最新人教版七年级数学上册教案第三章 一元一次方程.docx
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最新人教版七年级数学上册教案第三章一元一次方程
第三章一元一次方程
3.1从算式到方程
3.1.1一元一次方程
【知识与技能】
1.理解一元一次方程、方程的解等概念.
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.
【过程与方法】
培养学生寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力.
【情感态度】
体验用估算方法寻求方程的解的过程,培养学生求实的态度.
【教学重点】
寻找相等关系、列出方程.
【教学难点】
用估算的方法寻求方程的解.
一、情境导入,初步认识
问题1小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁,小雨、小思的年龄各是几岁?
如果设小雨的年龄为x岁,你能用不同的方法表示小思的年龄吗?
在学生回答的基础上,教师加以引导:
小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示,这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示.
由于这两个不同的式子表示的是同一个量,因此我们又可以写成:
25-x=2x-8.这样就得到了一个方程.
问题2教材第78页问题.
你会用算术方法解决这个问题吗?
列算式试一试.
如果设A、B两地相距xkm,你能分别列出表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗?
在学生回答的基础上,教师引导:
我们可以得到客车和卡车从A地到B地的行驶时间分别为x/70h和x/60h,又因为客车比卡车早1h经过B地,所以x/70比x/60小1.这样我们可以得到1个方程:
x/60-x/70=1.
【教学说明】用学生身边的实际问题情境作为引入,能有效地激发学生的参与欲望.用不同的方法表示同一个量,可以自然地列出方程.
二、思考探究,获取新知
1.让学生尝试解答教科书第79页的例1.对于基础比较差的学生,教师可以作如下提示:
(1)选择一个未知数,设为x;
(2)对于这三个问题,分别考虑:
用含x的式子表示正方形的周长;
用含x的式子表示这台计算机的检修时间;
用含x的式子分别表示男生和女生的人数.
(3)找一个问题中的相等关系列出方程.
2.交流:
在学生基本完成解答的基础上,请几名学生汇报所列的方程,并解释方程等号左右两边式子的含义.
3.教师在学生回答的基础上作补充讲解,并强调:
(1)方程等号两边表示的是同一个量;
(2)左右两边表示的方法不同.
简单地说:
列方程就是用两种不同的方法表示同一个量.以第
(2)题为例:
方程左边的式子“1700+150x”表示计算机已使用的时间加上后来可使用的时间,也就是规定的检修时间.右边的“2450”也是规定检修的时间.这样就有“1700+150x=2450”.
4.讨论:
问题1在第
(2)题中,你还能用两种不同的方法来表示另一个量,再列出方程吗?
让学生在学习小组内讨论,然后分组汇报交流:
选“已使用的时间”可列方程:
2450-150x=1700.
选“还可使用的时间”可列方程:
150x=2450-1700.
问题2在第(3)题中,你还能设其他的未知数为x吗?
在学生独立思考、小组讨论的基础上交流:
设这个学校的男生数为x,那么女生数为(x+80),全校的学生数为(x+x+80).
列方程:
x+80=52%(x+x+80).
5.概念的建立.
让学生观察上述方程,教师进行归纳.
提示注意:
“一元”:
一个未知数;“一次”:
未知数的指数是1.
6.引导学生归纳:
从上面的分析过程我们可以发现,用方程的方法来解决实际问题,一般要经历哪几个步骤?
在学生回答的基础上,教师用方框表示:
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.列出方程后,还必须解这个方程,求出未知数的值.对于简单的方程,我们可以采用估算的方法.
①问题:
你认为该怎样进行估算?
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法:
让学生尝试后发现,要求出答案必须用一些具体的数值代入,看方程是否成立,最后教师进行归纳.
可以像教科书那样用列表的方法进行尝试,也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试.
②在此基础上给出概念:
能使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.求方程的解的过程,叫做解方程.
一般地,要检验某个值是不是方程的解,可以用这个值代替未知数代入方程,看方程左右两边的值是否相等.
试一试教材第80页练习.
三、典例精析,掌握新知
例1根据下列条件,列出关于x的方程:
(1)x与18的和等于54;
(2)27与x的差的一半等于x的4倍.
解:
(1)x+18=54;
(2)
(27-x)=4x.
【教学说明】本例题可以先让学生尝试交流解答,然后教师巡视学生解答情况有针对性地进行评讲.评讲时教师向学生强调:
“4x”表示4与x的积,当乘数中有字母时,通常省略乘号“×”,并把数字乘数写在字母乘数的前面.
