同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动习题答案.docx
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同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动习题答案
同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动••习题答案
10-1试说明动力荷载与移动荷载的区别。
移动荷载是否可能产生动力效应？
10-2试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。
为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？
10-3什么是体系的动力自由度？
它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？
如何确定体系的
动力自由度?
10-4将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？
它们分别采用何种坐标?
10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。
（a）
mim2
__八一
（b）
分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度
（c）
（d）
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。
有四个自由度。
10-6建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？
它们的基本原理是什么？
10-7单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？
10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼
器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
q（t）
C
El=3m
213
解：
1）刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。
其端部集度
为mla
取A点隔离体，A结点力矩为:
Mi
=-maI2l
23
=〕mal
由动力荷载引起的力矩为：
-q|?
|=-q|2
2%）33*）
由弹性恢复力所引起的弯矩为：
頁cal2
根据A结点力矩平衡条件M]•Mp•M$=0可得:
3map哼Fs1—斗
整理得:
—..ka3cama■
3II
2）力法
:
•。
根据几何关系，虚功方程
解：
取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移
为:
-q.fa--lotk-Ig-Io（Vote-
3t33
则同样有:
ka3cama
3II
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为ke，C、E处
弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c,试建立体系自由振动时的运动方程。
解:
取DF隔离体，aMF=0:
2a—2…32
R2amx-dxka-
d0
3
二R=2maka:
4
取AE隔离体：
vMA=0
k/亠「mx2：
dxca2二打4ka2鳥：
3Ra=0
将R代入，整理得:
3..252
R=15maka“k-;=0
10-10试建立图示各体系的运动方程。
（a）
M（t）
El
解：
（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。
图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
（2）画出Mp和M1图（在B点处作用一附加约束）
（3）列出刚度法方程
kii
3EI
Rip
—I^-M
24一
代入Rip、kii的值，整理得:
Mi图
M2图
试用柔度法解题
此体系自由度为1。
设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载
Fp
口惯性力矩Mi共同引起的
y=tim1■-'i2Fp（t）
由图乘法:
Ti
丄I2
2EI
3EI
'i2
_I/2
_6EI
3
48EI
惯性力矩为-myI
I3..5I3
y_3EI_myI48EIFpt
经整理得，体系运动方程为：
my
.3EI
I3
pt。
io-ii试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。
（a）
|0@?
El=常数Ar
2a—a■■-a―■--解：
5a3
Mi图
11a2a2
图乘得：
f112a22aaa_
ElJ223236EI
6EI
5ma3
（b）
eii=3
厂—l-2“
解：
此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力P,使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为
由此根据弯矩平衡可求得P=4k。
9
2
3
（c）
El
EAi=3
応2EI
解：
可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。
上简支梁柔度系数为；E：
l3
6EI
下简支梁柔度系数为丨3
96EI
于是两者并联的柔度系数为
■并
l3
6EI96EI
102EI
l3
解：
在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。
水平支杆中力为30EI，即6=啤
3l313l3
30EI_
'■13ml3
（e）忽略水平位移
解:
（f）
m
I-4aH-4a
2
1
2
ii
13a二
27a
2EA
解:
1
3
2
3,
16213,
0.014974l3
l
l
l
2
19
3
32
19364
丿El
丄2i1i2AiAi
EI32233232
=8.172,m;
10-12为什么说自振周期是结构的固有性质？
它与结构哪些固有量有关？
关系如何？
10-13试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。
此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相比如何？
10-14什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？
为什么阻尼对体系在冲击荷载
作用下的动力响应影响很小?
