北师大初一数学第一.docx
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北师大初一数学第一
北师大初一数学第一、二、三单元单元综合复习
知识要点：
本单元涉及估算、加减乘除四则运算、百分数、图形面积、组合、统计与概率等知识与技能。
其中图形面积、统计与概率等问题是同学们感到比较困难的，也是我们今后学习的基础。
第一章包括以下几个部分：
一、从实际问题出发来考虑数学题。
很多问题如果从实际生活的角度出发就会迎刃而解，并且还能使我们避免很多错误，我们将在以下的例题中说明。
具体包括：
“估计餐费”、“购物策略”、“食品搭配”和“烙饼”中的部分内容。
二、计算问题。
数学不是计算的科学，但这门学科却离不开计算。
这部分内容有：
1、图形面积的计算，包括正方形、长方形等图形面积公式。
2、百分数的计算。
3、简单的数列求和计算，主要是求等差数列前几项的和等。
涉及到的章节有：
“餐厅大小”、“包装的学问”、“堆放”中的部分内容。
三、简单的排列组合问题和周期问题。
能够用图示法解决简单排列组合问题，理解什么是周期，以及怎样解决简单的周期问题。
涉及到的章节有：
“食品搭配”和“小松鼠餐厅的菜单”中的部分内容。
每一节的具体内容我们将穿插在下面的例题中讲解复习，如果同学们对于哪一节的内容还不是很清楚，请参考我们以前的课程。
【典型例题】
例1.有538箱酱油，每辆货车一次运62箱，如果一次运完，大约需要多少辆这样的货车？
分析与解：
把538≈540，62≈60，然后540÷60＝9（辆）
这道题我们在把62缩小了一点，每辆车装得少一点需要的车就要多一点，只要每辆车装60箱都没问题，那么多装两箱就更没问题了。
如果将题改为：
有632箱酱油，每辆货车一次运68箱，如果一次运完，大约需要多少辆这样的货车？
我们仍然按照刚才的思路给出常规答案：
632≈630，68≈70，630÷70＝9（辆）。
检验一下，就会发现9辆车不够，为什么不够？
原来是我们把每辆车多算了两箱，实际上这两箱必须由别的车来运，所以车算少了。
也就是说68不能看作70，只能看作60（实际上是去尾法）。
正确答案：
632÷68≈600÷60＝10（辆）。
通过这样的对比，同学们要进一步明确估算应用题一定要从实际出发，确定误差范围，有时需要打破常规考虑。
例2.某面包店的优惠条件是买10元赠3元，你如果去买面包，想买10元面包，然后付给售货员7元钱，售货员会接受你的建议吗？
分析与解：
售货员接受你的建议的前提是在面包店的优惠条件允许下，所以我们计算一下二者的优惠大小即可解决问题。
买10元赠3元相当于
，即
％优惠，
买10元付7元相当于
，即
％优惠。
因为你给出的建议与面包店的优惠条件不符，所以售货员不会接受你的建议。
例3.商店现有4种水果：
苹果2.50元／千克、桔子3.00元／千克、梨2.00元／千克、葡萄3.20元／千克；3种饮料：
可乐3.50元／瓶、雪碧2.80元／瓶、果汁5.00元／瓶。
（1）如果买一种水果（用F来表示）1千克和一种饮料（用D来表示），画图说明可有几种搭配方法？
（2）若现有6元钱，可以买哪种水果和哪种饮料？
分析与解：
（1）很多同学会直接用“乘法”来解决这样的问题，实际上用图示法不仅可以帮助我们思考，还可以避免出现错误，并且如果你阅读了第二问，就更应该用图示法来解决。
所以共有4×3＝12（种）搭配方法。
（2）在资金有限的前提下，从实际出发我们只能选择符合要求的搭配方式，这就要求我们进行有序的思考，上一问中我们画的图示也有很大的帮助，只需要将每种搭配方法的价格写在上一问的图示后面就可以很轻松的找出答案。
