学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》解答题易错题训练二.docx

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学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》解答题易错题训练二

人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》

解答题易错题训练

（二）

1．如图，已知OB平分∠AOC，OA⊥OD于点O，且∠1：

∠2＝2：

5，求∠1的度数．

2．把题中的推理补充完整．如图，已知AB∥CD，CB∥DE，求证：

∠B+∠D＝180°．

证明：

∵AB∥CD（　　），

∴∠B＝　　（　　），

∵CB∥DE（　　），

∴∠C+∠D＝180°（　　），

∴∠B+∠D＝180°（　　）．

3．如图

（1），直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，EG平分∠AEF，FG平分∠CFE．

（1）试判断EG与GF的位置关系；

（2）过点G作直线m∥AB（如图

（2）），点P为直线m上一点，当∠EPF＝80°时，求∠AEP+∠CFP的度数．

4．阅读材料

（1），并利用

（1）的结论解决问题

（2）和问题（3）．

（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：

∠E＝∠B+∠D．

悦悦是这样做的：

过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．

∵AB∥CD，∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠D．

∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．

即∠BED＝∠B+∠D．

（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．

（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：

∠FG1E+∠G2＝180°．

5．如图，∠A＝∠3，DE⊥BC，AB⊥BC，那么∠1＝∠2吗？

说明理由．

结论：

∠1与∠2相等，理由：

∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），

∴∠DEC＝∠ABC＝90°（　　）．

∴DE∥AB（　　）．

∴∠1＝∠A（　　）．

∠2＝∠3（　　）．

∵∠A＝∠3（已知），

∴∠1＝∠2（　　）．

6．如图1，已知MN∥PQ，A、B在MN上，C、D在PQ上，直线AD、BC交于点F：

（1）求证：

∠PDF＝∠F+∠ABC．

（2）若∠FDC＝x°，∠F＝y°，已知6x•（

）y＝246•3106，求∠ABC的度数．

（3）如图2，DE平分∠ADP、BE平分∠ABC．直线DE、BE交于点E，请写出∠E和∠F的数量关系并说明理由．

7．如图，已知，AB⊥BC，AD∥BC，∠BAC＝∠D＝60°．

（1）试求∠C和∠DEC的度数；

（2）说明直线AC与DE的关系，并说明理由．

8．已知：

如图，点F、E分别在AB、CD上，AE，DF分别与BC相交于H，G，∠A＝∠D，∠1+∠2＝180°．试说明：

AB∥CD

解：

∵∠1＝∠CGD（　　）

又∵∠1+∠2＝180°（已知）

∴∠　　+∠2＝180°．

∴AE∥FD（　　）

∴∠A＝∠　　（　　）

又∵∠A＝∠D

∴　　

∴AB∥CD

9．已知：

AD∥BC，∠B＝∠D

（1）如图①，求证：

AB∥CD

（2）如图②，点E、F在BC上，且满足AE平分∠BAF，∠DAC＝2∠FAC，若∠AEB＝∠ACD，∠B＝m°，求∠ACB的度数（用m表示）．

10．如图，已知AB∥CD，线段GH交AB于点J，直线EF分别交AB，CD，GH于点L，M，H，且∠1＝48°，∠2＝43°．

（1）找出图中所有∠1的同位角；

（2）求∠GHF的度数．

11．复习课上老师为了帮同学们巩固平行线的性质，在黑板上出了这样一道题：

已知，如图，AB∥CD，AD∥BC

（1）求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．

（2）用三种不同的方法证明：

∠A＝∠C请你用平行线的性质来解决以上问题．

12．如图，已知AB∥CD．

