中考数学压轴题之初中数学专题.docx

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中考数学压轴题之初中数学专题

中考数学压轴题专题复习

1.（2008年四川省宜宾市）

已知：

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1,0）、B（0,3）两点，其顶点为D.求该抛物线的解析式；

（1）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDB的面积；

（2）△BDE是否相似？

如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

（注：

抛物线y=ax2+bx+c（a丰0）的顶点坐标为

b4acb2

2a'4a

2.（08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所

示，四个顶点的坐标分别为O（0,0）,A（10,0）,B（8,2...3）,C（0,23），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A），折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S;

（1）求/OAB勺度数，并求当点A'在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

（3）S存在最大值吗？

若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，

请说明理由•

3.（08浙江温州）如图，在RtAABC中,

A90o，AB6，AC8，D，E分别

BC于Q，过点

是边AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ

Q作QR//BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动•设BQx,QRy.

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的x的值;若不存在，请说明理由.

4.（08山东省日照市）在厶ABC中，/A=90°,AB=4,AO3,M是AB上的动点（不与A,B重合），过M点作MN/BC交AC于点N.以MN为直径作OO并在。

O内作内接矩形AMPN令AM=x.

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S;

（2）当x为何值时，OO与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNMt合的面积为y,试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

图1

5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=（k>0）与直线y=k'x交于A,B两点，点A在

第一象限•试解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（4,2）.则点B的坐标为;若

点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为;

（2）如图2，过原点O作另一条直线I，交双曲线y=（k>0）于P,C两点，点P在第一

象限•①说明四边形APBC一定是平行四边形；②设点的横坐标分别为m,n,四边

形APBC可能是矩形吗？

可能是正方形吗？

若可能，直接写出mn应满足的条件；若

不可能，请说明理由•

6.（2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知△AOB是等边三角形，点

A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP,并把△AOP

绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到△ABD.

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（

•、3,0）时，求此时DP的长及点D的坐标;

3）是否存在点

卩，使4OPD勺面积等于

—，若存在，请求出符合条件的点

P的坐标；若不存在,

请说明理由

7.（2008浙江义乌）如图1，四边形ABC［是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCC外作正方形CEFG连结BGDE我们探究下列图中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得

到如图2、如图3情形•请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=aBC=bCE=kaCG=kb（ab,

5为例简要

k0），第

（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？

若成立，以图说明理由.

（3）在第⑵题图5中，连结DG、BE，且a=3,b=2,k=—，求BEDG2的值.

8.（2008浙江义乌）如图1所示，直角梯形OAB啲顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半

轴上•过点BC作直线I.将直线I平移，平移后的直线I与x轴交于点D,与y轴交于点E.

（1）将直线I向右平移，设平移距离CD为t（t0），直角梯形OAB（被直线|扫过的面积

（图中阴影部份）为s,s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4.

1求梯形上底AB的长及直角梯形OABC勺面积；

2当2t4时，求S关于t的函数解析式；

（2）在第

（1）题的条件下，当直线|向左或向右平移时（包括|与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P,使PDE为等腰直角三角形？

若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

9.（2008山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：

△BDE^ABCF;

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设厶BEF的面积

10.（2008山东烟台）如图，抛物线L1:

抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线

L2,L2交x轴于C、D两点.

为S,求S的取值范围.

（1）求抛物线L2对应的函数表达式;

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,MN为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线Li上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点

Q是否在抛物线L2上，请说明理由•

淅江宁波）2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥一一杭州湾跨海大桥通车了.通车

后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.已知运输车速度不变时，行驶时间将

从原来的3时20分缩短到2时.

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.

（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从

宁波港运到B地.若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与

（2）中相同，从宁波港到B

地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：

一车800元，当货物每增加1车时，

每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

12.（2008淅江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸….已知标准纸.的短边长为a.

（1）如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折

叠：

第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上

的点B处，铺平后得折痕AE;

第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF.