符合要求的有
、
、
、
、
、
。
例4.某人拿着一个装满8千克的油桶和两个空桶，其中一个空桶装满刚好5千克，另一个空桶装满是3千克。
他必须把油桶里的8千克油平均分成两个4千克，该如何分？
分析与解：
我们不能找3个实际的桶来实践，也不能只在头脑中实验，可能有的同学遇到这样的问题会选择用文字来描述“分油”的过程：
先将8千克的油桶里的油倒到3千克的油桶里，并倒满。
再将3千克的油桶里的油倒到5千克的油桶里，并全部倒出。
再将8千克的油桶里的油倒到3千克的油桶里，并倒满。
再将3千克的油桶里的油倒到5千克的油桶里，并倒满。
再将5千克的油桶里的油倒到8千克的油桶里，并全部倒出。
再将3千克的油桶里的油倒到5千克的油桶里，并全部倒出。
再将8千克的油桶里的油倒到3千克的油桶里，并倒满。
再将3千克的油桶里的油倒到5千克的油桶里，并全部倒出。
问题解决
不过这样做的弊端显而易见，浪费时间不说，还很容易将自己搞晕，并且也不便于阅读和检查。
实际我们在下一单元主要研究的统计表完全可以派上用场。
可能你还有更好的方法，在这里只是举例说明我们要灵活的应用各种手段解决问题。
例5.一间小教室最多只能放八张桌子（不放椅子），每张桌子长120cm，宽80cm，每张桌子之间、桌子与墙之间距离为50cm，求教室面积。
分析与解：
根据每张桌子的面积和过道的面积我们可以求出教室面积，问题是教室的形状是什么样的？
如图：
这间教室可能有以下两种摆放桌子的可能，所以我们要分两种可能来解答：
1）教室的长＝120×4＋50×5＝730（cm）＝7.3（m）
教室的宽＝80×2＋50×3＝310（cm）＝3.1（m）
教室的面积＝教室的长×教室的宽
＝7.3×3.1＝22.63（
）
2）教室的长＝80×4＋50×5＝570（cm）＝5.7（m）
教室的宽＝120×2＋50×3＝390（cm）＝3.9（m）
教室的面积＝教室的长×教室的宽
＝5.7×3.9＝22.23（
）
例6.求199＋198＋197＋196－195－194－193－192＋191＋…＋4－3－2－1的值。
分析与解：
在解决这类问题时，我们通常采用（首项＋尾项）×项数÷2的方法。
不过要注意，这种方法只适用于每相邻的两项的差相等，并且我们也只能求这些项的和，也就是说，我们能求的是所谓的“等差数列”前几项的和。
首先观察题目，从199到1一共有199项，而又各有加减，我们注意到前四项是和，五到八项是差，然后又是四项的和，以此类推，最后三项是差。
又因为199＋198＋197＋196－195－194－193－192＝16，而以后各项均是循环如此，也就是说每8项的和相等都是16。
我们将原题变为
199＋198＋197＋196－195－194－193－192＋191＋…＋4－3－2－1
＝199＋198＋197＋196－195－194－193－192＋191＋…＋4－3－2－1－0
这样就有了199－0＋1＝200项，而200÷8＝25，所以
原式＝（199＋198＋197＋196－195－194－193－192）＋…＋4－3－2－1）
＝16×25＝400
例7.如果一份盒饭包括一个荤菜，一个素菜和一份主食，那么按照下面的食谱，不同的搭配方法一共有多少种？
分析与解：
对于给定菜单的食品搭配问题我们比较熟悉，根据所谓“乘法原理”，我们可以得到2×3×3＝18（种）
我们将题目改为“如果一份盒饭包括一个荤菜，两个素菜和一份主食，那么按照下面的食谱，不同的搭配方法一共有多少种？
”
这一回可供我们选择的食谱似乎更多了，很显然将食谱逐个列出比较麻烦，怎样才能全部找出呢？