10-15设已测得某单自由度结构在振动比E。
10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼
解：
：
丄|—ln11188=0.0475
2n二ykn20二0.06
10-16设有阻尼比E=0.2的单自由度结构受简谐荷载Fp（t）=Fsindt作用，且有v-0.75，。
若阻尼比
降低至E=0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？
解:
已知从0.2降低至0.02.V-0.75■，F1Fsin^t，A不变。
F1
F2
F^0.827F1*40.02p.9
'16
F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。
10-17试说明动力系数的含义及其影响因素。
单自由度体系质量动位移的动力系数与杆件内力的动力系数是否相同？
10-18什么是共振现象，如何防止结构发生共振？
10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，
（a）
El
并绘制最大动力弯矩图。
设
FsinF
B点引起
I3
位移。
3EI
解：
由力法可知，单位荷载作用在
1二
刖曲—碁引心即幅值为
FI3
3EI
当幅值最大时，弯矩也最大。
（b）
解:
Fl
Mmax图
FsinF
l…l一
2
2
B
M1图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后,
11
l3
24EI
f22_3EI,f12-f21
5l3
48EI
=f11FIf12FsinA=fu-my
f12Fsin戈
ytC
24EI5F.-
yrysin^
ml2m
24EI
mr
稳态解:
5Fl3
=2_
24EI
—sinvt
1，
1—2o
sinvt
1」
4
5FI3
36ei
sin我
所示结构的运动方程为
C点最大动位移幅值为
5Fl3•aytC=sint36EI
5Fl3
36EI
（2）求B点的动位移反应
ytB
f22Psin我二f21-mytb
f22Psin我
ytB
P
2m-■
•—sinvt
12
o
ytB
P
2m--
sinvt孑
'~2
GO
-
f、
\1
*日21
+Pf22
y（B二
f21
P■■
1，：
I02）
in
y（C=36EI
5F^sin^
-
5I35
48EI2
1
l3+PsinOt
3EI
Pl3
25
3EI
32
兰
•，2
sinOt
f
12
32⑷2
Q2
1一二.国丿
1214
sin我
1283
l3•冲in我288EI
7-2
Pl3
3EI
Pl3
3EI-
121P1
sinTt
121PI3
B点的动位移幅值为
288EI
（3）绘制最大动力弯矩图
Mi图
121PI33EI5PI312EI
MAmax2
288EII36EII
竺Pl
96
M
最大动力弯矩图
设杆件为无限刚性，弹
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。
簧的刚度系数为k。
解:
m
2
iHiiiiiiHiminl
El=a
l
9ql。
8
B点处顺时针方向转角二为坐标。
若qt为静力荷载，弹簧中反力为
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。
设为建立动力方程：
3
1..I3Im321,
mIk：
I：
Iqxdx
222320
..22292—9
-m-I2k：
2I2-：
q—丨2=m：
kq88
护
19
则弹簧支座的最大动反力为2I。
1日28
1~2
O
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。
已知El=6
X106N•m2，t1=0.1s,FP0=8X104n。
（a）
解：
求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。
可将排架柱视为三个并联的弹簧。
边柱刚度柔数心=k3二洱中柱k2=卑
hh,12EI
k并—
h
_k_126106Nm2m.63m38000102N=0.645rad/s
2兀
T9.73s
co
数值很小
右_o.1_1T-9.73一97.3
所以认为当Fpt作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可
得：
1514
mvt1FX=810vt18100.1
22
=vt1=510^m/s
再根据势能守恒得：
12〔2—15_321162
-mV=—kymax=—汇8汇10江（5汉10）=-X-X10Xyst
22223
=■yst=0.0077m16Fq中=ystk中=0.0077—10-1283N61Fq边=Fq中=642N
（b）
10-22设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移
（a）
解：
在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。
第一阶段（0_t）：
i
yt百_Fpom'-
t
oFpozSin，t-ZdZtzsint-ZdZ
oti
mtic
ys^j
.1'si门銚=ys+
ji＜⑷
J
ZT'
〔tit〕
1—
—|sin2兀
—I-—
2兀
荷丿
IT丿ti
Tsin2兀ft、1
2titi
求T的过程。
因为不受外力作用，所以横梁以ti时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
（b）
10-23设题10-22图a所示刚架m=4000kg,h=4m,刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数
递减率y0.10。
若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5%，试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。
解：
（1）求周期数。
0.05y。
=y°e、n=n二^005=300.1
（2）求k:
tn
=1421.223103N/m
（2汉3.14159汉30丫^4.0汉103
102
两柱并联
2EI12
h3
62
EI=3.7910Nm
试问简谐荷载频率二分
10-24设某单自由度体系在简谐荷载Fp（t）=Fsin氓作用下作有阻尼强迫振动,
别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大?
