初中数学函数知识点总结.docx

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初中数学函数知识点总结

初中函数知识点总结

知识点一、平面直角坐标系

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，

取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标

系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，

分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：

x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

”

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， 分开，横、

纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当 a ≠ b 时，（a，b）和（b，a）

是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征

点 P（x,y）在第一象限 ⇔ x > 0, y > 0

点 P（x,y）在第二象限 ⇔ x < 0, y > 0

点 P（x,y）在第三象限 ⇔ x < 0, y < 0

点 P（x,y）在第四象限 ⇔ x > 0, y < 0

2、坐标轴上的点的特征

点 P（x,y）在 x 轴上 ⇔ y = 0 ，x 为任意实数

点 P（x,y）在 y 轴上 ⇔ x = 0 ，y 为任意实数

点 P（x,y）既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔ x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点 P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上 ⇔ x 与 y 相等

点 P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上 ⇔ x 与 y 互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标

的特征

点 P 与点 p’关于 x 轴对称 ⇔ 横坐标相等，纵坐标互为相反数

点 P 与点 p’关于 y 轴对称 ⇔ 纵坐标相等，横坐标互为相反数

点 P 与点 p’关于原点对称 ⇔ 横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点 P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1）点 P（x,y）到 x 轴的距离等于 y

（2）点 P（x,y）到 y 轴的距离等于 x

（3）点 P（x,y）到原点的距离等于

x 2 + y 2

知识点三、函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确

定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，

这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫

做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：

以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

知识点四、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果 y = kx + b （k，b 是常数，k ≠ 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。

特别地，当一次函数 y = kx + b 中的 b 为 0 时， y = kx （k 为常数，k ≠ 0）。

这时，y

叫做 x 的正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数 y = kx + b 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 y = kx 的图像是经

过原点（0，0）的直线。

k 的符b 的符

号号函数图像

图像特征

k>0

y

b>0                                          图像经过一、二、三象限，

y 随 x 的增大而增大。

y

b<0                                          图像经过一、三、四象限，

y 随 x 的增大而增大。

k<0

k<0

y

b>0                                          图像经过一、二、四象限，

y 随 x 的增大而减小

0           x

y

b<0                                          图像经过二、三、四象限，

y 随 x 的增大而减小。

0          x

注：

当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数 ykx 有下列性质：

（1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，图像从左之右上升；

（2）当 k<0 时，图像经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小，图像从左之右下降。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数 y = kx + b 有下列性质：

（1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大

（2）当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小

（3）当 b>0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上

（4）当 b<0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴负半轴上

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y = kx （k ≠ 0）中的常数 k。

确

定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 y = kx + b （k ≠ 0）中的常数 k 和 b。

解这类问

题的一般方法是待定系数法

知识点五、反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数 y = k

x

（k 是常数，k ≠ 0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以

写成 y = kx -1 或 xy=k 的形式。

自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数，函数的取值范围也

是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或

第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量 x ≠ 0，函数 y ≠ 0，所以，它

的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标

轴。

3、 反比例函数的性质

反比

例函

数

y = k （k ≠ 0）

x

k 的符

号k>0

k<0

y

y

图像Ox

O              x

性质

①x 的取值范围是 x ≠ 0，            ①x 的取值范围是 x ≠ 0，

y 的取值范围是 y ≠ 0；              y 的取值范围是 y ≠ 0；

②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别 ②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。

在每个象限内，y    在第二、四象限。

在每个象限内，y

随 x 的增大而减小。

                随 x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定解析式的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数 y = k

x

中，只有一个待定系数，

因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

若过反比例函数 y =

k

x

（k ≠ 0） 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的

k

矩形 PMON 的面积 S=PM ∙ PN= y ∙ x = xy 。

y =,∴ xy = k , S = k 。

x

知识点六、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果 y = ax 2 + bx + c（a, b, c是常数，a ≠ 0） ，特别注意 a 不为零，那么 y

叫做 x 的二次函数。

y = ax 2 + bx + c（a, b, c是常数，a ≠ 0） 叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于 x = - b

2a

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线

画出对称轴

（2）求抛物线 y = ax 2 + bx + c 与坐标轴的交点：

当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到

点 C 的对称点 D。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次

函数的图像。

当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。

由

C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对

对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点七、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：

 y = ax2的性质：

a 的符号

开口方向  顶点坐标  对称轴

性质

a > 0

向上

（0 ，0）

y 轴

x > 0 时， y 随 x 的增大而增大； x < 0 时， y 随

x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值 0 ．

a < 0向下

（0 ，0）

y 轴

x > 0 时， y 随 x 的增大而减小； x < 0 时， y 随

x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值 0 ．

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y = ax2 + c 的性质：

二次函数 y = ax2 + c 的图像可由 y = ax2 的图像上下平移得到（平移规律：

上加 下减）。

a 的符号

开口方向  顶点坐标  对称轴

性质

a > 0

向上

（0 ， ）

y 轴

x > 0 时， y 随 x 的增大而增大； x < 0 时， y 随

x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值 c ．

a < 0

向下                y 轴

x > 0 时， y 随 x 的增大而减小； x < 0 时， y 随

x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值 c ．

3. y = a （x - h）2 的性质：

二次函数 y = a （x - h）2 的图像可由 y = ax2的图像左右平移得到（平移规律：

左加右减）。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴

性质

a > 0

a < 0

向上

向下

（h ，0）

（h ，0）

X=h

X=h

x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y

随 x 的增大而减小；x = h 时，y 有最小值 0 ．

x > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y

随 x 的增大而增大；x = h 时，y 有最大值 0 ．

4. y = a （x - h）2 + k 的性质：

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴

性质

a > 0

向上     （h ， ）

X=h

x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y

随 x 的增大而减小；x = h 时，y 有最小值 k ．

a < 0向下X=h

x > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y

随 x 的增大而增大；x = h 时，y 有最大值 k ．

知识点八、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：

 y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；

2. 顶点式：

 y = a（ x - h）2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；

3. 两点式：

 y = a（ x - x ）（ x - x ） （ a ≠ 0 ， x ， x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.

