《线性代数经济数学2》课程习题集附答案.docx

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《线性代数经济数学2》课程习题集附答案

《线性代数（经济数学2）》课程习题集

西南科技大学成人、网络教育学院习题

【说明】：

本课程《线性代数（经济数学2）》（编号为

01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。

一、计算题1

1.设三阶行列式为求余子式M11，M12，M13及代数余子式A11，A12，A13．

2.用范德蒙行列式计算4阶行列式

3.求解下列线性方程组：

其中

4.问取何值时齐次线性方程组有非零解？

5.问取何值时齐次线性方程组有非零解？

二、计算题2

6.计算的值。

7.计算行列式的值。

8.计算的值。

9.计算行列式的值。

10.计算的值。

11.求满足下列等式的矩阵X。

12.A为任一方阵，证明，均为对称阵。

13.设矩阵

求AB．

14.已知

求和

15.用初等变换法解矩阵方程AX=B其中

16.设矩阵求

17.求的逆。

18.设n阶方阵A可逆，试证明A的伴随矩阵A*可逆，并求。

19.求矩阵的逆。

20.求矩阵的逆。

三、计算题3

21.设矩阵

求矩阵A的秩R（A）。

22.求向量组的秩。

其中，，，，。

23.设向量组，，可由向量组，，线性表示。

试将向量，，由，，线性表示。

24.问a取什么值时下列向量组线性相关？

a1（a11）Ta2（1a1）Ta3（11a）T

25.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组

a1（1214）Ta2（9100104）Ta3（2428）T。

四、计算题4

26.求线性方和组的解

27.求解下列线性方程组

28.当a、b为何值时，线性方程组有解，当其有解时，求出其全部解。

29.求解齐次线性方程组

30.求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系

31.试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．

32.设矩阵

求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。

33.求一个正交变换将二次型f2x123x223x334x2x3化成标准形。

34.求一个正交变换将二次型fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4化成标准形。

35.试求一个正交的相似变换矩阵,将对称阵化为对角阵。

五、计算题5

（略）……

答案

一、计算题1

1.解：

，（3分）

，（6分）

，（8分）

2.解：

对照范德蒙行列式，此处

a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5（3分）所以有

（5分）

=10368（8分）

3.解：

写出系数行列式D

（3分）

D为n阶范德蒙行列式，据题设

（5分）

由克莱姆法则知方程组有唯一解。

易知

（8分）

4.解系数行列式为

（4分）令D0得

0或1（6分）

于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解（8分）

5.解系数行列式为

（4分）

（1）3（3）4

（1）2

（1）（3+）

（1）32

（1）23（6分）

令D0得

02或3

于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解（8分）

二、计算题2

6.解：

（4分）

（8分）

（10分）

7.解

（2分）

（4分）

（6分）

（8分）

=-60（10分）

8.解：

（5分）

（10分）

9.解：

对于行列式，使用性质进行计算。

有（第3列减第2列）（3分）

（第2列减第1列）（6分）

（由于2，3列对应相等）（8分）

=0（10分）

10.解（5分）

（10分）

11.解将上述等式看成（2分）

由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得

∴（4分）

=（6分）

=（8分）

=（10分）

12.

证：

对称阵：

（20分）

（4分）

∴

是对称阵.（6分）

（8分）

∴

是对称阵（10分）

13.解AB

（2分）

（6分）

（8分）

（10分）

14.解

（3分）

∴

（6分）

而

（10分）

15.解

（1分）

（3分）

（5分）

（7分）

（9分）

∴X=A-1B

（10分）

16.解：

（2分）

（4分）

（6分）

（8分）于是

（10分）

17.解：

（3分）

（7分）

∴

（10分）

18.证：

因为A可逆，所以|A|≠0，（1分）且

于是有A*=|A|A-1（3分）

对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质

（2）（注意|A|是一个数）得

|A*|=||A|A-1|=|A|n|A-1|（5分）又因

|A-1|≠0（∵A可逆，由定义知A-1可逆）

∴|A*|≠0

所以A*是可逆的．（6分）因为

（8分）

可知

（10分）

19.解：

令，（2分）于是

则（4分）

用伴随矩阵极易写出

（6分）

（8分）

（10分）

20.解|A|20故A1存在（2分）因为

（6分）

所以（10分）

三、计算题3

21.解：

对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有

（2分）

（4分）

（6分）

（8分）

最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R（A）=3（12分）

22.

