：
（误差限为10e-4,初值x0=0.15，x1=0.85）
Lx1_2_3.m
clc,clear%正割法
p0=0.15;p1=0.85;
TOL=10^（-4）;
N0=30;
i=1;
q0=600*p0^4-550*p0^3+200*p0^2-20*p0-1;
q1=600*p1^4-550*p1^3+200*p1^2-20*p1-1;
whilei<=N0
p=p1-q1*（p1-p0）/（q1-q0）;
disp（i+1）;
disp（p）;
ifabs（p-p1）break;
else
i=i+1;
p0=p1;q0=q1;
p1=p;q1=600*p^4-550*p^3+200*p^2-20*p-1;
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c.运行结果
注：
（误差限为10e-4,初值x0=0.15，x1=0.85）
X0
X1
X2
X3
0.15
0.85
0.157********8641
0.163700278470673
X4
X5
X6
X7
0.240885373151151
0.231773092323929
0.232349065937536
0.232352966526348
（4）试位法
a．原理
在正割法基础上增加检验：
即对满足
初值x0和x1，x2取连接
所得直线截距。
但为了计算x3，需要检验
，若为负值，x3取连接
所得直线截距，否则，x3取连接
所得直线截距，并交换x0和x1下标，同理确定以后的Xk的值。
b.程序
注：
（误差限为10e-4,初值x0=0.1，x1=0.4）
Lx1_2_4.m
clc,clear%试位法
p0=0.1;p1=0.4;
TOL=10^（-4）;N0=100;
i=1;
q0=600*p0^4-550*p0^3+200*p0^2-20*p0-1;
q1=600*p1^4-550*p1^3+200*p1^2-20*p1-1;
whilei<=N0
p=p1-q1*（p1-p0）/（q1-q0）;
disp（i+1）;
disp（p）;
ifabs（p-p1）break;
else
i=i+1;
q=600*p^4-550*p^3+200*p^2-20*p-1;
ifq*q1<0
p0=p1;
q0=q1;
end
p1=p;
q1=q;
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c.运行结果
注：
（误差限为10e-4,初值x0=0.1，x1=0.4）
X0
X1
X2
X3
0.1
0.4
0.196129032258065
0.223540690358892
X4
X5
X6
X7
0.230112203518914
0.231775415525863
0.232203*********
0.232314285473330
X8
0.232342947957081
（5）MÜller法
a．原理
MÜller法通过考虑经过
、
、和
的抛物线与x轴交点的横坐标来确定下一个近似值x3.以此类推。
b.程序
注：
（误差限为10e-4,初值x0=0.1，x1=0.3，x2=0.5）
Lx1_2_5.m
clc,clear%Müller法
TOL=10^（-4）;N0=30;%Input
i=1;
x0=0.1;x1=0.3;x2=0.5;
h1=x1-x0;
h2=x2-x1;
det1=（（600*x1^4-550*x1^3+200*x1^2-20*x1-1）-（600*x0^4-550*x0^3+200*x0^2-20*x0-1））/h1;
det2=（（600*x2^4-550*x2^3+200*x2^2-20*x2-1）-（600*x1^4-550*x1^3+200*x1^2-20*x1-1））/h2;
d=（det2-det1）/（h2+h1）;
whilei<=N0
b=det2+h2*d;
D=sqrt（b^2-4*（600*x2^4-550*x2^3+200*x2^2-20*x2-1）*d）;
disp（i+2）;
ifabs（b-D）E=b+D;
else
E=b-D;
end
h=-2*（600*x2^4-550*x2^3+200*x2^2-20*x2-1）/E;
p=x2+h;
disp（p）;
ifabs（h）break;
end
x0=x1;
x1=x2;
x2=p;
h1=x1-x0;
h2=x2-x1;
det1=（（600*x1^4-550*x1^3+200*x1^2-20*x1-1）-（600*x0^4-550*x0^3+200*x0^2-20*x0-1））/h1;
det2=（（600*x2^4-550*x2^3+200*x2^2-20*x2-1）-（600*x1^4-550*x1^3+200*x1^2-20*x1-1））/h2;
d=（det2-det1）/（h2+h1）;
i=i+1;
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c.运行结果
注：
（误差限为10e-4,初值x0=0.1，x1=0.3，x2=0.5）
X0
X1
X2
X3
0.1
0.3
0.5
0.250700784928408
X4
X5
X6
X7
0.223415890391080
0.232915574400838
0.232353054769987
0.232352964750002
结果分析：
通过实验结果比较我们可以看到，Newton法只需选取不同的初始值，便可求出全部的解，即牛顿法对于它的全部解都是收敛的。
二分法比较简单易行，但对初值的选取必须满足函数值乘积为负，且收敛速度较慢。
正割法是对Newton法的改进，Müller法和试位法是对正割法的改进，所以这几种算法差别不太大，但是，由于二者弥补了正割法的不足，所以，相对来说更精确一些。
题目三
用Newton法求解方程f（x）的零点，e=10-6，这里
。
再用求重根的两种方法求f（x）的零点。
a．原理
求重根的方法：
1、定义
，如果p是f（x）的一个m重零点，并且有
，
和
由于
，其中p是u（x）的单重零点。
应用牛顿法就可以得到如下公式：
迭代形式为：
。
如果g具有需要的连续性条件，则无论f（x）零点的重数，关于g的迭代公式就是二次收敛。
2、如果p是f（x）的多重零点，定义
b．程序
1．Newton法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5）
Lx1_3_1.m
clearall;clc;
p0=0.01;
tol=10e-6;
N0=100;
i=1;
formatlongg;
whilei<=N0
p=p0-（p0-sin（p0））/（1-cos（p0））;
disp（i）;
disp（p）;
ifabs（p-p0）break;
else
i=i+1;
p0=p;