例2x=3是下列哪个方程的解?
()
A.3x-1-9=0
B.x=10-4x
C.x(x-2)=3
D.2x-7=12
【答案】C
【教学说明】此题只需将x=3代入即可,教师可让学生口答.
四、运用新知,深化理解
1.列式表示:
(1)比a小9的数;
(2)x的2倍与3的和;
(3)5与y的差的一半;
(4)a与b的7倍的和.
2.根据下列条件,列出关于x的方程:
(1)12与x的差等于x的2倍;
(2)x的三分之一与5的和等于6.
3.方程x/2=-6的解是什么?
4.已知x-5与2x-4的值互为相反数,列出关于x的方程.
【教学说明】以上题目均与前面例题对应,教师可边让学生独立完成边巡视,然后有针对性地进行评讲.
【答案】略
五、师生互动,课堂小结
着重引导学生从以下几个方面进行归纳:
(1)这节课我们学习了什么内容?
(2)用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么?
1.布置作业:
:
从教材习题3.1中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学要整体贯穿以下数学思想:
(1)突出数学的应用意识,可由学生感兴趣的问题引入课题;
(2)强调学生自主探索新知识,利用交流完善对新知识的理解;(3)体现思维的层次性,教师先引导学生用算术方法解题,再引导列式用方程表示,在比较中体会方程的作用;(4)渗透建模思想,指导学生通过设未知数,列代数式,寻找等量关系列方程,形成抽象能力.
3.1.2等式的性质
【知识与技能】
1.了解等式的两条性质.
2.会用等式的性质解简单的(用等式的一条性质)一元一次方程.
【过程与方法】
1.渗透“化归”的思想.
2.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力.
【情感态度】
培养言必有据的思维能力和良好的思维品质.
【教学重点】
理解和应用等式的性质.
【教学难点】
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”.
一、情境导入,初步认识
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?
(1)3x-5=22;
(2)0.28-0.13y=0.27y+1.
【教学说明】第
(1)题要求学生给出解答,第
(2)题较复杂,估算比较困难,此时教师提出:
我们必须学习解一元一次方程的其他方法.
二、思考探究,获取新知
1.实验演示:
教师先提出实验的要求:
请同学们仔细观察实验的过程,思考能否从中发现规律,再用自己的语言叙述你发现的规律,然后按教科书第81页图3.1-1的方法演示实验.
教师可以进行两次不同物体的实验.
2.归纳:
请几名学生回答前面的问题.
在学生叙述发现的规律后,教师进一步引导:
等式就像平衡的天平,它具有与上面的事实同样的性质.比如“8=8”,我们在两边都加上6,就有“8+6=8+6”;两边都减去11,就有“8-11=8-11”.
3.表示:
问题1你能用文字来叙述等式的这个性质吗?
在学生回答的基础上,教师必须说明:
等式两边加上的可以是同一个数,也可以是同一个式子.
问题2等式一般可以用a=b来表示.等式的性质1怎样用式子的形式来表示?
如果a=b,那么a±c=b±c
字母a、b、c可以表示具体的数,也可以表示一个式子.
4.观察教科书第81页图3.1-2,你又能发现什么规律?
你能用实验加以验证吗?
在学生观察图3.1-2时,必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义.观察后再请一名学生用实验验证.
然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
如果a=b,那么ac=bc
如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c
问题3你能再举几个运用等式性质的例子吗?
如:
用5元钱可以买一支钢笔,用2元钱可以买一本笔记本,那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本,15元钱就可以买3支钢笔.相当于:
“5元=买1支钢笔的钱;2元=买1本笔记本的钱.
5元+2元=买1支钢笔的钱+买1本笔记本的钱.
3×5元=3×买1支钢笔的钱.”
问题4方程是含有未知数的等式,我们怎样运用上面等式的性质来解方程呢?
我们来看一下教科书第82页例2中的第
(1)、
(2)题.
通过分析,我们知道所谓“解方程”,就是要求出方程的解“x=?
”因此我们需要把方程转化为“x=a(a为常数)”的形式.
设问1:
怎样才能把方程x+7=26转化为x=a的形式?
学生回答,教师板书:
解:
两边减7,得:
x+7-7=26-7,
x=19.
设问2:
式子“-5x”表示什么?