（1）如图1，求证：

∠B+∠E＝∠D；

（2）F为AB，CD之间的一点，∠E＝30°，∠EFD＝140°，DG平分∠CDF交AB于点G，

①如图2，若DG∥BE，求∠B的度数；

②如图3，若DG与∠EFD的平分线交于点H，∠B＝3∠H，直接写出∠CDF的度数．

13．如图所示，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，把下面的空填写完整．

解：

因为∠A＝∠F（已知）

所以DF∥AC（　　）

所以∠D＝∠ABD（　　）

又因为∠D＝∠C（已知）

所以∠C＝∠ABD（　　）

所以　　∥　　　（　　）

14．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．

（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．

（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．

（3）如图3，在

（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．

15．如图已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：

AB∥CD．

证明：

∵∠1＝∠2（已知），

且∠1＝∠4（　　），

∴∠2＝∠4（　　）．

∴BF∥　　（　　）．

∴∠　　＝∠3（　　）．

又∵∠B＝∠C（已知），

∴　　（等量代换）．

∴AB∥CD（　　）．

16．已知，直线AB、DF相交于点E，AB∥CD，EG平分∠AEF，CE⊥EG．

（1）如图1，若∠AEF＝44°，求∠C的度数．

（2）如图2，若AB⊥DF，请直接写出图中与∠C互补的角．

37．如图，AB∥CD，E在AB上，且∠AEC＝∠ACE．

（1）求证：

CE平分∠ACD；

（2）点P为CE上一点，点F在CD上，求证：

∠PFD﹣∠AEC＝∠CPF；

（3）在

（2）的条件下，过点F作FG∥AC，交AB于点G，连接PG，若∠A＝2∠PGF，求∠CPG的度数．

18．完成下面推理过程：

如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：

∠E＝∠DFE．

证明：

∵∠B+∠BCD＝180°，

∴AB∥　　（　　）

∴∠B＝∠DCE（　　）

又∵∠B＝∠D，

∴∠DCE＝∠D（　　）

∴　　∥　　（　　）

∴∠E＝∠DFE（　　）

19．如图1，BD平分∠ABC，E在AB上，F在AC上．

（1）如图2，连接CE交BD于H，若∠FEH+∠DHE＝180°，求证：

∠1＝∠2．

（2）如图3，连接ED，若ED∥BC，∠3＝∠4，求证：

EF平分∠AED．

参考答案

1．解：

∵OB平分∠AOC，

∴∠1＝∠AOB，

∵OA⊥OD于点O，

∴∠AOD＝90°，

∵∠1：

∠2＝2：

5，

设∠1＝2x°，∠2＝5x°，

根据图示可得：

2x+2x+90°+5x＝360°，

解得：

x＝30，

∴∠1＝60°．

2．证明：

∵AB∥CD（已知），

∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），

∵CB∥DE（已知），

∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠B+∠D＝180°（等量代换）．

故答案为：

已知；∠C；两直线平行，内错角相等；已知；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．

3．解：

（1）EG⊥GF，

∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∵EG平分∠AEF，FG平分∠CFE，

∴∠AEF＝2∠GEF，∠CFE＝2∠GFE，

∴∠EGF+∠GFE＝90°，

∴EG⊥GF；

（2）

分为两种情况：

①如图

（1），

∵PG∥AB，AB∥CD，

∴PG∥AB∥CD，

∴∠AEP＝∠EPG，∠CFP＝∠FPG，

∵∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝80°，

∴∠AEP+∠CFF＝80°；

②如图

（2），

∵PG∥AB，AB∥CD，

∴PG∥AB∥CD，

∴∠AEP+∠EPG＝180°，∠CFP+∠FPG＝180°，

∵∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝80°，