则AD:

AB的值是,AD,AB的长分别是,.

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？

若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值.

（3）如图3,由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E,F,G,H

分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上，求DG的长.

（4）已知梯形MNPQ中，MN//PQ，/M90°,MNMQ2PQ，且四个顶点

M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出

2个符合条件且大小不同的直角梯形的

面积.

13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中,AB/CDAB=7，CD=1，AD=BC=5.点MN分别在边ADBC上运动，并保持MIN/AB,MELABNF丄AB垂足分别为E,F.

（1）求梯形ABCD勺面积；

（2）求四边形MEFF面积的最大值.

（3）试判断四边形MEF!

能否为正方形，若能，

求出正方形MEFN勺面积；若不能，请说明理由.

14.（2008山东威海）如图，点

A（mm+1）,B（m^3,

m-1）都在反比例函数y上的

图象上.

（1）求mk的值；

（2）如果M为x轴上一点，

N为y轴上一点，

以点代B,MN为顶点的四边形是平行四边形，

试求直线MN的函数表达式.

（3）选做题：

在平面直角坐标系中，点P的坐标

为（5,0）,点Q的坐标为（0,3）,把线段PC向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段PQ，

则点P的坐标为，点Q的坐标为.

15.（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，

如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线

如图12,点A、B、CD分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），

AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为2.

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？

试试看；

（3）

16.（2008年浙江省绍兴市

）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中

C（0,3）•动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点

B>x

秒时,

0（0,0）,A（6,0）,

动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动•设点P的运动时间为t（秒）.图12

开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式•

（1）用含t的代数式表示OP,OQ;

（2）当t1时，如图1,将厶OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；

（3）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2.问：

PQ与AC能否平行？

PE与AC

能否垂直？

若能，求出相应的t值；若不能，说明理由.

17.（2008年辽宁省十二市）如图16，在平面直角坐标系中，直线y

、3x、3与x轴交于

点A，与y轴交于点C，抛物线y

ax123

c（a

0）经过A,B,C—点.

图16

18.（2008年沈阳市）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB.3，矩形ABOC绕点O按顺时针方

向旋转60°后得到矩形EFOD•点A的对应点为点E,点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线yax2bxc过点A,E,D.

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面

积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若

19.（2008年四川省巴中市）已知：

如图14，抛物线y

3x23与x轴交于点A，点B,

与直线y-xb相交于点B，点C，直线y

xb与y轴交于点E.

A向B运动（不与AB重合），B向C运动•设运动时间为t秒，

（1）写出直线BC的解析式.

（2）求△ABC的面积.

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积

最大，最大面积是多少?

20.（2008年成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10,0）,顶点B在第一象限内，且AB=3J5,sin/OAB迈.

（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过OCA三点的抛物线的函数表达式；

（2）在

（1）中，抛物线上是否存在一点P,使以P、OC、A为顶点的四边形为梯形？

若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k,0）（k>1的常数），设过Q

R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记厶QNM

的面积为SQMN，△QNR勺面积SQNR，求SQMN:

SQNR的值.

21.（2008年乐山市）在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB以AB为直径的圆过点C若C的坐标为（0,2）,AB=5,A,B两点的横坐标Xa,Xb是关于X的方程

x（m2）xn10的两根：

（1）求m,n的值

（2）若/ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D,试求直线I对应的一次函数的解析式

⑶过点D任作一直线I分别交射线CACB（点C除外）于点MN则的值是

CMCN

否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

22.（2008年四川省宜宾市）已知：

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1,0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDB的面积；

b4acb2

2a'4a

⑶△AOBM^BDE是否相似？

如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由

（注：

抛物线y=ax+bx+c（a丰0）的顶点坐标为

23.（天津市2008年）已知抛物线y3ax22bxc,

（I）若ab1,c1,求该抛物线与x轴公共点的坐标;

（川）若abc0，且x1

（n）若ab1，且当1x1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围;

0时，对应的y10;x21时，对应的y20，试判断当0x1

时，抛物线与x轴是否有公共点？

若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.