我们把其中的-5叫做这个式子的系数.你能运用等式的性质把方程-5x=20转化为x=a的形式吗?
用同样的方法给出方程的解.
小结:
请你归纳一下解一元一次方程的依据和步骤.
【归纳结论】由上面的问题我们可以看出,利用等式的性质解简单的一元一次方程的步骤一般分为两步:
一是在方程两边同时加或减同一个数或式子,使一元一次方程左边是未知项,右边是常数;二是方程左右两边同时乘未知数的系数的倒数,使未知项系数化为1,从而求出方程的解.如:
(1)x+a=b,解法:
方程两边同时减去a,得x=b-a.
(2)ax=b(a≠0),解法:
方程两边同时除以a,得x=b/a.
(3)ax+b=c(a≠0),解法:
方程两边同时减去b,再同时除以a,得x=
.
【教学说明】归纳结论过程中,教师可向学生阐述以下两点:
(1)方程是含有未知数的等式,故可利用等式的性质求解,求解过程实质是等式变形为x=a的过程.
(2)通过将所求结果代入方程的左右两边的方法,可以检验所求结果是否正确,这一点在下面的例题中我们会讲到.
三、典例精析,掌握新知
例1利用等式的性质,在括号内填上适当的数或式子,并说明等号成立的依据:
【分析】根据等式的性质1或性质2,在方程两边同时加上或减去相同的数或式子;或同乘一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
解:
(1)根据等式的性质1,等式两边都减去3,得x=1.
(2)根据等式的性质2,等式两边都乘2,得x=6.
(3)根据等式的性质1,等式两边都减去2a,得5a=-3.
再根据等式的性质2,等式两边都除以5,得a=-3/5.
(4)根据等式的性质1,等式两边都减去
y,得-2y=-4.
再根据等式的性质2,等式两边都除以-2,得y=2.
例2小涵的妈妈从商店买回一条裤子,小涵问妈妈:
“这条裤子需要多少钱?
”妈妈说:
“按标价的八折是36元.”你知道标价是多少元吗?
要求学生尝试用列方程的方法进行解答.在学生基本完成的情况下,教师给出示范.
解:
设标价是x元,则售价就是80%x元,根据售价是36元
可列方程:
80%x=36,
两边同除以80%,得
x=45.
答:
这条裤子的标价是45元.
例3利用等式的性质解方程:
(1)0.5-x=3.4
(2)-
x-5=4
【教学说明】先让学生对第
(1)题进行尝试,然后教师进行引导:
①要把方程0.5-x=3.4转化为x=a的形式,必须去掉方程左边的0.5,怎么去?
②要把方程-x=2.9转化为x=a的形式,必须去掉x前面的“-”号,怎么去?
然后给出解答:
解:
两边减0.5,得0.5-x-0.5=3.4-0.5
化简,得
-x=2.9,
两边同乘-1,得:
x=-2.9.
教师提醒学生注意:
(1)这个方程的解答中两次运用了等式的性质;
(2)解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式,在运用性质进行变形时,始终要朝着这个目标去转化.
你能用这种方法解第
(2)题吗?
在学生解答后再点评.
教师向学生提问:
①第
(2)题能否先在方程的两边同乘“-3”?
②比较这两种方法,你认为哪一种方法更好?
为什么?
允许学生在讨论后再回答.
试一试教材第83页练习.
例4服装厂用355m布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5m,儿童服装每套平均用布1.5m.现已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?
在学生弄清题意后,教师再作分析:
如果设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5xm,根据题意,你能列出方程吗?
解:
设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5xm,根据题意,得
80×3.5+1.5x=355.
化简,得
280+1.5x=355,
两边减280,得
280+1.5x-280=355-280,
化简,得
1.5x=75,
两边同除以1.5,得
x=50.
答:
用余下的布还可以做50套儿童服装.
【教学说明】对于许多实际问题,我们可以通过设未知数,列方程,解方程,以求出问题的解,也就是把实际问题转化为数学问题.
问题:
我们如何才能判断求出的答案50是否正确?
在学生代入验算后,教师引导学生归纳出方法:
检验一个数值是不是某个方程的解,可以把这个数值代入方程,看方程左右两边是否相等,例如:
把x=50代入方程80×3.5+1.5x=355的左边,得80×3.5+1.5×50=280+75=355.
方程的左右两边相等,所以x=50是方程的解.