∴∠AEP+∠CFP＝180°+180°﹣80°＝280°．

4．

（2）如图2所示，猜想：

∠EGF＝90°；

证明：

由结论

（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，

∵BE∥CF，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，

∴∠BEG+∠GFD＝90°，

∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF＝90°；

（3）证明：

如图3，过点G1作G1H∥AB，

∵AB∥CD，∴G1H∥CD，

由结论

（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠3＝∠G2FD，

∵FG2平分∠EFD，

∴∠4＝∠G2FD，

∵∠1＝∠2，

∴∠G2＝∠2+∠4，

∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴∠EG1F+∠G2＝180°．

5．解：

∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），

∴∠DEC＝∠ABC＝90°（垂直的性质）．

∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）．

∴∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）．

∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．

∵∠A＝∠3（已知），

∴∠1＝∠2（等量代换）

故答案为：

垂直的性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．

6．

（1）证明：

∵MN∥PQ，

∴∠DCF＝∠ABC，

∵∠PDF＝∠F+∠DCF，

∴∠PDF＝∠F+∠ABC．

（2）解：

∵6x•（

）y＝246•3106，

∴（2×3）x•（3×2﹣1）y＝246•3106，

∴2x•3x•3y•2﹣y＝246•3106，

∴2x﹣y•3y+x＝246•3106，

∴

，

解得：

，

∴∠FDC＝76°，∠F＝30°，

∴∠DCF＝180°﹣76°﹣30°＝74°，

∵MN∥PQ，

∴∠ABC＝∠DCF＝74°；

（3）解：

∠BED＝90°﹣

∠F，理由如下：

作EG∥PQ，如图所示：

则EG∥MN∥PQ，

∴∠DCF＝∠ABC，∠DEG＝∠PDE，∠BEG＝∠MBE，

∴∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠PDE+∠MBE，

∵DE平分∠ADP、BE平分∠ABC，

∴∠PDE＝

∠ADP，∠MBE＝

∠ABC，

∵∠FDC＝∠ADP，

∴∠BED＝∠DEG+∠BEG＝

（∠FDC+∠DCF），

∵∠FDC+∠DCF＝180°﹣∠F，

∴∠BED＝

（∠FDC+∠DCF）＝

（180°﹣∠F）＝90°﹣

∠F．

7．解：

如图所示：

（1）∵AB⊥BC，

∴∠B＝90°，

又∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠C＝90°，

∴∠C＝30°，

又∵AD∥BC，

∴∠D＝∠DEC，

（2）AC⊥DE，理由如下，

∵∠D＝60°，

∴∠DEC＝60°，

又∵∠DEC+∠C+∠EFC＝180°，

∴∠EFC＝90°，

∴AC⊥DE．

8．解：

∵∠1＝∠CGD

（对顶角相等）

又∵∠1+∠2＝180°（已知）

∴∠CGD+∠2＝180°．

∴AE∥FD（　同旁内角互补两直线平行　）

∴∠A＝∠BFG（　两直线平行同位角相等　）

又∵∠A＝∠D

∴∠D＝∠BFG，

∴AB∥CD．

故答案为：

对顶角相等，CGD，同旁内角互补两直线平行，两直线平行同位角相等，∠D＝∠BFG．

9．

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠B＝∠D，

∴∠A+∠D＝180°，

∴AB∥CD；

（2）解：

∵AE平分∠BAF，

∴∠BAF＝2∠BAE，

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ACB＝∠DAC，∠ACD＝∠BAC，∠AEB＝∠DAE，

