高考数学压轴题d.docx

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高考数学压轴题d

高考数学压轴题精编精解

精选100题，精心解答{完整版}

1．设函数，，其中，记函数的最

大值与最小值的差为。

（I）求函数的解析式；（II）画出函数的图象并指出的最小值。

2．已知函数,数列满足,

;数列满足,.求证:

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.

3．已知定义在R上的函数f（x）同时满足：

（1）（R，a为常数）；

（2）；（3）当时，≤2

求：

（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．

4．设上的两点，

满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

　　（3）试问：

△AOB的面积是否为定值？

如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．已知数列中各项为：

12、1122、111222、……、……

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

（2）求这个数列前n项之和Sn.

6、设、分别是椭圆的左、右焦点.

　　（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？

若存在，

求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:

x=-1相切，点C在l上.

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（i）问：

△ABC能否为正三角形？

若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

8、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），

（1）求证：

f（0）=1；

（2）求证：

对任意的x∈R，恒有f（x）>0；

（3）证明：

f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x-x2）>1，求x的取值范围。

9、已知二次函数满足，且关于的方程的

两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数在区间（-1-，1-）上具有单调性，求实数C的取值范围

10、已知函数且任意的、都有

（1）若数列

（2）求的值.

11.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，－1），B（0,1）平面内两点G、M同时满足①

②==③∥

（1）求顶点C的轨迹E的方程

（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（,0），已知∥,∥

且·=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

12．已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项

.⑴求函数的表达式；⑵求证：

；

　　⑶求证：

13．（本小题满分14分）已知数列满足

　（Ⅰ）求数列的通项公式；

　（Ⅱ）若数列满足，证明：

是等差数列；

（Ⅲ）证明：

14．已知函数

（I）当时，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（II）当时，

（1）求证：

对任意的，的充要条件是；

（2）若关于的实系数方程有两个实根，求证：

且的充要条件是

15．已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为，且满足。

①求；②求证：

数列{an}是等比数列；③是否存在常数a，使得

对都成立？

若存在，求出a，若不存在，说明理由。

16、已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，

都有，且，又当时，其导函数恒成立。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：

，其中

17、一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有

也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．

（I）判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理

由；

（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；

（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值．

（可以利用公式）

18、已知数列的前n项和满足：

（a为常数，且）．

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn.

求证：

．

19、数列中，，（是常数，），且成公比不为

的等比数列。

（I）求的值；（II）求的通项公式。

（III）由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b}，求的值。

20、已知圆上的动点，点Q在NP上，点G

在MP上，且满足.（I）求点G的轨迹C的方程；

（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是

否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？

若存在，求出直线

的方程；若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安

排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东300，相距4km,P

为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两

个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.

（1）求A、C两个救援中心的距离；

（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的

结论.

22．已知函数，，的最小值恰好是方程

的三个根，其中．（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）设，是函数的两个极值点．

①若，求函数的解析式；②求的取值范围．

23．如图，已知直线l与抛物线相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定

点B的坐标为（2，0）.（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；

（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、

F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

24．设（e为自然对数的底数）

（I）求p与q的关系；（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

（III）证明：

①；

②（n∈N，n≥2）.

25．已知数列的前n项和满足：

（a为常数，且）．

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：

．

26、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．如果函数

有且仅有两个不动点、，且．

（Ⅰ）试求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知各项不为零的数列满足，求证：

；

（Ⅲ）设，为数列的前项和，求证：

．

27、已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x?

y）=f（x）·f（y）＋1f（y）－f（x）

成立，且f（a）=1（a为正常数），当00．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f

（x）为周期函数；（III）求f（x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．

28、已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上,且满足

，.（Ⅰ）⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N（1,0），求实数，使，

且

29、已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6.椭圆W的

左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、

，点关于轴的对称点为.

（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）求证：

（）；（Ⅲ）求面积的最大值.

30、已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，

分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0.

（I）求抛物线C的焦点坐标；（II）若点M满足，求点M的轨迹方程.