24.（2008年大庆市）

如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b（b>2a）,且点F在AD上（以下问题的结果均可用a,b的代数式表示）.

（1）求SaDBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的SaDBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，SaDBF是否存在最大值、最小

值？

如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.

25.（2008年上海市）已知AB2,AD4,DAB90o,AD//BC（如图13）.E

是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点.

（1）设BEx,△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.

图13

B备用图

26.（2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所

中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺

设管道到另外两处.

如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），

点M表示这所中学•点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60o的2、、3km处.

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：

供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：

供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：

供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值.

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

甲村

C乙村D

图②

rT:

27.（2008年山东省青岛市）已知：

如图①，在Rt△ACB中，/C=90°,AC=4cmBC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ若设运动的时间为t（s）（0vtv2），解答下列

问题：

（1）当t为何值时，PQ//BC?

（2）设厶AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC,那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？

若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.

图①

28.（2008年江苏省南通市）已知双曲线y与直线yX相交于AB两点.第一象限

上的点M（mn）（在A点左侧）是双曲线y上的动点.过点B作BD//y轴于点D.过N

（0，-n）作NC//x轴交双曲线y—于点E，交BD于点C.

（1）若点D坐标是（—8，0），求A、B两点坐标及k的值.

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE勺面积为4,求直线CM的解析式.

（3）设直线AMBM分别与y轴相交于P、Q两点，且M*pMPMB=qMQ求p—q的值.

29.（2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：

在一边

长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：

请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由•（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

图1

图2

图3

图4

压轴题答案

1.解：

（1）由已知得：

解得

1bc

c=3,b=2

•••抛物线的线的解析式为y

x22x3

（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（

1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以

E（3,0）

设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=Sabo

S梯形BOFD

SDFE

」AOBO1（BODF）OF1EFDF

222

13-（3

4）1

-2

（3）

相似

如图,

BD=BG2

DG2

BE.BO2oe2

DE=,

DF2EF2

2,5

所以

BD2BE2

20,

DE2

20即:

2BE

所以

AOBDBE

90,且

2，

所以

AOB:

DBE.

（1）

•/A,B两点的坐标分别是

A（10,0）和B（8,

•-tanOAB

2、3

108

•OAB

2,3）,

当点A'在线段AB上时,

•••△ATA是等边三角形,

DE,所以

BDE是直角三角形

二TP（10t）sin60

OAB60,且TPTA,

TA=TA,

f（101）,A

-AT

•-SSatp丄APTP3（10t）2,

2材3

当A'与B重合时，AT=AB=4,

sin60

所以此时6t10.

当点A'在线段AB的延长线，且点P在线段AB（不与B重合）上时，纸片重叠部分的图形是四边形（如图

（1），其中E是TA'与CB的交点），当点P与B重合时，AT=2AB=8点T的坐标是（2,又由

（1）中求得当A'与B重合时，T的坐标是（6,所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2t

（3）S存在最大值

。

当6t10时，S于（10t）2，

在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小,

•••当t=6时，S的值最大是2.3.

②当2t6时，由图Oi，重叠部分的面积SSatpSaeb

•••△A'EB的高是ABsin60,

石（10t）

1（10t4）2于

-（t24t28）-（t2）24.3

当t=2时，S的值最大是4、、3;

O当0t2,即当点A'和点P都在线段AB的延长线是（如图O,其中E是TA'与CB的交点，F是TP与CB的交点），

•/EFTFTPETF，四边形ETAB是等腰形，•EF=ET=AB=4

•-SEFOC42343

综上所述，S的最大值是4、..3，此时t的值是0t2.

3.解：

（1）QARt,AB6,AC8,BC10•

Q点D为AB中点，

QDHBA90o,

1BD-AB2

BB•

3•

△BHDBAC,

DHBD

gAC

ACBC

（2）QQ

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