利用空间向量解立体几何完整版培训资料.docx

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利用空间向量解立体几何完整版培训资料

利用空间向量解立体

几何（完整版）

向量法解立体几何

引言

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：

一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。

教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。

基本思路与方法

一、基本工具

1.数量积：

ababcos

2.射影公式：

向量a在b上的射影为ab

lb

3.直线AxByC0的法向量为A,B，方向向量为B,A

4.平面的法向量（略）

二、用向量法解空间位置关系

1.平行关系

线线平行两线的方向向量平行

线面平行线的方向向量与面的法向量垂直

面面平行两面的法向量平行

2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直

线面垂直

线与面的法向量平行

面面垂直

两面的法向量垂直

三、用向量法解空间距离

1•点点距离

点P为占仆乙与QXzyz的

距离为PQ7（X2X\）（yYi）（Z2Zi）

2•点线距离

求点PXo,y。

到直线l:

AxByC0的距离:

方法：

在直线上取一点Qx,y，

即为点P到l的距离.

3.点面距离

求点pXo,yo到平面的距离：

方法：

在平面上去一点QX,y，得向量PQ

计算平面的法向量n，

计算PQ在上的射影，即为点P到面的距离.

四、用向量法解空间角

1.线线夹角（共面与异面）

线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角

2.线面夹角

求线面夹角的步骤:

1先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可,若为钝角，则取其补角；

2再求其余角，即是线面的夹角.

3.面面夹角（二面角）

若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.

实例分析

一、运用法向量求空间角

向量法求空间两条异面直线a,b所成角B,只要在两条异面直

uuuruuurujltlult

线a,b上各任取一个向量AA和BB'，则角VAA',BB'>=B或n-B,因

1、运用法向量求直线和平面所成角

设平面a的法向量为n=（X,y,1），则

直线AB和平面a所成的角0的正弦值为

uuur

sin0=cos（--0）=|cos|二

2、运用法向量求二面角

其中，n的坐标可利用a、b上的任

（或图中的

设二面角的两个面的法向量为n,n2，则＜□,n2＞或兀-＜0|,门2＞是所

求角。

这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定

iriuirun

vn」2＞是所求，还是n-＜n肌〉是所求角。

线，

/////

在a、b上任取一点AB,过A作AA=EF,交a于A,uuLurr/uuur

则AA'//n，所以/BAA=（或其补角）

uuur

二异面直线a、b的距离d=AB•cos/BAA=|AB?

n1*

|n|

uuuuu一r,,亠、e

AE,BF），及n的定乂得

n?

a0rrn?

b0

解方程组可得n

2、求点到面的距离

求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为n（x,y,1），在a

uuur

内任取一点b,则a点到平面a的距离为d=labze,n的坐标由n|n|'

与平面a内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n（l,y,0），下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离

求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为n（x,y,1），在

直线a上任取一点A,在平面a内任取一点B,则直线a到平面a的

uurr

距离d=1AEr?

n|

|n|

4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面a、B的公共法向量法为n（x,y,1），在平面

uuur

a、B内各任取一点AB,则平面a到平面B的距离d=身?

口

|n|

三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a和平面a、B，两个面a、B的法向量为

iruu

a//

//

ur

ani

ituu

n-i//n2

aa/的

ituun1n2

m,n2,则

四、应用举例:

例1:

如右下图，在长方体ABC—A1B1CD中，已知AB=4,AD=3,

AAi=2.E、F分别是线段ABBC上的点，且EB=FB=1.

（1）求二面角C-DE-C的正切值;

（2）求直线EC与FD所成的余弦值.

解：

（I）以A为原点，

向建立空间直角坐标系，

贝SD（0,3,0）、D（0,3,2）

F（4,1,0）、CJ4,3,2）

uiUULur

于是，DE（3,3,0）,EG

nruuruuu

AB,AD,AA分力别为X车由,

y轴,z轴的正

、E（3,0,0）、

uju

（1,3,2）,FD1（4,2,2）

设法向量n（x,y,2）与平面CiDE垂直，则有ruur

3x3y0

x3y2z0

rurn

nDE

ruiur

nEC,

r

n（

1,

uuu

Qcos

ruuu

n?

AA1101022

■UF1LLU

z

1/

b/

|n||AA1|^114V004

3

Al

0

tan

2

A

（II）

设EC与FD所成角为B,则

E

HX

0的平面角

D

C

cos

1,2）,

（0,0,2）与平面

Q向量AA1ruuu

n与人几所成的角为二面角CDE

CDE垂直

ujuuur

EC]?