试一试你能检验一下x=-27是不是方程-
x-5=4的解吗?
四、运用新知,深化理解
3.七年级(3)班有18名男生,占全班人数的45%,求七年级(3)班的学生人数.
【教学说明】这些题目较简单,教师让学生口答上述题目,并给予评讲.
五、师生互动,课堂小结
让学生进行小结,主要从以下几个方面去归纳:
1.等式的性质有哪几条?
用字母怎样表示?
字母代表什么?
2.解方程的依据是什么?
最终必须化为什么形式?
3.在字母与数字的乘积中,数字因数又叫做这个式子的系数.
1.布置作业:
:
从教材习题3.1中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学要重视学生思维的多角度培养,教师对教材中的实际问题要直观演示,指导学生观察图形,从实验中归纳结论,并用实验验证.对发现的结论用文字、数学语言分别表达出来.突出对等式性质的理解和应用,在解方程时,要求说明每一步变形的依据,解题后及时小结.扎实做到这些,可为后面教与学打下坚实基础.
3.2解一元一次方程
(一)
——合并同类项与移项
第1课时合并同类项
【知识与技能】
1.经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
2.学会合并(同类项),会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.
【过程与方法】
能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程.
【情感态度】
初步体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化.
【教学重点】
建立方程解决实际问题,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.
【教学难点】
分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.
一、情境导入,初步认识
活动(出示背景资料)约公元820年,中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢?
通过下面几节课的学习讨论,相信同学们一定能回答这个问题.
【教学说明】教师出示上面的资料,让学生对本课时的内容产生兴趣.
二、思考探究,获取新知
问题教材第86页问题1.
引导学生回忆:
设问1:
如何列方程?
分哪些步骤?
师生讨论分析:
①设未知数:
前年购买计算机x台;
②找相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台;
③列方程:
x+2x+4x=140.
设问2:
怎样解这个方程?
如何将这个方程转化为x=a的形式?
学生观察、思考.
根据分配律,可以把含x的项合并,即
x+2x+4x=(1+2+4)x=7x
老师板演解方程过程:
设问3:
以上解方程“合并”起了什么作用?
每一步的根据是什么?
学生讨论、回答,师生共同整理:
“合并”是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近x=a的形式.
试一试教材第88页练习第2题.
三、典例精析,掌握新知
例1教材第87页例1.
【教学说明】这个例题比较简单,但比较典型.教师教学时自己先讲第
(1)小题,然后应选派一位学生上台板演另一小题,看学生书写格式是否规范,步骤是否完整,对于不规范、不完整的情况,教师要及时予以纠正.
试一试教材第88页练习第1题.
【教学说明】这4个小题也要选派4位同学上台板演,教师仍要关注格式的规范性和步骤的完整性.
例2教材第87页例2.
引导学生观察这列数有什么规律?
(从符号和绝对值两方面)
学生讨论后发现:
后面一个数是前一个数的-3倍.
师生共同分析,完成解答过程:
解:
设这三个相邻数中的第一个数为x,则第二个数为-3x,第三个数为-3×(-3x)=9x.
根据这三个数的和是-1701,得
x-3x+9x=-1701
合并,得7x=-1701
系数化为1,得x=-243
所以-3x=729,
9x=-2187.
答:
这三个数是-243、729、-2187.
【教学说明】通过讨论让学生认识到:
用一元一次方程解含多个未知数的问题时,通常先设其中一个为x,再根据其他未知数与x的关系,用含x的式子表示这些未知数.完整的解题过程的呈现,有利于学生有条理地思考与表达.此外,如有学生提出不同的设未知数的方法,同样给予鼓励.本例是有关数列的数学问题,本题要求出三个未知数,与前几节不同的是,问题中没有明确未知数之间的联系,需要学生观察发现它们的排列规律,问题具有一定的挑战性,能激发学生探索的欲望.
四、运用新知,深化理解
2.解方程2x+3x+4x=180的结果是()
A.x=90
B.x=36
C.x=30
D.x=20
3.解方程:
(1)17y-2.5y-7.5y=42;
4.某大型商场三个季度共销售某品牌手机2800部,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,这家商场第二个季度销售这个品牌的手机多少部?
【教学说明】设计以上几题是为了巩固所学的用合并同类项的方法解方程,题目难度都不大.第1、2题可让学生口答,第3、4题可让学生上台板演.