1212

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成两点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用两

点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

知识点九、二次函数解析式的确定

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的

解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情

况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

知识点十、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） 即当

b4ac - b 2

x =-时， y

2a4a

2a

如果自变量的取值范围是 x ≤ x ≤ x ，那么，首先要看 - b

12

是否在自变量取值范围

x ≤ x ≤ x 内，若在此范围内，则当 x= -

12

b          4ac - b 2

时， y

2a            4a

需要考虑函数在 x ≤ x ≤ x 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当

12

x = x 时， y

2

最大

= ax 2 + bx + c ，当 x = x 时， y

2 2 1

最小

= ax 2 + bx + c ；如果在此范围内，

1 1

y 随 x 的增大而减小，则当 x = x 时， y

1

最大

= ax 2 + bx + c ， 当 x = x 时 ，

1 1 2

y

最小

= ax 2 + bx + c 。

2 2

知识点十一、二次函数的性质

1、二次函数的性质

函数

二次函数

y = ax 2 + bx + c（a, b, c是常数，a ≠ 0）

a>0

a<0

y

y

图像

0x

0      x

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是 x= -

b

2a

，

（2）对称轴是 x= -

b

2a

，

b4ac - b 2

顶点坐标是（ -，）；

2a4a

b   4ac - b 2

顶点坐标是（ -   ，        ）；

2a     4a

（3）在对称轴的左侧，即当 x< -

b

2a

时，

（3）在对称轴的左侧，即当 x< -

b

2a

时，y 随

性质y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，

x 的增大而增大；在对称轴的右侧，

即当 x> -

b

2a

时，y 随 x 的增大而增大，

即当 x> -

b

2a

时，y 随 x 的增大而

简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当 x= -

减小，简记左增右减；

b                                      b

时，y 有最小 （4）抛物线有最高点，当 x= -   时，

2a                                     2a

值， y

最小值

=

4ac - b 2

4a

y 有最大值， y

最大值

=

4ac - b 2

4a

2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：

一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况.

图象与 x 轴的交点个数：

① 当 ∆ = b2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A（x ，0），B （x ，0） （ x ≠ x ） ，其中的

1212

x ，x 是 一 元 二 次 方 程 ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0） 的 两 根 ． 这 两 点 间 的 距 离

12

AB = x - x =

21

b2 - 4ac

a

a        a

0）0

推导过程：

若抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴两交点为 A（x ，，B（x ，），由于 x 、

121

x 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根，故

2

bc

x + x =-, x ⋅ x =

1212

AB = x - x =（x

121

- x

2

）2

=  （x

1

+ x

2

）2 - 4 x x

1 2

⎛ b ⎫2 4c b 2 - 4ac   ∆

= ç- ⎪ -   =         =

⎝ a ⎭ a      a      a

② 当 ∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点；

③ 当 ∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点.

1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；

2' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．

记忆规律：

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的 ∆ = b 2 - 4ac ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。

当 ∆ >0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 ∆ =0 时，图像与 x 轴有一个交点；

当 ∆ <0 时，图像与 x 轴没有交点。

知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

y

如图：

点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标为（x2，y2）

则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为

（x

1

- x

2

）2 + （y

1

- y

2

）2

A

0

B

2、二次函数图象的平移

① 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a （x - h）2 + k ，确定其顶点坐标 （h ， ） ；

k

② 保持抛物线 y = ax2 的形状不变，将其顶点平移到 （h ， ） 处，具体平移方法如下：

向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位

y=ax2y=ax 2+k

向右（h>0）【或左（h<0）】

平移|k|个单位

向右（h>0）【或左（h<0）】

平移 |k|个单位

向上（k>0）【或下（k<0）】

平移|k|个单位

向右（h>0）【或左（h<0）】

平移|k|个单位

y=a（x-h）2

向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位     y=a（x-h）2+k

③平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成

八个字“左加右减，上加下减”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但

掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

21

x - x

21

l  ：

 y = k  x + b

4、设两条直线分别为， l ：

 y = k x + b

111

2 2

2

若 l

1

// l

2 ，则有

l1 // l2 ⇔ k1 = k2 且 b1 ≠ b 2 。

若 l ⊥ l ⇔ k ⋅ k

121

2

= - 1

知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系

抛物线 y = ax 2 + bx + c 中， a b c,的作用

（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y = ax 2 中的 a 完全一样.

a >0 时，抛物线开口向上； a <0 时，抛物线开口向下； a 的绝对值越大，开口越小

（2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是直线

x =-

b

2a

b

，故：

①b = 0 时，对称轴为 y 轴；②  > 0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴

a

b

在 y 轴左侧；③< 0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.（口诀左同 右异）

a

（3） c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.

当 x = 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：

① c = 0 ，抛物线经过原点;

② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；

③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则

b

a

< 0 .

知识点十四、中考点击

考点分析：

内容

1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点

2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系

3、一次函数的概念和图像

4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图

5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用

6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次

函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题

要求

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ

命题预测：

函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选

择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，

一般占 3-6 分左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选

择、解答题及综合题的形式考查，占 6 分左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题

形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6 分；二次函数是初

中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：

能通过对

实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数

图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，

并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．

分析近年中考，预计 2014 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的

变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同