贝塞尔函数性质.docx
《贝塞尔函数性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《贝塞尔函数性质.docx（45页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
贝塞尔函数性质
MethodsinMathematicalPhysics
第十五章贝塞尔函数
BesselFunction
第十五章贝塞尔函数
BesselFunction
§15.2贝塞尔函数的性质
PropertiesofBesselFunction
e2
xt
证明：
Qe2
-x
∞
=∑
l=0
∞
1（x
15.2Bessel
函数的性质
ez
=∑∞1
k=0k!
zk,
z
<∞
l!
2
1
t）l,
x
t<∞
e2t
=∑（-
m!
m=0
）m,
∑
2t
t>0
x（t-1）
xt-x
∞1x
∞1x
e2t
=e2
⋅e2t
=∑
l=0
（
l!
2
t）l
⋅（-）m⋅
m!
m=02t
∞
=∑
l=0
∞
m=0
（-1）m
l!
m!
xl+ml-m
（）t
2
15.2Bessel
函数的性质
令l-m
=n,
则l=
m+n
∞
→∑→
l=0
∑→
∞
m+n=0
∑→
∞
n=-m
∑
∞
n=-∞
x1∞∞
（-1）m
x2m+nn
（t-）=
e2t
∑∑
n=-∞m=0
∞
（m+
（）t
n）!
m!
2
=∑Jnn=-∞
（x）tn
∞
（-1）k
x
2k+n
（）
k!
（n+k）!
2
∑
k=0
（x）=
n
J
∞
k
f（z）=∑c（z-b）k,c
=1
f（z）
15.2Bessel
系式函数的性质
2πi⎰l（z
−b）k+1dz
（1）
=∑Jn（x）t
n=-∞
x（t-1）
e2t
一、母函数关
k=-∞
k
∞
n
d
θ）
e
-π
n
问：
1.Jn
（x）
的积分表示？
J（x）=
1
2π
⎰
π
i（xsinθ-n
θ
或J（x）=1πcos（xsinθ-nθ）dθ
2.Jn（x）的微分式？
3.
Jν
（x（）
ν≠n）有母函数关系吗？
二、递推公式：
Jν（x）
∞
=∑
k=0
k
（-1）kx2k+ν
!
Γ（ν+k+1）
（2）（4）
⎧d
⎪dx
⎨d
⎪
⎩dx
[xνJν（x）]=xνJν-（x）
1
（2）
[x-νJν（x）]=-x-νJν+（x）
1
（3）
用途：
（1）可派生出其他递推公式
xJν'（x）+νJν
（x）=
xJν-1（x）
（4）
xJν'（x）-νJν（x）=-xJν+1（x）
（5）
←⎯?
⎯
2Jν'（x）=Jν-1（x）-
Jν+1（x）
（6）
2ν
xJν
（x）=
Jν-1
（x）
+
Jν+1
（x）
（7）
15.2Bessel
函数的性质
=n
（2）只要查
J0（x）和
J1（x）
表，可计算出任一
Jν（x）
2Jν'（x）=Jν-1
ν-1
ν
ν
ν
d
⎧
二、递推公式：
（x）-Jν+1（
⎪dx
[xJ（x）]=xJ
（x）
（2）
⎪
⎩dx
[xJν（x）]=-xJν+1（x）
（3）
-ν
-ν
⎨d
用途：
（3）可用来计算含Jν（x）的积分
a3J（a）-2a2J（a）
⎰0
例1：
ax3J（x）dx=?
J1（x）=-J0'（x）
-J0（x）+c
0
-J0（x）-2J2（x）+c
例2：
⎰
J1（x）dx=?
15.2Bessel
函数的性质
（6）
x）
例3：
⎰J3（x）dx=?
15.2Bessel
函数的性质
证明：
Q
ρ2R'（ρ）+
ρR'（ρ）+（k2ρ2
-n2）R（ρ）=0
→d（ρ
dρ
dR）+（k2ρ
dρ
n2
-
ρ）R=0
ddJ
（knρ）
n2n2n
m
[ρnm]+[（k）
dρdρ
ρ-ρ
]Jn（kmρ）=0
（9）
ddJ（knρ）
n2n2n
l
[ρnl]+[（kdρdρ
）ρ-ρ]Jn（kl
ρ）=0
（10）
m
n
J（kna）
=0,m
=1,2,L,l,L
证明：
[ρ
dρ
nm]+[（k）
m
dρ
ρ-ρ
]Jn（kmρ）=0
（9）
ddJ（knρ）
n2n2n
l
[ρnl]+[（kdρdρ
ann
）ρ-ρ]Jn（kl
ρ）=0
（10）
⎰0[（9）⋅Jn（kl
ρ）-（10）⋅Jn（kmρ）]dρ:
ann
[（kn）2-（kn）2]ρJ（kρ）J（kρ）dρ
ml⎰0nmnl
=anρd
dJ（knρ）
and
dJ（knρ）
0
d
dρ
0
d
⎰Jn（km）ρ[ρ
nl]dρ-⎰
Jn（klρ）ρ[ρ
nm]dρ
=ρnρ
dJ（knρ）a-
aρdJ
（knρ）dJ
（knρ）ρ
dρ
Jn（km）nl0⎰nl
nm]d
-ρnρ
dρ
dJ（knρ）a+
0
aρdJ
dρ
（knρ）dJ
dρ
（knρ）ρ
Jn（kl）nm0⎰nm
nl]d
15.2Bessel
函数的性质
dρ
0dρdρ
xJν'（x）-νJν（x）
=-xJν+1（x
）（5）
=ρ[J（knρ）
nm
dJn
（knρ）
-
J（knρ）
nl
dJn
（knρ）
15.2Bessel
函数的性质
m
]
a
0
l
=0（QJn
dρ
m
（kna）
=0,m
dρ
=1,2,L,l,L）
1.