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
2．第一种求重根方法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5）
Lx1_3_2.m
%%第一种求重根方法
clearall;clc;
p0=0.5;
tol=10e-6;
N0=30;
i=1;
formatlongg;
whilei<=N0
p=p0-（p0-sin（p0））*（1-cos（p0））/（（1-cos（p0））^2-（p0-sin（p0））*sin（p0））;
disp（i）;
disp（p）;
ifabs（p-p0）break;
else
i=i+1;
p0=p;
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
3．第二种求重根方法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5，重数m取为2）
Lx1_3_3.m
%%第二种求重根方法
clearall;clc;
p0=0.5;
tol=10e-6;
N0=30;
m=2;
i=1;
formatlongg;
whilei<=N0
p=p0-m*（p0-sin（p0））/（1-cos（p0））;
disp（i）;
disp（p）;
ifabs（p-p0）break;
else
i=i+1;
p0=p;
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c．运行结果
1．Newton法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5）
X0
X1
X2
X3
0.5
0.33193193948911
0.22088000070362
0.147133388298258
X22
X23
X24
X25
6.6327737201341
e-05
4.42184894556538
e-05
2.94789959330259
e-05
1.9652668253838
e-05
2．第一种求重根方法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5）
X0
X1
X2
X3
0.5
0.00827405688774502
3.77629891905318
e-08
1.50220208792981
e-08
3．第二种求重根方法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5，重数m取为2）
X0
X1
X2
X3
0.5
0.163863878978219
0.054523422036457
0.0181708716869622
X4
X5
X6
X7
0.006056823901423
0.002018936362807
0.0006729786046717
0.0002243261947150
X8
X9
X10
X11
7.47753973315954
e-05
2.49251358236218
e-05
8.30837786750213
e-06
2.76950811671404
e-06
结果分析：
由课本知识我们得知，用Newton法求重根时只能达到线性收敛。
从以上实验结果可以看出，Newton法的迭代次数要远远多于后面两种求重根方法的迭代次数。
而后两种方法相比，第一种方法收敛速度要明显快于第二种方法。
题目四
用Newton法求解方程f（x）的零点，e=10-6，这里。
再用Steffensen’smethod加速其收敛。
a．原理
1．Newton法
Newton法原理同题1。
2．Steffensen’s方法
和AitkenΔ2方法稍有不同，Steffensen’s方法构造同样的开始的前4项：
p0，p1，p2和
。
但是，在这一步，它假设
比p2更好的逼近p，从而将不动点迭代应用于
而不是p2。
使用这种符号产生的序列为：
每个第3项由{Δ2}方法产生，其余的由不动点方法产生。
b．程序
1．Newton法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5）
程序同题目三。
2．Steffensen’s方法
Lx1_4_2.m
%%Steffensen's方法
clearall;clc
p0=0.5;
TOL=10^（-6）;N0=100;
i=1;
whilei<=N0
p1=sin（p0）;
p2=sin（p1）;
delte_2_pn=p2-2*p1+p0;
ifdelte_2_pn==0%第一处终止条件
break;
end
p=p0-（p1-p0）^2/delte_2_pn;
disp（i）;
disp（p）;
disp（p1）;
disp（p2）;
ifabs（p-p0）break;
else
i=i+1;
p0=p;
end
end
ifi>N0
disp（'超过最大迭代步数，原方程无解!
'）;
end
c．运行结果
1．Newton法
注：
（误差限为10e-6,初值x0=0.5）
X0
X1
X2
X3
0.5
0.33193193948911
0.22088000070362
0.147133388298258
X22
X23
X24
X25
6.6327737201341
e-05
4.42184894556538
e-05
2.94789959330259
e-05
1.9652668253838
e-05
2．Steffensen’s方法
k
0
0.5
0.479425538604203
0.461269555033181
1
0.324969053926893
0.319279459635451
0.313882516583032
2
0.21435451045412
0.21271675584922
0.211116198489844
3
0.142245941441953
0.14176672797167
0.141292338252804
4
0.0946386892699293
0.0944974809095575
.0943********
16
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17
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20
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结果分析：
与Newton法相比，Steffensen的收敛速度应该会更快一些，因为，理论上Steffensen方法是二次收敛的，而应用于求重根的Newton方法只能
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