配套K12秋八年级数学上册 第13章 全等三角形 专题训练五三种特殊的等腰三角形的.docx
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配套K12秋八年级数学上册第13章全等三角形专题训练五三种特殊的等腰三角形的
专题训练(五) 三种特殊的等腰三角形的运用
有三种等腰三角形比较特殊:
等腰直角三角形、等边三角形和含36°角的等腰三角形.下面分类进行训练,帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定.
► 类型一 等腰直角三角形
定义:
有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
性质:
(1)两条直角边相等;
(2)顶角是90°,底角是45°.
判定:
利用定义.
1.如图5-ZT-1,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,点B,C,D在同一条直线上.求证:
BD=CE.
图5-ZT-1
2.如图5-ZT-2,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BE⊥AC,垂足为E,∠ABE的平分线交AD于点F.判断△DBF的形状,并证明你的结论.
图5-ZT-2
3.如图5-ZT-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置,使三角尺斜边的两个端点分别与A,D重合,连结BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
图5-ZT-3
► 类型二 等边三角形
定义:
三边都相等的三角形叫做等边三角形.
性质:
(1)三边都相等;
(2)三个角都是60°.
判定:
(1)定义;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
图5-ZT-4
4.如图5-ZT-4,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.60° B.45°
C.40° D.30°
5.如图5-ZT-5,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,求BC的长.
图5-ZT-5
6.如图5-ZT-6,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形,求证:
AC=BE.
图5-ZT-6
7.如图5-ZT-7,△ABC是等边三角形,E是BC边上任意一点,∠AEF=60°,EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
求证:
AE=EF.
图5-ZT-7
► 类型三 有一角是36°的等腰三角形
有一角是36°的等腰三角形包括两种情况:
(1)顶角是36°的等腰三角形,此时底角是72°;
(2)底角是36°的等腰三角形,此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性.
8.如图5-ZT-8,过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE,则∠1的度数为( )
A.30°B.36°C.38°D.45°
图5-ZT-8
图5-ZT-9
.如图5-ZT-9,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=________°.
10.如图5-ZT-10,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,∠A=36°,则∠BDC的度数为________.
图5-ZT-10
图5-ZT-11
11.如图5-ZT-11所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠BAC=________°.
12.如图5-ZT-12,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:
(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括△ABC)
(1)在图①中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度;
(2)在图②中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:
在图③中画n条线段,使图中有2n个等腰三角形,其中有________个黄金等腰三角形.
图5-ZT-12
详解详析
1.证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AD=AE,AB=AC.
∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,
∴∠DAB=∠EAC.
在△ADB和△AEC中,
∵AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC,
∴△ADB≌△AEC(S.A.S.),
∴BD=CE.
2.解:
△DBF是等腰直角三角形.
证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC.
∵BF平分∠ABE,AC⊥BE,
∴∠DFB=∠DAB+∠ABF=
(∠BAE+∠ABE)=
(180°-∠AEB)=45°,
∴∠DBF=90°-∠DFB=45°,
∴DB=DF,
∴△DBF是等腰直角三角形.
3.解:
数量关系:
BE=EC,位置关系:
BE⊥EC.
证明:
∵△AED是等腰直角三角形,
∴∠AED=90°,∠EAD=∠EDA=45°,AE=DE.
∵∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°,∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°=135°,
∴∠EAB=∠EDC.
∵D是AC的中点,
∴AC=2CD.
又∵AC=2AB,
∴AB=CD,
∴△EAB≌△EDC,
∴EB=EC,且∠AEB=∠DEC,
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+∠AEB=∠AED=90°,即BE⊥EC.
4.C
5.解:
延长AD交BC于点M,由AB=AC,AD平分∠BAC可得AM⊥BC,BM=MC=
BC.
延长ED交BC于点N,则△EBN是等边三角形,
故EN=BN=BE=6,∴DN=6-2=4.
过点D作DF∥BE,则∠DFN=∠EBC=60°,∠FDN=∠E=60°,
∴△DFN为等边三角形,
∴MN=
FN=
DN=2,
∴BM=6-2=4,
∴BC=2BM=8.
6.证明:
∵△ABD和△DCE都是等边三角形,
∴∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE,
∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠CDE,
即∠ADC=∠BDE,
∴△ADC≌△BDE,
∴AC=BE.
7.证明:
如图,在AB上截取AG=CE,连结EG.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,则BG=BE.
∴△BEG是等边三角形,
∴∠BGE=60°,
∴∠AGE=120°.
∵CF平分∠ACD,
∴∠ACF=
(180°-∠ACB)=60°,
∴∠ECF=120°,
∴∠AGE=∠ECF.
∵∠AEC=∠B+∠GAE=∠AEF+∠CEF,且∠AEF=∠B=60°,
∴∠GAE=∠CEF.
又∵AG=EC,
∴△AGE≌△ECF(A.S.A.),
∴AE=EF.
8.B
9.18
10.72°
11.108
12.解:
(1)如图①所示(画图不唯一).空格处分别填108,36.
提示:
当AE=BE时,∠A=∠ABE=36°,则∠AEB=108°,∠EBC=36°,
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108°和36°.故填108和36.
(2)答案不唯一,如图②所示:
(3)空格处填n.
提示:
画1条线段可得到2个等腰三角形;
画2条线段可得到4个等腰三角形;
画3条线段可得到6个等腰三角形……
∴在△ABC中画n条线段,使图中有2n个等腰三角形,其中有n个黄金等腰三角形.