等差等比数列的性质与规律小题专项训练.docx

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等差等比数列的性质与规律小题专项训练

等差、等比数列的性质与规律小题专项训练

一、知识要点：

（一）等差数列

1、等差数列的定义：

如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

即.（或）.

2、等差中项：

若a、A、b三个数成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，即A=.

3、等差数列的通项公式：

.

公式变形为:

，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，n的系数是公差。

4、等差数列的前n项和公式：

公式变形为：

，是关于n的二次函数，且无常数项，的系数是公差的一半。

若题目所给及所求都是前n项和的关系，可设前n项和为：

.

注意：

已知n,d,,,中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。

5、等差数列的设法：

若三数成等差，则可设为a,a+d,a+2d或a－d,a,a+d；

若四数成等差，则可设为a－3d,a－d,a+d,a+3d.

6、等差数列的判定方法：

证明大题的方法：

①定义法：

为等差数列。

②中项法：

为等差数列。

小题可用判断技巧：

①通项公式法：

（a,b为常数）为等差数列。

②前n项和公式法：

（A,B为常数）为等差数列。

7、等差数列的性质：

（1）单调性：

设d为等差数列的公差，则

d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列.

（2），其中m,n.如：

。

（3）公差；.m,n.

（4）若m+n=p+q,则.如：

（5）若m,n,p成等差数列，则。

如：

但（x）

（6）对称性：

若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.

（7）构成的数列是等差数列

（8）项数成等差,则相应的项也成等差数列.即成等差.

（9）数列、、等数列都是等差数列，其中c、p、q为常数，为等差数列。

（10）若等差数列，的前n项和分别为，，则

（11）若共有2n项,则；；.

若共有2n－1项,则；；.

如，5=（9+1）÷2；

8、已知成等差数列，求的最值问题：

1若,d<0且满足,则最大；

②若,d>0且满足,则最小.

另外还可以利用二次函数求最值,或利用导数求最值.

注意：

①解决有关等差数列问题通常有两种常用的方法：

基本量法，性质法。

②对于本章问题，要学会运用函数、方程（组）、不等式的思想方法解决。

（二）等比数列

1、等比数列的定义：

如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

即（或.

2、等比中项：

如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，

即G=.

3、等比数列的通项公式：

等比数列的首项为,公比为q,则通项公式为:

.公式变形为:

其中A=.

4、等比数列的前n项和公式：

（推导方法是错位相减法）

q≠1时，（注意两个红色部分互为相反数哦）

公式变形为：

其中且.

注意：

已知n,q,,,中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。

5、等比数列的设法：

若三数成等比，则可设为a,aq,aq2或；;

若四数成等比，且公比为正，则可设为.

6、等比数列的判定方法：

证明等比数列的方法：

①定义法：

为等比数列。

②中项法：

（）为等比数列。

判断等比数列的常用技巧：

①通项公式法：

（A,q为不为0的常数）为等比数列。

②前n项和公式法：

（）为等比数列（）。

7、等比数列的性质：

（1），其中m,n.如：

（2）若m+n=p+q=2t,则（其中m,n,p,q,t）.如：

但（X）.

（3）对称性：

若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.

（4）数列、数列都是等比数列，其中c为常数。

（5）构成的数列是等比数列.