其实我们联想一下后面的内容就可以很容易的得出结果：
从青菜、白菜、豆腐中选出两个的选法与三支球队进行单循环比赛的场次是一致的，也就是说我们的问题变为了“从牛肉、猪肉中选出一种，从青菜、白菜、豆腐中选出两种，再从米饭、馒头、面条中选出一种组成套餐。
可以参照下面的食谱：
我们的选择仍然是2×3×3＝18（种）
【模拟试题】
1.如图：
搭一个正方形需要4根火柴棒，按图中方式
⑴搭2个正方形需要根火柴棒。
搭3个正方形需要根火柴棒。
⑵搭10个正方形需要根火柴棒。
⑶搭100个正方形需要根火柴棒。
若用x表示正方形的个数，
⑷搭x个正方形需要多少根火柴棒。
2.甲、乙两地相距120千米，一辆汽车从甲地以每小时60千米的速度匀速行驶到乙地，到达后停了2小时，而后以每小时80千米的速度返回甲地。
用图来反映以上描述哪个更准确？
图1图2图3
3.9月25日是星期四，9月2日是星期几？
4.将两盒长、宽、高分别为20cm、15cm、5cm的纸盒包成一包，怎样才能节约包装纸？
包装（a）的表面积：
包装（b）的表面积：
包装（c）的表面积：
所以选用，最节约包装纸。
第二单元与第三单元
复习义务教育课程标准实验教科书，北京师范大学出版社出版的《数学》六年级上册，第二单元与第三单元部分内容。
这两个单元主要涉及统计、四则运算、空间与图形（图形面积、图形的拼接、空间图形的平面展开图、方向与位置）、比例等知识与技能。
我们在这里着重讲统计、空间与图形等大家比较容易犯错的地方。
这两章的内容分为以下几个部分：
一、统计初步知识及有关概念。
在我们身边有许多数据和有待解决的问题，我们怎样更快更好的处理它们呢？
统计图表就是很好的办法之一。
主要内容有：
通过阅读图、表，从中获得与解决问题有关的信息，并运用它们去解决问题。
涉及到的章节有：
“身高和体重”、“脉搏”、“营养配餐”、“维生素与钙”、“水”中的部分内容。
二、空间与图形的认识与计算。
你需要进一步了解图形面积和方向与位置知识在生活中的应用，其中方向与位置问题同学们第一次接触，要弄清基本概念，为以后的学习打好基础。
涉及到的章节有：
“粉刷墙壁”、“密铺”“方向与位置”等。
三、简单的逻辑推理问题。
此类问题是第三章第6节“他在哪里”的引申知识，着重考查大家的逻辑推理能力。
大家都很喜欢“名侦探柯南”，你知道他比其他人聪明在哪里吗？
就是逻辑推理能力。
处理这类问题要求同学们头脑清楚，思维连贯。
并且善于利用各种方法（主要是图表的应用）
【典型例题】
例1.选择题
（1）要清楚地反映某地某月每天的气温变化情况，应绘制（）统计图
A.条形B.折线C.扇形
（2）可以清楚地表示出各班考试平均分数的是（）统计图
A.条形B.折线C.扇形
分析与解答：
要解决这样的问题并不困难，关键要搞清各种统计图适合表示什么样的数据。
我们知道反映数据有很多种方式，可以用文字与数字，可以用统计表，也可以用我们学过的统计图。
前三者给人以精确的感觉，但并不直观；而后者则容易看出数据的变化与它们之间的比较，所以生活中经常用到，也是最基本的数据表达形式。
而常见的统计图有：
条形、折线、扇形统计图。
条形统计图适合表示一些数据之间的大小关系。
折线统计图适合表示一种或几种数据的变化趋势。
（如果有几个数据，则应用不同的线条来表示）
扇形统计图适合表示某一个数据占数据总量的百分数。
第一题要求我们表示出气温变化情况，是一个数据的变化，所以适合用折线统计图；而第二题同学们经常表示疑惑，因为三种统计图都可以表示各班考试平均分数，关键是要“清楚”地表示，就只能选择可以对比出各班分数高低的条形统计图。
正确答案：
（1）B