∵∠AEB＝∠ACD，

∴∠BAE＝∠DAC，

∵∠DAC＝2∠FAC，

∴∠BAE＝∠DAC＝∠ACB＝2∠FAC，

∴∠ACD＝5∠FAC，

在△ACD中，∠D＝∠B＝m°，∠DAC+∠ACD+m°＝180°，

即2∠FAC+5∠FAC+m°＝180°，

∴∠FAC＝

（180°﹣m°），

∴∠ACB＝2∠FAC＝

（180°﹣m°）．

10．解：

（1）由图可得，

∠1的同位角是∠ELB、∠JHM；

（2）作HN∥AB，则HN∥CD，

故∠1＝∠GHN，∠2＝∠FHN，

∵∠1＝48°，∠2＝43°，

∴∠1+∠2＝91°，

∴∠GHN+∠FHN＝91°，

∴∠GHF＝∠GHN+∠FHN＝91°，

即∠GHF＝91°．

11．

（1）解：

∵AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°+180°＝360°；

（2）证明：

①∵AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，

∵AB∥CD，

∴∠C+∠B＝180°，

∴∠A＝∠C；

②如图，延长AB到E，

∵AD∥BC，

∴∠A＝∠CBE，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠CBE，

∴∠A＝∠C；

③如图，连接AC．

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴∠DAC+∠BAC＝∠ACB+∠ACD，

∴∠BAD＝∠BCD．

12．

（1）证明：

如图1，作EF∥AB．

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF

∵∠DEF＝∠BED+∠BEF，

∴∠B+∠BED＝∠D

（2）解：

①如图2，作FH∥BE．

∵BE∥DG，

∴BE∥FH∥DG，

∴∠E＝∠EFH＝30°

∵∠DFE＝140°，

∴∠HFD＝110°，

∴∠GDF＝180°﹣∠HFD＝70°

∵DG平分∠CDF，

∴∠CDG＝∠GDF＝70°

∵AB∥CD，

∴∠BGD＝∠CDG＝70°

∵BE∥DG，

∴∠B＝∠BGD＝70°

②如图3中，设∠H＝y，∠CDH＝∠FDH＝x，则∠B＝3y．

则有

，

解得

∴∠CDF＝2x＝160°．

13．解：

因为∠A＝∠F（已知）

所以DF∥AC（内错角相等，两直线平行）

所以∠D＝∠ABD（两直线平行，内错角相等）

又因为∠D＝∠C（已知）

所以∠C＝∠ABD（等量代换）

所以BD∥EC（同位角相等，两直线平行）；

故答案为：

内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；BD，EC，同位角相等，两直线平行．

14．解：

（1）如图1，

过点E作ER∥AB，

∵AB∥CD，

∴ER∥CD，

∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，

∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，

∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，

∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，

∴∠ABE＝∠BER＝30°

答：

∠ABE的度数为30°．

（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，

∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，

设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，

∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，

设∠CEB＝β，

则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，

∵CF平分∠ECD，

∴∠DCF＝∠FCE＝

，

∴∠CFL＝

，∠BFL＝∠ABF＝α，

∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝

，

∴2×

+180﹣β＝190，

∴α＝10，

∴∠ABE＝30°．

答：

∠ABE的度数为30°．

（3）如图3，过点P作PJ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PJ∥CD，

∵PK平分∠BPH，

∴∠KPH＝∠KPB＝x，

∵HN∥PK，

∴∠NHP＝x，

设∠MHN＝y，

∴∠MHP＝x+y，

∵HM平分∠DHP，

∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，

∵∠DHQ＝2∠DHN，

∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，

∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，

∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，

∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，

∴∠PHQ＝30°

答：

∠PHQ的度数为30°．

15．证明：

∵∠1＝∠2（已知），

且∠1＝∠4（对顶角相等），

∴∠2＝∠4（等量替换），

∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行），

∴∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等）．

又∵∠B＝∠C（已知），

∴∠3＝∠B（等量替换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：

对顶角相等；等量替换；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．

16．解：

（1）∵EG平分∠AEF，∠AEF＝44°，

∴∠AEG＝∠GEF＝

∠AEF＝22°，

∵CE⊥EG．

∴∠AEC＝90°﹣22°＝68°，

又∵AB∥CD，

∴∠C＝∠AEC＝68°，

（2）∵AB∥CD，EG平分∠AEF，CE⊥EG．AB⊥DF，

∴∠C＝∠CED＝∠CEA＝∠AEG＝∠GEF＝45°

∴∠CEB＝∠CEF＝∠GED＝∠GEB＝135°

因此与∠C互补的角有：

∠CEB，∠CEF，∠GED，∠GEB．

17．

（1）证明：

如图1中，

∵AB∥CD，

∴∠AEC＝∠ECD，

∵∠AEC＝∠ACE，

∴∠ACE＝∠ECD，

∴CE平分∠ACD．

（2）证明：

如图2中，

∵AB∥CD，

∴∠AEC＝∠ECD，

∵∠PFD＝∠ECD+∠CPF，

∴∠PFD﹣∠ECD＝∠CPF，

∴∠PFD﹣∠AEC＝∠CPF．

（3）解：

如图3中，设GF交EC于K．

∵GF∥AC，

∴∠A＝∠EGK，∠EKG＝∠ACE，

∵∠A＝2∠PGF，∠AEC＝∠ACE，

∴∠PGE＝∠PGK，∠GEK＝∠GKE，

∴GE＝GK，

∴GP⊥EK，

∴∠CPG＝90°．

18．证明：

∵∠B+∠BCD＝180°，

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠B＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）

又∵∠B＝∠D，

∴∠DCE＝∠D（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等），

故答案为：

CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；AD；BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

19．证明：

（1）∵∠FEH+∠DHE＝180°，

∴EF∥BD，

∴∠1＝∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠2＝∠ABD，

∴∠1＝∠2；

（2）∵BD平分∠ABC，

∴∠2＝∠ABD，

∵ED∥BC，

∴∠2＝∠4，

∴∠4＝∠ABD，

∵∠3＝∠4，

∴∠3＝∠ABD，EF∥BD，

∴∠1＝∠ABD，

∴∠1＝∠3，

∴EF平分∠AED．