【答案】1.C2.D
3.解:
(1)合并同类项,得
7y=42,
系数化为1,得
y=6;
(2)合并同类项,得
x=1.
4.解:
设第二个季度这家商场销售该品牌手机x部,则第一个季度销售量为2x部,第三个季度销售量为4x部.
根据总量等于各分量的和,得x+2x+4x=2800.
合并同类项,得7x=2800.系数化为1,得x=400.
答:
这个商场第二个季度销售手机400部.
五、师生互动,课堂小结
1.教师提出下列问题让学生思考:
(1)你今天学习的解方程有哪些步骤,每一步依据是什么?
(2)今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点?
2.学生思考后回答、整理:
(1)解方程的步骤及依据分别是:
合并同类项(分配律)和系数化为1(等式的性质2).
(2)总量=各部分量的和.
1.布置作业:
:
从教材习题3.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时作为解一元一次方程方法的讲解课,首先以学生喜闻乐见的实际问题展开讨论,突出体现了数学与现实的联系;然后让学生利用合并同类项的方法来解方程,来感受方法的简洁性,并通过练习来提高学生的熟练程度.
本课时在结合实际问题讨论一元一次方程的解法时,注重算理,创设未知向已知转化的条件,并通过画框图、标箭头的方式辅助学生分析.
本课时教学应采用引导的方法,让学生自主探究与交流,以达到教学效果.
第2课时移项
【知识与技能】
1.会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程.
2.建立方程解决实际问题.
【过程与方法】
1.通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步认识方程模型的重要性.
2.掌握移项方法,学会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程,理解解方程的目标,体会解法中蕴涵的化归思想.
【情感态度】
体会方程中蕴涵的化归思想.
【教学重点】
解“ax+b=cx+d”的一元一次方程.
【教学难点】
建立方程解决实际问题,会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程.
一、情境导入,初步认识
问题1上节课我们学习了较简形式的一元一次方程的求解,哪位同学能够说一下解方程的基本思想?
问题2到目前为止,我们用到的对方程的变形有哪些?
目的有哪些?
二、思考探究,获取新知
问题教材第88页问题2.
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路.
学生讨论、分析:
1.设未知数:
设这个班有x名学生.
2.找相等关系:
这批书的总数是一个定值,表示它的两个等式相等.
3.列方程:
3x+20=4x-25①
设问1:
怎样解这个方程?
学生讨论后发现:
方程的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25).
设问2:
怎样才能使它向x=a的形式转化呢?
学生思考、探索:
为使方程的右边没有含x的项,等号两边同减去4x,为使方程的左边没有常数项,等号两边同减去20.
3x-4x=-25-20②
设问3:
以上变形依据是什么?
等式的性质1.
【归纳结论】像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
师生共同完成解答过程.
设问4:
以上解方程中“移项”起了什么作用?
学生讨论、回答,师生共同整理:
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边,使方程更接近于x=a的形式.
三、典例精析,掌握新知
例1教材第89~90页例3.
【教学说明】教师先讲解第
(1)小题,注意严格按步骤进行,书写要规范.然后让学生上台板演第
(2)小题,教师关注以下几点:
①学生是否会将含x的项和常数项弄错;②移项后符号是否改变;③含未知数的项是不是放在等号左边,常数项是否放在等号右边;④步骤是否完整.
试一试教材第90页练习第1题.
例2教材第90页例4.
【分析】解这道题关键是要找到等量关系,而找等量关系关键是要找到中间量,由题意可知这个中间量应是“环保限制的最大量”,由题意又可设新旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt,如果它们要达到“环保限制的最大量”,则用旧工艺后的废水排量应减去200t,用新工艺后的废水排量应加上100t,这样我们就可以列出方程:
5x-200=2x+100.
【教学说明】解这道题之前,教师应让学生先自主交流,然后引导学生进行上述分析,最后选派一名同学上台板演.通过分析和板演使学生认识到解这类问题通常要设未知数.此外,通常如果在方程等号左边加上(或减去)一个常数,那么就应在方程等号右边加上(或减去)这个常数.
试一试教材第90页练习第2题.
四、运用新知,深化理解
1.已知方程3x-5=7x-11,移项结果正确的是()
A.3x-7x=-11+5
B.3x+7x=-11+5
C.3x-7x=5+11
D.3x+7x=-11-5
2.方程2x+3=3x-2,利用_____可变形为2x-3x=-2-3,这种变形叫___