（2）A
解决这类问题要分析出出题者究竟想要表达数据的什么属性特点。
当然表示数据的方法并不只有一种，而同一数据有时又可以用多种表示方法，如扇形统计图也可以表示数据之间的大小关系，条形统计图也可以表示数据的变化趋势等等。
数据统计上来以后，从统计图中我们只能了解大概，也就是有了感性认识，接下来我们就要进行计算了。
我们来看一道计算问题。
例2.我国军事科学院提出一条计算人体标准体重的公式：
标准体重（千克）=[身高（厘米）－150]×
+48～50（南方人加48，北方人加50）哈尔滨市的王老师，身高183厘米，体重75千克；上海的刘老师，身高176厘米，体重60千克。
请根据此公式，判断两位老师体重是否标准。
分析与解答：
此题考查同学们的计算能力，在这里标准体重与身高之间的关系是明显的，通过公式计算出的标准体重随着此人的身高变化而变化。
如果将某人的身高带入以上公式得到的此人的“标准体重”大于实际体重则此人偏瘦，反之则偏胖。
将两位老师的身高带入公式得到：
王老师的标准体重＝[王老师的身高－150]×
+50（因为北方人加50）
＝[183－150]×
+50
＝69.8（千克）
刘老师的标准体重＝[刘老师的身高－150]×
+48（因为南方人加48）
＝[176－150]×
+48
＝63.6（千克）
所以王老师的“标准体重”小于实际体重，而刘老师的“标准体重”大于实际体重，王老师偏胖而刘老师偏瘦。
通过计算，我们可以更好的解决或解释一些我们身边的事情。
例3.某地邮政快递与民航快递重量与收费标准对比如下
（1）根据上表信息绘制折线统计图
（2）乐乐要寄3样东西到不同地方，一件重0.2千克，一件重1.5千克，一件重2.5千克，如果分三次寄出，各应选哪种快递价格便宜，这样乐乐一共需花多少元？
（3）通过统计表可以发现，超过0.5千克的物品应采用哪种方式价格优惠，结论和统计图观察到的结论是否一致？
分析与解答：
（1）通过上面的统计表，我们可以精确的知道各种重量的两种快递方式的价格，但并不能给人以直观的感觉。
下面我们来绘制统计图。
（2）从表中我们可以轻易的读出分三次寄出两种快递的价格，应选民航快递，总价格为150元。
但仔细想想，我们可以分别将三件物品寄出：
在邮政快递寄0.2千克的物品；在民航快递寄1.5和2.5千克的物品。
总价为20＋50＋70＝140（元）
（3）观察统计表可以发现，超过0.5千克的物品应采用民航快递方式价格优惠。
反映到统计图中则是在0.5以上时实线总在虚线上。
例4.一间教室需要装修，已有的天花板不再装修。
教室长8米，宽5米，高4米，教室的门都是1.2米×2米，窗户有两个都是2米×2米，每平方米需要涂料0.5升，实际粉刷时有实际粉刷涂料的10%被耗损，涂料的种类有两种：
大桶的18升160元，小桶的10升105元。
地砖也有两种类型：
30cm×30cm的是每块5元，40cm×40cm的是每块8元，请你设计一下怎样安排装修能最省钱？
至少用多少钱？
分析与解答：
此题较为复杂，综合性较强。
其实我们可以将它分为两部分，即需粉刷墙的涂料多少钱，和铺的地砖多少钱。
首先我们求出需要粉刷的面积和需要的涂料：
（4×5＋4×8）×2－1.2×2－2×2×2＝93.6（平方米）
93.6×0.5×（1＋10％）＝51.48（升）
在这里我们列出表格，这样做的好处是清晰，不容易遗漏也不易重复。
经过比较买3大桶涂料省钱，价钱是480元。
我们再来计算地面：
5×8＝40（平方米）
使用30cm×30cm的地砖需40÷（0.3×0.3）≈445（块），共需445×5=2225（元）