FDuujduuU|EC||FDj

.21

14

3222,（4）22222

1（4）3222

「厂2二2

例2:

如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是菱

形,

/DAB=60,PDL平面ABCDPD=AD点E为

AB中点，点F为PD中点。

（1）证明平面PEDL平面PAB

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值

证明：

（1）v面ABCD^菱形，/DAB=60

•••△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结

BD

•••/EDB=30,/BDC=60EDC=90

如图建立坐标系D-ECP设AD=AB=1贝SPF二FD=!

ED^,

22

•-P（0,0,

1）,E（弓,0,

0）,B（£,

0）

uuu.3

二PB=（—,

2

uuu

PE=

-1）

平面PED的一个法向量为

uuu

DC=（0,

1,0）

设平面

PAB的法向

量为n=（x,y,1）

uuuPBuuuPE

（x,y,1）?

1

?

1）0

（x,y,1）?

0,1）0

x

2

胎

x

2

2

「3

0

•••n=（

0,1）

uuurr

TDC•n=0

uuurr

即DC丄nJ.平面

PEDL平面

PAB

（2）解：

由

（1）知：

平面PAB的法向量为

r2n=（；,0,1）,

设平

面FAB的法向量为m=（x,y,-1）

（1）知:

uuaFB=

uir

FE

（3

（T，

0，

-1）

2

由

n1

uuuFBuuuFE

（x,y,

（x,y,

1

1）?

（弓,0,

2

1）

2）

「3

x

2

3

x

2

1

、、3

0

（-"a

0,-1）

二二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos0=|cos|

n?

ni5s/7

■r_—r—

n?

|ni14

例3:

在棱长为4的正方体ABCD-AiCQ中，C是正方形ABGD的

中心，点P在棱CG上，且CC=4CP.

（I）求直线AP与平面BCGB所成的角的大小（结果用反三角函数值表

示）；

（II）设C点在平面DAP上的射影是H,求证：

DH丄AP;

（皿）求点P到平面ABD的距离.

解：

（I）如图建立坐标系D-ACD

T棱长为4

•••A（4,0,0）,B（4,4,0）,P（0,4,

1）

的一个法向量

uujr

DC>|=

16

42421?

、41

4j3

33

.直线AP与平面BCCB所成的角0的正弦值sin0=|cos

“为锐角'.直线AP与平面BC®所成的角0为arcsin垮

（皿）设平面ABD的法向量为n=（X,y,1）,

uuuuuj

TAB=（0,4,0）,AD1=（-4,0,4）

丄r‘uuurujun

由n丄AB,n丄AD1

得y4x040

n=（i,o,i）,

•••点P到平面ABD勺距离d=

uuur

3J

2

例4:

在长、宽、高分别为2,2,3的长方体ABCD-ABGD中,

O是底面中心，求AO与BiC的距离

解：

如图,

建立坐标系

D-ACD,

A（2,2,3）

uujr

二AO（1,1,

C（0,2,

unr

3）B1C（

设AO与BC的公共法向量为n

则O（1，1，0），

ujuu

3）A1B1（0,2,0）

D

（x,y,1），则

O

0）

x

2,0,

x

2x

y30

30

3

2

ruujrnAOruujrnBQ

（x,y,1）?

（1,1,3）0

（x,y,1）?

（2,0,3）0

33-＜；,1）

22

•A1O与BC的距离为

uuujrrd=IABr?

n||n|

322

11

例5:

在棱长为1的正方体ABCD-AiCD中,

E、F分别是BCi、CD

的中点，求A到面BDFE的距离。

解：

如图，建立坐标系D-ACD,则B（1,

1,0），A（1,0,

1），E（2，1,1）

Tn

uuurBD

（x,y,1）?

（

1,1,0）0

xy0

T

uuu

1

1

n

BE

（x,y,1）?

（

0,1）0

2

x10

2

•

n（2,2,1）

uuuuuu1UULT

二BD（1,1,0）BE（—,0,1）AiB

2

设面BDFE的法向量为n（x,y,1），则

•••A1到面BDFE的距离为d

UUTT

|AB?

n|0,1,1?

2,2,1山；22—2厂1

五、课后练习:

1、如图，已知正四棱柱ABCD-/BGD,AB=1,AA1=2,点E为CG中点,

点F为BD中点.

（1）证明EF为BD与CC的公垂线；

（2）求

点D到面BDE的距离.

2、已知正方形ABCD边长为1,过D作PD丄平面ABCD且

PD=1E、F分别是AB和BC的中点，

（1）求D到平面PEF的距

离；

（2）求直线AC到平面PEF的距离

3、在长方体ABCD-ABGD中，AB=4BC=3CC=2（如图）

（1）

C1

C

求证：

平面ABC//平面ACE；

（2）求

（1）中两个平行平面间的距离;

（3）求点Bi到平面ABC的距离。

4、如图，四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCDAB//DC，ADDC

AB=AD=1DC二SD=2E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.

（I）证明：

SE=2EB

（H）求二面角A-DE-C的大小