解：

把

排成

的矩阵A（2分）

（8分）

这是一个"下三角形"矩阵

（12分）

23.解：

由上视为的线性方程组，解出

来。

（2分）

（6分）

（10分）

所以（12分）

24.解以所给向量为列向量的矩阵记为A（2分）由

（8分）

知当a1、0、1时R（A）3此时向量组线性相关（12分）

25.解由

（7分）

知R（a1a2a3）2因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1a2是一个最大无关组（12分）

四、计算题4

26.解：

（3分）

（6分）

（9分）方程有解

（12分）

视x3为自由未知量，方程组有无数多个解（即解不唯一）

（15分）

27.解：

（3分）

（6分）

到此，,导出组基础解系含5－2=3个基础解向量．导出组有2个自由未知量．由最后的矩阵看取为自由未知量．（8分）

写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端（等号右端自由未知量以

表示）得：

（12分）

即（15分）

28.解：

（3分）

（5分）时

方程组有解（无穷多解）。

（7分）

（10分）

得一般解：

补齐

用解向量形式表出为：

（15分）

29.解

（第1行乘-2，-5分别加到第2，3行）（1分）

（第2行乘-6加到第3行）（2分）

（第2行与第3行交换）（3分）

（第2行乘3加到第3行）（4分）

（第3行乘）（5分）

（第3行乘17加到第2行）（6分）

（第2行乘-2加到第1行）（7分）

（第3行乘5加到第1行）（8分）

（9分）

因为，，且左上角化成了三阶单位方阵，所以基础解系中应含有一个解向量．（10分）

与原方程同解的方程组有

（12分）

即

（15分）

30.解对增广矩阵进行初等行变换有

（3分）与所给方程组同解的方程为

（6分）

当x30时得所给方程组的一个解（81302）T（9分）与对应的齐次方程组同解的方程为

（12分）

当x31时得对应的齐次方程组的基础解系（1110）T（15分）

31.解

（2分）

（4分）

（6分）

（8分）

对应的特征向量

，

，

（10分）

标准化

，

，

（12分）

∴正交变换阵为

CTAC

（15分）

32.解

（1）

∴A的特征值是

．（2分）

得A的正交相似的对角阵

（4分）

（2）对于

，由

得基础解系

（6分）

对于

，由

得基础解系

（8分）

对于

，由

得基础解系

（10分）

（3）由于

属于A的3个不同特征值

的特征向量，它们必正交．将其标准化，得

（12分）

（4）写出正交变换阵

（14分）

（5）有

（15分）

33.解二次型的矩阵为由得A的特征值为122531（3分）

当12时,解方程（A2E）x0由

得特征向量（100）T取p1（100）T（6分）当25时解方程（A5E）x0由

得特征向量（011）T取（9分）当31时解方程（AE）x0由

得特征向量（011）T取（12分）

于是有正交矩阵T（p1p2p3）和正交变换xTy使

123

f2y25y2y2（15分）

34.解二次型矩阵为由

得A的特征值为1123341

（3分）

当11时可得单位特征向量（6分）

当23时可得单位特征向量（9分）当341时可得线性无关的单位特征向量

（12分）

于是有正交矩阵T（p1p2p3p4）和正交变换xTy使

1234

fy23y2y2y2（15分）

35.解:

将所给矩阵记为A由

（1）（4）

（2）

得矩阵A的特征值为122134（3分）对于12解方程（A2E）x0即

得特征向量（122）T单位化得（6分）对于21,解方程（AE）x0即

得特征向量（212）T单位化得（9分）对于34,解方程（A4E）x0即

得特征向量（221）T单位化得（12分）

于是有正交阵P（p1p2p3）使P1APdiag（214）（15分）

五、计算题5

（略）……