使用40cm×40cm的地砖需40÷（0.4×0.4）＝250（块），共需250×8＝2000（元）
最后将两部分相加480＋2000＝2480（元）
答：
要装修这间教室买3桶18升的涂料共480元，铺40cm×40cm规格的地砖250块最省钱，费用共2480元。
例5.某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄：
①小刘说：
“我比小陈小2岁。
”
②小陈说：
“小李和我差三岁。
”
③小李说：
“我比小刘年岁小，小刘23岁。
”
请你帮助赵主任分析出他们三人各是多少岁？
分析与解答：
我们共同来做一回“柯南”。
已知小刘23岁，小刘比小陈小2岁，也就是说小陈比小刘大2岁，即23＋2＝25岁。
小李和小陈差三岁，有两种情况：
小李比小陈大三岁，25＋8＝33岁；小李比小陈小三岁，25－8＝17岁。
而小李比小刘小，所以不可能是33岁，只能是17岁。
三人的年龄分别为：
小刘，23岁；小陈，25岁；小李，17岁。
我们也可以用这种方式：
有时图表比文字更说明问题。
例6.如图所示：
M点的位置记作M（5，14）；N点的位置记作N（9，14），它们到直线PQ的距离相等。
我们把这样的一对点叫做关于直线PQ的对称点。
（1）请在下图中分别画出B点和C点关于直线PQ的对称点D点和E点；
（2）仿照M点、N点的记法，写出D点和E点的位置；
（3）按A→B→E→C→D→A的顺序把这些点用线段连结起来，并说出连结起来的图形的名称。
如果有若干个这种图形，它们是否能密铺平面？
分析与解答：
（2）D（12，7），E（4，3）
（3）连结顺序如图，是个五边形。
不能密铺。
根据密铺知识，能够单独密铺平面的图形只有三角形、四边形、特殊的五边形、正六边形等，此图形不属于以上几种图形，所以它不能单独密铺平面。
【模拟试题】
1、营养学中900克蔬菜相当于600克水果的营养，那么300克水果相当于克蔬菜的营养。
2、下列说法错误的是（）
A、东南方向即为南偏东45度；
B、甲在乙的西北方向，则乙在甲的东南方向；
C、甲在乙的西北方向，丙也在乙的西北方向，则甲、乙、丙一定在一条直线上；
D、甲在乙的东南方，丙在乙的南方，则丙在甲的东方。
3、某年从1月到次年7月，伦敦降水量变化情况如图，则不正确的是（）
A、1月到7月降水量增长率逐月减少；
B、7月份降水量的增长率开始回升；
C、这7个月中，每月的降水量不断升高；
D、这7个月每月降水量有增有减
4、已知A,B两点为两艘搜救艇所在位置，据探测有由一艘渔船C在A艇的北偏东60度的方向,在B艇的北偏东30度方向，请你应用所学知识确定渔船C所在位置。
5、要清洗面积为100平方米的房间。
若第一遍清洗每平方米需洗涤剂0.02千克，而第二遍清洗只需第一遍的
，那么清洗两遍共需清洗剂多少千克？
若有300克3元和每瓶800克7元两种包装的清洗剂，那么如何购买清洗剂才能最省钱？
【试题答案】
第一单元
1.
（1）7，10
（2）31
（3）301
（4）
2.图2
3.星期二
4.1300
；1700
；1750
；a
第二单元与第三单元
1、4502、D3、D
5、100×0.02×（1＋1／4）=2.5（千克）
2.5千克=2500克
800克
4
3
2
1
0
300克
0
1
3
6
9
克数/克
3200
2700
2500
2600
2700
钱数/元
28
24
23
25
27
答：
清洗两遍共需清洗剂2.5千克，购买800克2瓶和300克3瓶最合算。
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