中考数学二次函数性质综合题.docx

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中考数学二次函数性质综合题

第二部分题型研究

题型二　二次函数性质综合题

类型二　二次项系数不确定型

针对演练

1.（2013杭州）已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A、B（点A、B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A、C在一次函数y2＝

x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.

（1）求点A，B的坐标；

（2）若抛物线在－2≤x≤3的区间上的最小值为－3，求m的值；

（3）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在

－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

第2题图

3.已知二次函数y＝kx2＋（3k＋2）x＋2k＋2.

（1）若二次函数图象经过直线y＝x－1与x轴的交点，求此时抛物线的解析式；

（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数图象上的两个点，若满足x1＋x2＝－3，试比较y1和y2的大小关系．

4.（2012杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

考向　　2）　函数类型不确定型（杭州：

2015.20，2014.23，2012.18）

针对演练

1.（2012杭州）当k分别取－1，1，2时，函数y＝（k－1）x2－4x＋5－k都有最大值吗？

请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．

2.（2015杭州）设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）．

（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；

（2）根据图象，写出你发现的一条结论；

（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．

第2题图

3.（2011杭州）设函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1（k为实数）．

（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；

（2）根据所画图象，猜想出：

对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；

（3）对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．

4.已知函数y＝（k－1）x2＋x－k＋2（k为常数）．

（1）求证：

不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点；

（2）当k为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点；

（3）试问该函数是否存在最小值－3？

若存在，求出此时的k值；若不存在，请说明理由．

5.已知关于x的函数y＝kx2＋（2k－1）x－2（k为常数）．

（1）试说明：

无论k取什么值，此函数图象一定经过（－2，0）；

（2）在x>0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；

（3）若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y轴围成的图形面积为4，求此时k的值．

6.关于x的函数y＝2kx2＋（1－k）x－1－k（k是实数），探索发现了以下四条结论：

①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

②当k＝－3时，函数图象的顶点坐标是（

，

）；

③当k>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于

；

④当k≠0时，函数图象总经过两个定点．

请你判断四条结论的真假，并说明理由．

答案

1.解：

∵点C在一次函数y2＝

x＋n的图象上，线段OC长为8，∴n＝±8，

①当n＝8时，一次函数为y2＝

x＋8，当y＝0时，x＝－6，求得点A的坐标为A（－6，0），

∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c

（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且线段AB长为16，

∴这时抛物线开口向下，B（10，0）；

如解图①所示，抛物线的对称轴是x＝2，

由图象可知：

当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2；

第1题解图①

②当n＝－8时，一次函数为y2＝

x－8，当y＝0时，x＝6，求得点A的坐标为（6，0），

∵抛物线y1＝ax2＋

bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且线段AB长为16，

∴这时抛物线开口向上，B（－10，0），

如解图②所示，抛物线的对称轴是x＝

－2，由图象可知：

当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≤－2；

第1题解图②

综合以上两种情况可得：

当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2或x≤－2.

2.解：

（1）当x＝0时，y＝－2，

∴A（0，－2），

∵抛物线的对称轴为直线x＝－

＝1，

∴B（1，0）；

（2）易知抛物线y＝mx2－2mx－2的对称轴为x＝1，

当m＞0时，抛物线开口向上，

∵－2≤x≤3，∴y最小值在x＝1处取得，y最小值＝－m－2，

∴－m－2＝－3，∴m＝1，

当m＜0时，抛物线开口向下，

y最小值在x＝－2处

取得，即8m－2＝－3，∴m＝－

.

故m的

值为1或－

.

（3）易得A点关于对称轴直线x＝1的对称点A′（2，－2），

则直线l经过A′、B，

设直线l的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

则

，

解得

，

∴直线l的解析式为y＝－2x＋2；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线在2＜x＜3这一段与在－1＜x＜0这一段关于对称轴对称，

则抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在－1＜x＜0这一段位于直线

l的下方，

∴抛物线与直线l的交点的横坐标为－1，

当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，

∴抛物线过点（－1，4），

当x＝－1时，m＋2m－2＝4，

解得m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－2.

3.解：

（1）∵直线y＝x－1与x轴的交点为（1，0），y＝kx2＋（3k＋2）x＋2k＋

2经过点（1，0），

∴0＝k＋3k＋2＋2k＋2，

∴6k＋4＝0，即k＝－

.

∴抛物线的解析式为y＝－

x2＋

.

（2）∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数图象上两个点，

∴y1＝kx

＋（3k＋2）x1＋2k＋2，y2＝kx

＋（3k＋2）x2＋2k＋2，

两式相减，得y1－y2＝[kx

＋（3k＋2）x1＋2k＋2]－[kx

＋（3k＋2）x2＋2k＋2]

＝k（x1＋x2）（x1－x2）＋（3k＋2）（x1－x2）

＝－3k（x1－x2）＋（3k＋2）（x1－x2）

＝2（x1－x2），

当x1＞x2时，y1＞y2；

当x1＝x2时，y1＝y2；

当x1＜x2时，y1＜y2；

4.解：

（1）∵点A（1，k）在反比例函数图象上，

∴设反比例函数为y＝

，

∵k＝－2，∴y＝－

；

（2）要使得反比例函数是y随着x的增大而增大，

∴k<0.

