有理数与整式加减.docx

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有理数与整式加减

《有理数》知识点

一、正数与负数：

1.正数：

像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。

为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。

2.负数：

像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。

而负数前面的“－”号不能省略。

3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。

注意：

对于正数与负数，不能简单地理解为：

带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。

二、有理数及其分类：

有理数：

整数与分数统称为有理数。

整数包括三类：

正整数、零、负整数。

分数包括两类：

正分数和负分数。

注意：

小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。

按整数、分数的关系分类：

按正数、负数、零的关系分类：

三、数轴：

1.数轴的概念：

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

注意：

①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：

原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。

2.数轴的画法：

①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。

如图1所示。

四、相反数：

只有符≧号不同的两个数互为相反数。

规定零的相反数是零。

从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。

注意：

相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。

五、绝对值：

绝对值的几何定义：

在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|。

绝对值的代数定义：

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

注意：

①绝对值的求法：

先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：

无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。

也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即，。

六、非负数

若数a≧0，则称a为非负数。

非负数的性质：

任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。

七、倒数

乘积为1的两个有理数互为倒数。

倒数的求法：

求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。

只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。

正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。

八、有理数大小的比较：

1.利用数轴比较大小：

数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

于是：

正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。

2任意有理数大小的比较法则：

正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数大小的步骤是：

首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。

九、基本运算

1、有理数的加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。

2、有理数的减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3、有理数的乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。

4、有理数的除法法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把其绝对值相除；零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）。

十、乘方

乘方的定义：

求几个相同因数积的运算。

乘方的结果叫做幂。

在an中a叫做底数，n叫做指数。

读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

根据乘方的意义转化为乘方，再根据乘法法则进行计算；根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值。

十一、有理数运算律

①加法的交换律a+b=b+a；

　　②加法的结合律a+（b+c）=（a+b）+c；

　　③存在数0，使0+a=a+0=a；

　　④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+（-a）=（-a）+a=0；

　　⑤乘法的交换律ab=ba；

　　⑥乘法的结合律a（bc）=（ab）c；

　　⑦分配律a（b+c）=ab+ac；

　　⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；

　　⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a（1/a）=（1/a）a=1。

⑩0a＝0文字解释：

一个数乘0还于0。

十二、有理数的运算顺序

先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。

说明：

加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。

十三、近似数、有效数字与科学计数法

近似数：

一个与实际数比较接近的数，称为近似数。

有效数字：

对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，草最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字。

科学计数法：

把一个数记作a×10n形式（其中1≤a≤10，n为整数。

）

《整式的加减》知识点

一、代数式与有理式

1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

2、整式和分式统称为有理式。

3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

二、整式和分式

1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

三、单项式与多项式

1、没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积---包括单独的一个数或字母）

2、几个单项式的和，叫做多项式。

其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

说明：

①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：

去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

去括号法则：

如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

2、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：

1）.合并同类项的概念：

　　把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2）.合并同类项的法则：

　　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3）.合并同类项步骤：

　a．准确的找出同类项。

　　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

　　c．写出合并后的结果。

4）.在掌握合并同类项时注意：

　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

　　b.不要漏掉不能合并的项。

　　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：

合并同类项的关键是正确判断同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：

1）列出代数式：

用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

2）按去括号法则去括号。

3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：

am﹒an=am+n。

4、此法则也可以逆用，即：

am+n=am﹒an。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

六、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（am）n表示n个am相乘。

2、幂的乘方运算法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（am）n=amn。

3、此法则也可以逆用，即：

amn=（am）n=（an）m。

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：

积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab）n=anbn。

3、此法则也可以逆用，即：

anbn=（ab）n。

八、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：

am÷an=am-n（a≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：

am-n=am÷an（a≠0）。

九、零指数幂

1、零指数幂的意义：

任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：

a0=1（a≠0）。

十、负指数幂

1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。

注：

在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积