yt二Asin说
解：
在简谐荷载Fp（t）=FsinF作用下，稳态位移响应可表示为
其中:
A二2
m©
_1
a=tan12“
1-~2
©J
4-：
（1）使动位移最大，即使」最大，从而得出
e2\1一二.°J
•42苇最小。
-■
J
~2CO
2
_42兰
-，2-，2
（2）yt-vAcos（才-：
）
设g丁=
21
2
CO
\（日2I芦2“
J1-飞+4-r
\\GOJ©
如果使速度响应最大，则gr最大，设gr二
r1
显然要求g1最
小。
使：
g^=2（3）yt--，Asin（rt-：
）
02、2
閃2
◎J
■4^2
-■
1
■JU二2
显然要求hi-I最小。
则01二丄-上・=0解的：
二二
■■-■
10-25
10-26
结构自振频率的个数取决于何种因素？
求解结构自振频率的问题在数学上属于何类问题?
试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
（a）
解:
（1）
2
\_
Mi图
l
I3
11-
121.121丄2丄―232222324EI
Elf22=21I
2
3
12IIIr5I3丨二f22:
2322212EI
（2）
振型方程
A0A2=0
1m4EI5|31
令’二123EI2，频率方程为:
ml国
10-■
•-3—10=0
1=10,2=3
=1.095
=2
12EI
'10ml3
12EI
‘2「3ml3
（3）振型图如下
体系具有两个自由度。
先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得:
11
1
EI
212
1312l2l3_
2.1.2l3
33EI
“"Et11'212
12l3
—I=
26EI
EI12
1r2I2121
2326EI
得振型方程:
1.2I3
3EI
令12
CO
m
m
1A鲁m—0
、.2I3
6EI
ml3
2.414-0.707
D=
0.707
0.707-X
2.414-2.773
''2-
3EI
3
mI2.6675
=1.060m;
（c）
A11
0.707
EI
m1=m
m2=m
EI
解:
AI2
‘―A
■-1--
图
IVI1
（1）fii
l3
3EI
£13l3
22_12EI，
12=f21
（2）振型方程
2.41420.358
0.707
5l3
12EI
A=0
>3EI
mA,+
2o
m【
2m一」
l3
m-
A=0
12EI
令旷p，频率方程为:
ml■■
4--5
13-
-0
15.227ml3=0.888
Y1.773ml3=2.602
（3）当
==15.227时，设A,=1=
/.1-8
A21二」0.7227
10
-17，52-25=0=15.227,‘2=1.773
12EI
12EI
当，-■2=1.773时，设A|2=1=A22=2*--0.6227
10
绘出振型图如下:
0.6227
第二振型
（d）
m
EI
12EI
a
a
EI1=3
k2=—3
a
解:
1
Mi图
1/k1—/k22248El
二-21
48El
l/匕—^/k2〕/2a=1a
'、22.丿
'■22
6El1+
2\2
1/k11/k2二2
3
11a48El
频率方程为:
12m2
f2im
f22m2-2
13
取m!
=ma,m2ma代入整理得:
3
44248EI
a・40a=0其中严丐
332
am■
=11.045a,、2=3.625a
二Z48^1-=2.085P
■11.045a4m
4_
am
；48ElfEl
'243.639_4-_
*3.625a4m\a4m
振型方程为：
IY
11m
a
A+&2m2A=0
将们=们,Ai=1（i=1,2）代入（a）
式中的第一个方程中，得:
1.
