福建省宁德市学年度第一学期期末高一质量检测数学试题含答案解析.docx

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福建省宁德市学年度第一学期期末高一质量检测数学试题含答案解析

宁德市2020-2021学年度第一学期期末高一质量检测

数学试题

（考试时间：

120分钟试卷总分：

150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效。

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂。

1.命题p：

VxtR,x2+3>0,则f为（）.

A.Vxe+3<0b.3xe+3>0c.Vxe+3<0d.3xeR,x2+3<0

2.函数/（x）=12-x+lnx的定义域是（）

A.（0,+co）B.（0,2）C.（0,2]D.（-co,2）

3

.要得到函数/（x）=sin2x的图象，可将函数g（x）=sinx的图像（）.

5.已知不等式"后+加1+1>。

恒成立，则〃?

的取值范围为（）.

A.（0,4）B.[0,4）C.[0,4]D.（7,0]54，2）

14

6.设=1,求一+一的最小值为（）。

A.2B.4C.8D.9

7.己知定义域为R的奇函数在（―，0）单调递减，且/

（2）=0,则满足叶（不）之0的x

的取值范围是（）

A.（—00,—2]kJ[2,+*=<>）B.[―2,2]C.[—2,0）kj（0,2JD.[―250）o[2,+=o）

8.德国著名的天文学家开普勒说过：

"几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金

分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两

种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72。

的等腰三角形（另一种是两底角为36。

的等腰三角形）。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形

二、多选题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分））

9.如果那么下列不等式正确的是（）

A.a3>b'B.->-C.2°>2bD.ac1>bc2

ab

10.己知函数/（x）=x“"图像经过点（9,3）,则下列结论正确的有（）.

11

B./（x）为增函数

将角a的终边逆时针旋转90。

得到角则下列结论正确的是（）

A.tana=~B.cosZ^=~|C.sin（a-/?

）=-1D.sin（/7+?

）=一£

12.已知定义在R上的函数/（x）的图象连续不断，若存在常数4（九£/?

）,使得/（x+X）+/l/（x）=O对

任意的实数X恒成立，则称/（X）是回旋函数。

给出下列四个命题中，正确的命题是（）

若"X）是几=2的回旋函数，则/（戈）在［0,2020］上至少有1010个零点。

三、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置°

13.计算心25+总4+匕。

828的值为

3

14.已知半径为3的扇形面积为二万，则这个扇形的圆心角为

2

15.函数/（x）=cos（@r+0的部分图像如右图所示,

单调递减区间为

16.已知再满足3x+e'=3,超满足3x一/-'=3,则$+x2=

四、解答题：

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

已知集合A={xl—/+3x-2>0}.B=^x\m

（1）若"?

=—■!

■时，求AcB：

2

（2）若从q8"求实数机的取值范围。

18.（本小题12分）设函数/（x）=2L二，且/⑴=2,/

（2）=?

x2

（1）求/（X）解析式：

（2）判断/（工）在区间［1,+8）上的单调性，并利用定义证明。

19.体小题12分）已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx-l.

（1）求/（幻的最小正周期：

（2）若ae（0,—）,/（―+—）=>求cosa的值。

20.（本小题12分）

2020年下半年受拉尼娜现象的影响，某市持续干旱，不仅使自来水供应严重不足，而且水质质量也明显下降。

为了给广大市民提供优质的饮用水，某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序，过滤前水含有杂质4%（其中a为常数），每经过一次过滤均可使水的杂质

2

含量减少二，设水过滤前的量为1,过滤次数为x（xeN*）时，水的杂质含量为〉.

3

（1）写出y与x的函数关系式：

（2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002。

％,问至少经过几次过滤才能使矿泉

水达到要求？

（参考数据：

lg2=0.301/g3=0.477）

21（本小题12分）已知函数/（幻=改2+3工一1。

⑴若/（x）〈。

的解集为（一1,〃），求/（x）的零点;

（2）若/（x）在（-1,1）内恰有1个零点，求。

的取值范围。

22.（本小题12分）己知函数/（x）=Asin（S：

+e）（A>0,0>0,1。

lv工）只能同时满足下列三个条件中2

的两个：

1函数/（同的图像的一个最高点为（£,4）;

6

2函数/（x）的图象可由函数y=2sin（x—殳）的图象平移得到：

6

3函数/（力图象相邻的两个对称中心之间的距离为1。

（1）请写出这两个条件的序号，并求出了（X）的解析式；

⑵已知函数g（x）的图象关于点（1,0）对称，当xe[Q1]时，g（式）=/_〃吠+〃7-1.若

对V③ep2],大，e[-工，]使得g（xJ=/（M）成立，求实数〃？

的取值范围。

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宁德市2020-2021学年度第一学期期末高一质量检测

数学试题参考答案

一、选择题：

1-4：

DCCA5-8：

BDBA

二、多选题：

9.AC；10.BCD；11.AC；12.AD

三、填空题：

兀（13A

13.314.—15.乃，2k--,2k+-\（keZ）

344/

16.2

备注：

第15题前空2分后空3分，后空的区间写开或闭皆可，AeZ未写不扣分.

四：

解答题:

17.解：

⑴因为一炉+3x—2之0,所以Y-31+2«0,1分

所以4={1

113

因为〃?

=一5,所以8={-54乂<5}4分

6分

10分

3

所以Ac3={x/1Wx42}

m<1

in+2>2

m<1

，所以0K6K1.m>0

18.解:

a+b=2

4"〃=5’解得

厂+1所以

X

（2）由

（1）知/（x）=x+,，函数/（X）在[l,+8）单调递增，6分

X

证明如下：

任取£[1，+°°），且演＜々，有

）-/（X,）=（x,+—）-（x,+—）7分

不X?