（6）若是等比数列，且各项均为正数，则成等差数列。

（7）单调性：

是递增数列；是递减数列；q=1是常数数列；q<0是摆动数列。

注意：

等比数列与等差数列在各方面都比较类似，故可以类比理解、掌握。

①解决有关等比数列问题通常有两种常用的方法：

基本量法，性质法。

②对于本章问题，要学会运用函数、方程（组）、不等式的思想方法解决。

二、针对训练：

（一）选择题

1．已知等差数列满足，则下列选项错误的是（）

A．B．

C．D．

2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10等（）

A．45B．75C．50D．60

3．设{}是公差为正数的等差数列，若，且，则等于（）

A．120B．105C．90D．75

4．等差数列中，=12，那么的前7项和=（）

A．22B．24C．26D．28

5．等差数列中，=3，=7，则=（）

A．9B．10C．11D．12

6．等差数列中，已知，，则使得的最大正整数为（）

A．B．C．D．6

7．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）

A．B．C．D．

8．在等差数列中，若，则的值为（）．

A．B．C．D．

9．设等差数列，的前n项和分别为，若，则（）

（A）（B）（C）（D）

10．等差数列中，，公差，那么使的前项和最大的值为（）

A．B．C．或D．或

11．已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则

A．B．C．D．

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则使Sn取得最大项的n为

A．8B．9C．10D．11

13．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为（）

A．4B．C．D．2

14．若，是等比数列中的项，且不等式的解集是，则的值是（）

A．B．C．D．

15．设等比数列中，前n项和为,已知，则（）

A．B．C．D．

16．已知数列为等比数列，则（）

A．9B．C．D．

17．已知成等差数列，成等比数列，则等于（）

A、B、C、D、或

18．设等比数列中，前n项和为,已知，则（）

A．B．C．D．

19．设等比数列的前n项和为，若=3则=（）

A．2B．C．D．3

20．已知等比数列的前n项和为，且,则（）

A．16B．18C．8D．12

21．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（）

A．5B．6C．7D．8

22．设，若是与的等比中项，则的最小值为．

（二）填空题

23．已知等差数列中，前5项和，则=．

24．已知等差数列中，，则其前6项和.

25．等差数列的前项和，已知，，当=0时，=．

26．在等差数列中，，为方程的两根，则

27．已知等差数列中，，则的值是

28．设等差数列的前项和为，已知，，则．

29．已知等比数列{an}中，若，则__________．

30．已知等比数列{an}的前n项和，则实数t的值为．

31．等比数列各项均为正数，且，则

32．在正项等比数列中，，则的最小值为_______.

33．设等比数列的前项和为，若，则.

34．已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为.

参考答案

1．C

【解析】

分析：

根据等差数列的特点，，显然选项B是正确的，，选项D是正确的，，故A选项正确。

所以答案选择C选项。

2．C

【解析】

分析：

根据等差数列的性质，，解得，，解得，所以，而．

3．B

【解析】

分析：

由得由得，

所以=，故选B

4．D

【解析】

分析：

由等差数列性质

5．C

【解析】

分析：

由等差数列通项公式成等差数列，成等差数列，所以，，成等差数列，所以=11

6．D

【解析】

分析：

的最大n值为6

7．B

【解析】

分析：

8．A

【解析】

分析：

利用等差数列中构成等差数列的性质，设

9．B

【解析】

分析：

，答案选B.

10．C

【解析】

分析：

，公差，则，因此最大的值为5或6

11．C

【解析】

分析：

设等比数列{}的公比为，因为，成等差数列，，，即解得，因为，所以，

，所以答案为C．

12．C

【解析】

分析：

试题分析：

因为S19>0，S20<0，所以，且

所以，

所以当时，最大．故选C．

13．A

【解析】

分析：

根据等比数列的性质，，代入数据解得．

14．C

【解析】

分析：

由不等式的解集可知

15．A

【解析】

分析：

因为{an}为等比数列，所以S3，S6-S3，S9-S6，成等比数列，

则S3（S9-S6）=（S6-S3）2，即8×（S9-S6）=（-1）2，

解得S9-S6=，即a7+a8+a9=。

16．C．

【解析】

分析：

由题意，得，且，即，．

17．C

【解析】

分析：

，，所以．

18．A

【解析】

分析：

因为{an}为等比数列，所以S3，S6-S3，S9-S6，成等比数列，

则S3（S9-S6）=（S6-S3）2，即8×（S9-S6）=（-1）2，

解得S9-S6=，即a7+a8+a9=。

19．B

【解析】

分析：

等比数列中成等比数列，设

20．C

【解析】

分析：

等比数列中构成等比数列

21．C

【解析】

分析：

，故选C．

22．4

【解析】

分析：

由题意知，又，

所以，所以的最小值为.

23．3

【解析】

分析：

由求和公式

24．

【解析】

分析：

，所以答案应填：

．

25．17

【解析】

分析：

26．15

【解析】

分析：

，为方程的两根，所以+=10，数列,是等差数列，所以+=，．

27．15

【解析】

分析：

由等差数列性质

28．

【解析】

分析：

根据等差数列的性质，可知成等差数列，即,解得.

29．5

【解析】

分析：

变形为

30．-2

【解析】

分析：

解法一：

根据等比数列的前n项和公式的特点，中两个红色部分互为相反数，可得=中的，所以t=-2.

解法二：

31．10

【解析】

分析：

由等比数列的性质可知，所以，因此，所以答案为10.

32．20

【解析】

分析：

设，则，由于是等比数列，所以也成等比数列，因此

，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为20.

33．

【解析】

分析：

由题意得：

成等比数列，公比为3，所以从而

34．8

【解析】

分析：

由题意得：

，，从而，当且仅当时取等号，则的最小值为8.