2—、11m
•1
、12叫
—4ma
1
2-11m1
■2
•詁12mm
绘出振型图如下:
—4ma
0.23010.2292
ElEl0.135
a1—3
ma
48El3
4
3.625T1ma
48El-22.125
1一3
ma
48El3
0.135
22.125
第二振型
「厂
El=常数
解:
11
（1）
I3
（2）振型方程
I3
6EI
了I3
m-fEIm
TEI丿
0A+oa2
[a1
，26EI
13
A
（2EI
I3
■I-m
6EI
mA+0A=0
J
1'
m—-2A2+0A=0
aJ
、
1
~2CO
令，空L
32
mI⑷
频率方程为:
=0
=3=2
3EIml3
3EI
2ml3'"=3
■1、
彳、
■0?
=
1
{a,-1
{a#
0
T丿
振型图如下:
（f）
1
\
I
*
I
\
1
第二振型
第一振型
第三振型
4m
@m
EI=常数
解:
a
M1图
2a
M2图
3a
M3图
（1）
益13-
11=3ETa,22
（2）振型方程为:
8
3EI
a3,、33
a3,、21h：
125a3,、：
23=32
6EI
磐a3,、？
=、13
3EI
43a3EI
IV3.\
1a1
m—-2
^El£丿
1.5a3
邑m
pEI
/4a3
mA
徑El丿
',z5a3
+1mA
l6EI丿
「8a31
5irm「
什4a3'
+m
13EI丿
4a3
+4mA=0
3EI
哎
3EI
■9a3.
A>4m—-2
EI
4mA3=0
A=0
令莘
ml-■
频率方程为:
32
16-■
112
28
216-A
=‘1=231.8,‘2=1.936,‘3=0.2317
=Oi=0.161j_EI^Q2=1.760
ma
E^,越=5.08
ma
曰
■ma
■1、
1、
-o:
3.469
{a}2=1.390
{a］；=-0.687
©640‘
「0.219』
0052』
10-27试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。
（a）
mi=m
Ell=3
El
m2=2m
El
El
El1=3
El
解:
6EI
6EI
24El
M2图
k12
k11
48EI
k22l2-
—y-24
-2448-2y
24
=0
22
m-l
El
1
-0.707
y=7.029,y2=40.971
亍
;二1二2.651.3,二；2二6.401
■ml3
「A；J
M0.707
振型图如下：
（b）
…，裁
；0.707
第一振型
J0.707
0.707「
a77"
0.70
第二振型
解:
kii=k22
振型方程:
Fi图
EAEA2
2l22l
22EA
EA
2l
4l
'4+V2
4l
2
EA—comA+
2EA
4l
A2=0
4l
A42EA—2m
4l
=0
F2图
=■-i
叫=.306J—
Af）」',AO=fj
（c）
耳—
一一1mkm
Mi图
作岀附加连杆移动单位位移的弯矩图
k11
4EI
k12
EI
3i
l12
列岀频率方程:
k22
4EI
6—mco
k12
一叫・
解得:
3EI
3
ml
5EI
3
ml
结构自振频率分别为：
卜嚅
=1
求第一振型：
令A11=1得A21求第二振型：
令A12=1得A,2结构的振型向量形式为：
（d）
解:
l
l
EI
l
EI1=
3i
21讥1
M1图
k12-k21=0，
k11
15i
2l
2
8i
列振型方程：
（*』15一y）A一0
'气16_y介=0
其中
第二振型
2ml3
列频率方程并求解:
66
y
-
5
1O
1=1
D
讨i二15,y—16
二
求振型将y=15,A1=1代入方程组（*）中得：
A?
!
=0,将y2=16,^2=1代入方程组（*）中得：
宀2=0,
振型图如下：
第一振型第二振型
10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性质、
特点和作用位置分别有何要求？
10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。
10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移「yB（max），
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