（须一々）（％&-1）

9分因为

1＜Xj＜x2,所以入总＞0,工］-々＜0，再看一1＞0,

所以/（8）_/（々）＜0，即/（%）＜/（/），11分

19.解：

（1）f（x）=2sin2x+2sinxcosx-l

=sm2a--c0s2x

=41（^-sin2x-cos2x）

=5/2sin（2x--）4分

4

所以/（x）的最小正周期为46分

（2）f（―+—）=^2sin（a+—--）=5/2sin（a-—）2241246

因为2£（0,1）,2-[0（一],?

）,2oo3

8分

9分

所以5/?

sin（2—三）=,即sin（a--）=—

6565

”.।z/r3

所以cos（a——）

65

z7t.TC因为COSG=COS（。

一一）+—66

=8s（a/）CsingW6666

3V3413褥-4

=xx—=

525210

所以3。

=巫士

10

2

20.解：

（1）因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少一，

3

所以每次过滤后所含的杂质是前一次的L3

所以得到），=

即y=-^-x（-）A,xeN,

1003

（没有写xwN*扣1分）

（2）设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求，则

6/%x

（1）A<0,00^%

12

所以（一

31000

12

所以lg（—）x

31000

1?

31000

…、3—近23-0.3015

所以x2-=x5.7

1g30.477

12分

10分

又xeN*,所以11分

即至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.12分

21.解法一：

（1）依题意得方程ax'+3x—1=0的两根为T,b,1分

将x=—1代入方程得a=4,2分

于是方程如2+3x-l=0可化为4/+3x—l=0,解得x=—1或1=3分

4

所以函数/（X）的零点为-1,4分

4

（2）因为函数/（幻=,储+3、一1在（一1,1）内恰有1个零点，

所以该函数图象在内与x轴只有一个公共点.

（i）当。

=0时，由/（x）=3x—l=0,得故”=0满足题意；5分

（ii）当。

大0时，

①当函数/（x）的图象在x轴两侧时，则由/（一1）/

（1）=（。

-4）（〃+2）<0

解得-2V。

<4,6分

此时-2vc/v4且。

工0,满足题意7分

当。

=-2时，x=le（-l,l）,满足题意：

8分

2

当”=4时，x=-e（-bl）,满足题意.9分

4

②当函数/（X）的图象在x轴同侧时，则由4=3?

-4x4x（—1）=0

解得〃=-2io分

4

9o）2

由/（工）=-工厂+3工-1=0即9厂-12%+4=0解得x=：

£（-l,l）

9

故。

=一一，满足题意.11分

4

综上所述，〃的取值范围是[―2,4]U{_\>.12分

解法二：

（1）同解法一;4分

（2）依题意知方程以2+31—1=0在内恰有1个实根，5分

显然x=o时不满足方程ax1+3x-1=0,

[3x]j

所以a=——=

（一）~—3（—）6分

XX

令r=L因为xe（-l,O）U（O'l），x

所以1W（一-一1）U（1,+8）,

10分

结合图象可知，要使两函数图象恰有一个公共点，必须〃£[-2,4]1|{-；＞

••12分

22.解：

（1）®@

由条件①知A=4,由条件③知丁=开，从而6y=2.

因为（2,4）为函数f（x）图象最高点，

6

所以2・£+0=:

+2〃九,〃wZ,（p=—+2k7r.

626

因为例所以方卷

所以/（x）=4sin（2x+-）.

6

1分

……2分

71

（2）由

（1）,当xw时，2x+-e636

当2x+二=一工时，/（X）取最小值一2,66

当2x+£=£时，/（X）取最大值4,62

所以f（x）在xe

时的值域为-2.4].

记函数y=g（x），xe[0,2]的值域为A.

若对任意的$e［0,2］,存在x,

63

使得g（X）=/'（々）成立，则4=［-2,4］.6分因为xe［°」］时，g（,T）=/一〃氏+〃?

一1,

所以g⑴=0,即函数g（x）的图象过对称中心（1.0）.

（i）^iy<0,即〃叱。

时，函数g（x）在［0/上单调递增，由对称性知，g（x）在［1,2］上单调递增，从而g（x）在［0.2］上单调递增.

g（0）=m-l，由对称性得g

（2）=-g（0）=l,贝ljA=-1,1一川.

解得/〃2—1,所以一1W〃?

W08分

（ii）当0

0,

g（外在1,2上单调递增，在2-y,2上单调递减.

所以函数g（x）在0,；上单调递减，在-,2--上单调递增，在2-竺,2上单调递减,2222

*3）由=min

（2），，双幻侬=max

计%/〃?

、/〃一2、,0，〃、jn、/〃？

一2、）

其中冢不）=-（工一）・，8（2-5）二-8（3）=（—^—厂，乙乙乙乙乙

1-m>-2

-（彳手“2

要使人口［一2,4］,只需（,，

6一1V4

解得一2工加<3,.\0

（iii）当g21,即〃吐2时，函数f>（x）在［0J］上单调递减，由对称性知，g（x）在［1,2］上单调递减，从而g（x）在［0,2］上单调递减.此时A=［lr儿〃1］.

1—〃1>—2

要使3一叫，只需〃一“‘解得人3,LK3.

12分

综上可知，实数勿的取值范围是卜1,3卜