大学数学实验报告数列与级数.docx

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大学数学实验报告数列与级数

数学实验

报告

实验四数列与级数

学院：

数学与信息科学学院

班级：

09级数学（4）班

姓名：

***

学号：

***

实验四数列与级数

实验名称

数列与级数

实验目的

学习使用Mathematica4.0发现数列与级数的极限与规律以及极限状态的性质。

通过作出Fibonacci数列的折线图，考察Fibonacci数列的极限与规律；以及讨论3n+1问题。

实验环境

Mathematica4.0系统

实验的基本理论与方法

对Fibonacci数列用计算机计算出Fibonacci数列的图像，观察其单调性以及增加速度；用直线去拟合数据

，猜测通项公式满足

，并进行尝试，带入差分方程，从中解出特征根；3n+1问题只需对奇数进行分析，如果对每个n，数列中有某一项小于n，从n开始产生的数列最后都落于

中。

实验的内容与步骤

一、Fabonacci数列的极限规律

1、递推关系式为

=

+

n=1,2,…,

=1,

=1

的数列被称为Fibonacci数列。

2、画Fibonacci数列折线图

（1）在计算机中打开Mathematica4.0系统；

（2）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句；

（3）按Shift和Enter键运行。

3、用直线去拟合（i,

），i=1，2，…。

的函数

（1）在计算机中打开Mathematica4.0系统；

（2）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句；

（3）按Shift和Enter键运行。

4、演奏Fibonacci数列的函数

（1）在计算机中打开Mathematica4.0系统；

（2）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句；

（3）按Shift和Enter键运行。

二、3n+1问题

3n+1问题起源于20世纪50年代，又称为Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulamw问题，Thwaites猜想等等，目前有人验证

，猜想仍然成立。

任给自然数n，如果n是偶数，则将n是奇数，则将n乘3加上1.重复上述过程得到一个无穷数列。

例如：

上述数列可递归地定义为

对于初始值n=1,2,3,4,5。

相应数列是

对于任意的n，会得到怎样的结果。

编写一个产生数列

的程序

对n=

有

对

为奇数有

因此，我们只需要对奇数进行分析。

另一个有意义的观察是：

如果对每个n,数列中有某一项小于n,则猜想成立。

同时可以发现，3n+1问题与下列问题是等价的：

（1）所有航班的航程有限；

（2）所有航班的保持高度航程有限；

（3）对所有n,E（n）有限；

（4）对所有n,O（n）有限。

3n+1问题可以推广到负数。

迄今发现了三个不同的循环：

-1→-2→-1，

-5→-14→-7→-20→-10→-5，

-17→-50→-25→-74→-37→-110→-55→-164→-82→-41

→-122→-61→-182→-91→-272→-136→-68→-34→-17，

实验的结果和结果分析

练习1、分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折线图，Fibonacci数列是否单调增？

是否趋于无穷？

它增加的速度是快还是慢？

N=20

N=50

N=100

N=200

N=500

练习2、分别取N=2000，5000，10000，用直线去拟合数据

，n=1,2,…,N,由此求数列

的近似表示。

N=2000

N=5000

N=10000

练习3、取一整数m，将Fibonacci数列模m得到一周期数列，将该周期数列的值作为音高，编程演奏它，取不同的m，或将几段合并，感受旋律的变化。

m=100

m=500

m=1000

从上述实验的结果可以看出Fibonacci数列单调增，并且趋于无穷，随着N值的不断增大，它增加的速度也随之变快；经过直线拟合后发现其图像近似于一条直线，猜测到数列

的通项具有形式

。

3n+1问题可以得到更大范围的推广。

附录