31．设函数，其图象在点处的切线的斜率分

别为．（Ⅰ）求证：

；（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范

围；（Ⅲ）若当时（k是与无关的常数），恒有，试求k的最小值．

32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：

用力旋转转盘，转盘停止时箭

头A所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线

的概率为，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为．求的分布列及

数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）

33．设，分别是椭圆：

的左，右焦点．

（1）当，且，时，求椭圆C的左，右焦点、．

（2）、是

（1）中的椭圆的左，右焦点，已知的半径是1，过动点的作切线

，使得（是切点），如下图．求动点的轨迹方程．

34．已知数列满足,，．

（1）求证：

是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，且对于恒成立，求的取值范

35．已知集合（其中为正常数）．

（1）设，求的取值范围；

（2）求证：

当时不等式对任意恒成立；

（3）求使不等式对任意恒成立的的范围．

36、已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆

C于A，B两点，N为弦AB的中点。

（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；

（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：

总存在角（∈R）使等式：

＝cos＋sin

成立。

37、已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线的距离小1。

（1）求曲线C的方程；

（2）过点

①当的方程；②当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值。

38、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图

像上，且过点的切线的斜率为．

（1）求数列的通项公式．

（2）若，求数列的前项和．

（3）设，等差数列的任一项，

其中是中的最小数，，求的通项公式.

39、已知是数列的前项和，，且，其中

.

（1）求数列的通项公式；

（2）计算的值.（文）求.

40、函数对任意x∈R都有f（x）＋f（1－x）＝12.

（1）求的值；

（2）数列的通项公式。

（3）令试比较Tn与Sn的大小。

41．已知数列的首项（a是常数，且），（），

数列的首项，（）。

（1）证明：

从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a的值；

　　（3）当a>0时，求数列的最小项。

42．已知抛物线C：

上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们

把它称为原来问题的一个“逆向”问题．

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥

的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，

求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．

现有正确命题：

过点的直线交抛物线C：

于P、Q两点，设点P关于

x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。

试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

43．已知函数f（x）=，设正项数列满足=l，．

（I）写出，的值;（Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由；

（Ⅲ）设数列满足=－，记Sn=．证明：

当n≥2时,Sn＜（2n－1）．

44．已知函数f（x）=x3－3ax（a∈R）．（I）当a=l时，求f（x）的极小值；

　（Ⅱ）若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；

　（Ⅲ）设g（x）=|f（x）|，x∈[－l，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中

，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的

线上

（1）试用a与n表示；

（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。

46．已知，记点P的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上

总存在定点，使恒成立，求实数m的值.

（ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范

围.

47．设x1、的两个极值点.

（1）若，求函数f（x）的解析式；

（2）若的最大值；

（3）若，求证：

48．已知，若数列{an}

成等差数列.

（1）求{an}的通项an;

（2）设若{bn}的前n项和是Sn，且

49．点P在以为焦点的双曲线上，已知，

，O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，，

求双曲线E的方程；

（Ⅲ）若过点（为非零常数）的直线与

（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两

点M、N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？

若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

50.已知函数，，和直线，又

．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，

求出的值；如果不存在,说明理由．

（Ⅲ）如果对于所有的,都有成立，求的取值范围．

51．已知二次函数满足：

对任意实数x，都有，且当

（1，3）时，有成立。

（1）证明：

。

（2）若的表达式。

（3）设，若图上的点都位于直线的上方，求实数

m的取值范围。

52．

（1）数列{an}和{bn}满足（n=1，2，3…），求证{bn}为等差数列的

充要条件是{an}为等差数列。

（8分）

（2）数列{an}和{cn}满足，探究为等差数列的充分必要条件，需

说明理由。

[提示：

设数列{bn}为

53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，

平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行.根

据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响.若甲第n局赢、

平、输的得分分别记为、、令.

（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）若随机变量满足（表示局数），求的分布列和期望.

54．如图，已知直线与抛物线相切于点P（2,1），且与轴交于点A，定点B的坐标为（2,

0）.（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（II）若过点B的直线（斜

率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与OBF面积

之比的取值范围.

55,已知A、B是椭圆的一条弦，M（2，1）是AB中点，以M为焦点，以椭圆的右

准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N（4，—1）.

（1）设双曲线的离心率e，试将e表示为椭圆的半长轴长的函数.

（2）当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程.

（3）求出椭圆长轴长的取值范围.

56已知：

在曲线

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}的前n项和为Tn，且满足，

设定b1的值，使得数列{bn}是等差数列；（3）求证：

57、已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1＝2,nan＋1＝Sn＋n（n＋1）.