而对于二次函数y＝kx2＋kx－k，其对称轴为x＝－

，

要使二次函数满足上述条件，在k<0的情况下，

则x必须在对称轴的左边，

即x<－

时，才能使得y随着x的增大而增大；

综上所述，则k<0，且x<－

时，反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大；

（3）由

（2）可得Q（－

，－

k）；

第4题解图

∵A点与B点关于原点对称，

∴原点O平分AB.

又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，

∴OQ＝OA＝OB.

作AD⊥OC，QC⊥OC，OQ＝

＝

.

而OA＝

＝

，

∴

＝

，

则k＝

或k＝－

.

考向2　函数类型不确定型

针对演练

1.解：

k只有取－1时，才有最大值，

当k＝1，函数为y＝－4x＋4，是一次函数，一次函数无最值，

当k＝2，函数为y＝x2－4x＋3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值；

当k＝－1，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为y＝－2（x＋1）2＋8，则当x＝－1时，ymax＝8.

2.解：

（1）当k＝0时，y＝－（x－1）（x＋3）＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，

则此函数为二次函数，它的图象与x轴交于点（1，0）、（－3，0），与y轴的交点为（0，3），顶点为（－1，4），

利用描点法所画函数的图

象如解图：

第2题解图

（2）①图象都经过点（1，0）和点（－1，4）；

②图象总交x轴于点（1，0）；

③k取0和2时的函数图象关于点（0，2）中心对称；（答案不唯一，写出一条即可）

（3）k＝2时，函数y2＝（x－1）2，

此函数图象的顶点坐标为（1，0），向左平移4个单位，再向下平移2个单位，

得到函数y3图象的顶点坐标为（－3，－2），则y3＝（x＋3）2－2，

∴当x＝－3时，函数的最小值等于－2.

3.解：

（1）如两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，

画出函数图象如解图，

第3题解图

（2）不论k取何值，函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1的图象必过定点（0，1），（－2，－1），且与x轴至少有

1个交点.

证明如下：

由y＝kx

2＋（2k＋1）x＋1，得k（x2＋2x）＋（x－y＋1）＝0.

当x2＋2x＝0且x－y＋1＝0，即x＝0，y＝1或x＝－2，y＝－1时，上式对任意实数k都成立，所以函数的图象必过定点（0，1），（－2，－1）．

又因为当k＝0时，函数y＝x＋1的图象与x轴有一个交点；

当k≠0时，∵Δ＝（2k＋1）2－4k＝4k2＋1>0，所以函数图象与x轴有两个交点．

所以函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1的图象与x轴至少有1个交点.

（3）只要写出m≤－1的数都可以.

∵k<0，

∴函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1的图象在对称轴x＝－

的左侧时，y随x的增大而增大.

4.

（1）证明：

若k＝1时，函数为一次函数，与x轴有交点，

若k≠1时，函数为二次函数y＝（k－1）x2＋x－k＋2

Δ＝1－4（k－1）（2－k）＝（2k－3）2≥0，

∴不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点；

（2）解：

∵函数y＝（k－1）

x2＋x－k＋2过原点，

∴－k＋2＝0，

∴k＝2，

∴y＝x2＋x，

令y＝x2＋x＝0，

解得x＝0或x＝－1，

∴函数图象与x轴的另一个交点为（－1，0）；

（3）解：

①k－1＝0即k＝1时，函数y＝x＋1为一次函数，无最小值．

②当k－1＞0即k＞1时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得．即

＝－3，

解得k＝3±

，均符合题意．

故此时k的值为3±

.

5.解：

（1）将x＝－2代入，得y＝k（－2）2＋（2k－1）·（－2）－2＝0，

故不论k取何值，此函数图象一定经过点（－2，0）.

（2）①若k＝0，此函数为一次函数y＝－x－2，

当x＞0时，y随x的

增大而减小，

∴k＝0符合题意．

②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（－2，0）、（0，－2），

∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，需满足k＜0即可．

综上，k的取值范围是k≤0.

（3）由题意可知2×|

|＝4.

解得k＝－

或k＝

.

故此时k的值为－

或

.

第5题解图

6.解：

①假命题；

理由：

当k＝0时，y＝x－1为一次函数，

与坐标轴只有两个交点；

②真命题；

理由：

当k＝－3时，y＝－6x2＋4x＋2＝－6（x－

）2＋

，

∴顶点坐标是（

，

）；

③真命题；

理由：

当k>0时，令y＝0得：

Δ＝（1－k）2－4×2k（－1－k）＝（3k＋1）2，

∴x＝

，

∴x1＝1，x2＝－

－

，

∵|x1－x2|＝

＋

>

，

∴函数图象截x轴所得的线段长度大于

；

④真命题；

理由：

当k≠0时，y＝2kx2＋（1－k）x－1－k＝（2x2－x－1）k＋x－1，

当2x2－x－1＝0时，y的值与k无关，

此时x1＝1，x2＝－

；

当x1＝1时，y1＝0

；

当x2＝－

时，y2＝－

，

∴函数图象总经过两个定点（1，0），（－

，－

）．