⎰
若m≠l:
2.若m
=l,令m→l
lim
n
m
n
l
l
aJ（kna）J'（kna）kn
⎰
=
kn→kn
（kn）2
-（kn）2
mlml
（ka）
J
2
=a
2
a2knJ'（kna）J'（kna）a2'n2
2
n
l
=lim
m
l
kn→kn
lnmnl=
n+1l
m
2kn
2[Jn（kl
a）]
15.2Bessel
函数的性质
四、广义傅氏展开
若f（ρ）在[0,a]上有连续的一阶导数，分段连续
的二阶导数，且
f（ρ）
ρ=0→有界，f
（ρ）
ρ=a=0则
f（ρ）=
c=
15.2Bessel
函数的性质
四、广义傅氏展开
Y
例4：
一半径为a高为h的均匀圆柱体，其下底和侧面保持温度为零度，上端温度为u0,求柱内的稳定温度分布。
⎧Δu=0,0≤ρ≤a,
（1）
⎪
⎪u（a,z）=0
⎪u
⎨（ρ,0）=0
解：
⎪u（ρ,h）=u
（2）
（3）
（4）
1.令
u（ρ,z）=
R（ρ）Z（z）
⎩0
⎧Z'+μZ=0
（5）
⎩
（1）→
⎨ρ2R'+ρR'+（k2ρ2
-0）R=0
（6）
（2）→
R（a）=0
（7）;
（3）
→Z（0）=0
（8）
2.解本征值问题（6）（7）得
2
x020
k=-μ
=（m）,
a
Rm（ρ）=
J0（kmρ）,m
=1,2,L
m
解：
3.解方程（5）：
⎧Z'
⎨
+μZ=0
（5）
→Zm
（z）
=cm
sinh（k0z）
⎩Z（0）=0
（8）
4.叠加，定系数：
∞
m
m
0
u（ρ,
z）=
∞
∑cm
m=1
sinh（k0z）J
（k0ρ）
→∑cm
m
m
0
m=1
sinh（k0h）J
（k0ρ）
=u0
=
1a0
cma2
J2（k0a）sinh（k0h）
⎰0u0ρJ0（kmρ）dρ
15.2Bessel
函数的性质
21mm
15.2Bessel
函数的性质
（2）
（x）
ν-1
ν
ν
ν
[xJ（x）]=xJ
d
dx
四、广义傅氏展开
令x=kρ
解：
4.叠加，定系数：
0
0
⎰0ρ0m
1
m
⎰
（k0）2
（k0a）
00
=aJ
k01
（k0a）
m
J（k
ρ）dρ=
a
m
mxJ
（x）dx
m
问：
J1
（k0a）＝0？
m
=1a0
cma2
J2（k0a）sinh（k0h）
⎰0u0ρJ0（kmρ）dρ
21m2um
=0
（k0a）sinh（k0h）J（k0a）
mm1m
∞
2usinh（k0z）J（k0ρ）
m
1
m
sinh（k0h）J（k0a）
m
x0
0m0m
∑
m=1
u=
（1）
n
=∑Jn（x）t
n=-∞
x（t-1）
e2t
15.2Bessel
函数的性质
五、小结（贝塞尔函数的性质）
∞
（1）母函数关系式
（2）
（3）
-ν
-ν
[xJν（x）]=-xJν+1（x）
d
ν-1
ν
⎨
⎪
⎩
（2）
（x）
ν
ν
[xJ（x）]=xJ
d
⎪dx
⎧
递推公式：
dx
aρnn
a22n
（3）正交性
⎰0Jn（kmρ）Jn（kl
ρ）dρ=
2Jn+1（kl
a）δml
（8）
0
n
f（ρ）J（kρ）dρ
ρ
a
⎰
1
c=
（4）广义傅氏展开
（kna）
n+1m
J2
f（ρ）=
m
a2
2
nm
15.2Bessel
函数的性质
本节作业
习题15.2:
2（3）（4）
7
8
（1）
升级会员 