（1）求数列；

（2）设

58、已知向量的图象按向量m平移后得到函数

的图象。

（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）若函数上的最小值为的最大值。

59、已知斜三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，

且侧面底面.

（1）证明：

点在平面上的射影为的中点；

（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.

60、如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边

形为菱形，，为的中点，为的中点.

（Ⅰ）求证：

平面；（Ⅱ）求二面角的大小．

61．设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：

①②M是与n无关的常数.

（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：

{Sn}∈W

（2）设数列{bn}的通项为，求M的取值范围；

（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且

62．数列和数列（）由下列条件确定：

（1），；

（2）当时，与满足如下条件：

当时，，；当

时，，.

解答下列问题：

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）记数列的前项和为，若已知当时，，求.

（Ⅲ）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.

63.已知函数（a为实常数）．

（1）当a=0时，求的最小值；

（2）若在上是单调函数，求a的取值范围；

（3）设各项为正的无穷数列满足证明：

≤1（n∈N*）．

64.设函数的图象与直线相切于．

（Ⅰ）求在区间上的最大值与最小值；

（Ⅱ）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域也是

，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设存在两个不等正数，当时，函数的值域是

，求正数的取值范围．

65.已知数列中，，．

（1）求；

（2）求数列的通项；

（3）设数列满足，求证：

66、设函数.

（1）求的单调区间;

（2）若当时,（其中）不等式恒成立,求实数的取值范围;

（3）试讨论关于的方程:

在区间上的根的个数.

67、已知，，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；

（3）是否存在实数，使的极大值为3？

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

68、已知椭圆的离心率为，直线l：

y=x+2与以原点为圆心、椭圆

C1的短半轴长为半径的圆O相切。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2

垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且满足，

求的取值范围。

69、已知F1,F2是椭圆C:

（a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2

与y轴的交点M满足。

（1）求椭圆C的方程。

（2）椭圆C上任一动点M关

于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。

70、已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、

，当时，有.

（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设是椭圆上的任一点，为圆的任一条

直径，求的最大值.

71.如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为

坐标原点，动点P满足.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？

（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两

点，且，求l的方程.

72.已知函数。

（1）若函数f（x）、g（x）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；

（2）?

、?

是函数H（x）的两个极值点，?

，。

求证：

对任意的x1、

x2，不等式成立

73.设是定义在上的奇函数，且当时，

（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值；

（Ⅲ）如果对满足的一切实数，函数在上恒有，求实数的取值范围．

74.已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，

且当直线垂直于轴时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果

存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

75.已知数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；

（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：

对任意的，．

76、已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程

（2）当时，求函数的单调区间

（3）当时，若不等式恒成立，求的取值范围。

77、已知函数，其中为实数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立?

若不存在，请说明理由，

若存在，求出的值并加以证明．

78、已知，直线与函数、的图像都相切，且

与函数的图像的切点的横坐标为1。

（Ⅰ）求直线的方程及的值；

（Ⅱ）若的导函数），求函数的最大值；

（Ⅲ）当时，比较：

与的大小，

79、已知抛物线：

的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、

两点（在、之间）．

（1）为抛物线的焦点，若，求的值；

（2）如果抛物线上总存在点，使得，试求的取值范围．

80、在平面直角坐标系中，已知定圆F:

（F为圆心），定直线,作与圆

F内切且和直线相切的动圆P，

（1）试求动圆圆心P的轨迹E的方程。

（2）设过定圆心F的直线自下而上依次交轨迹E及定园F于点A、B、C、D，

①是否存在直线，使得成立？

若存在，请求出这条直线的方程；若不存在，请说明

理由。

②当直线绕点F转动时，的值是否为定值？

若是，请求出这个定值；若不是，

请说明理由。

81.已知函数的图像过点，且对任意实数都成立，

函数与的图像关于原点对称。

（Ⅰ）求与的解析式；

（Ⅱ）若—在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围；

82.设数列满足，且数列是等差

数列，数列是等比数列。

（I）求数列和的通项公式；

（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。

83.数列的首项，前n项和Sn与an之间满足

（1）求证：

数列{}的通项公式；

（2）设存在正数k，使

对一切都成立，求k的最大值.

84.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，

并且满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中

（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；

（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证