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导热理论基础
第一章导热理论基础
本章重点：
准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导
热问题的基本分析方法。
物质内部导热机理的物理模型：
（1）分子热运动；
（2）晶格（分子在无限大空间里排列
成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。
物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中
所起的作用是不同的。
导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。
第一节基本概念及傅里叶定律
1-1导热基本概念
一、温度场（temperaturefield）
（一）定义：
在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。
它是空间坐标和时间坐标的函数。
在直角坐标系下，温度场可表示为：
tf（x,y,z,）
（1-1）
（二）分类：
1．从时间坐标分：
①稳态温度场：
不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，
t
0，此时，
tf（x,y,z）。
（如设备正常运行工况）
稳态导热：
发生于稳态温度场中的导热。
②非稳态温度场：
随时间而变化的温度场，温度分
布与时间有关，tf（x,y,z,）。
（设备启动和停车过程）
非稳态导热：
在非稳态温度场中发生的导热。
图1-1
等温线
2．从空间坐标分：
a：
平壁
b：
圆筒壁
t
f（x,y,z,）
非稳态
①三维温度场：
温度与三个坐标有关的温度场，
f（x,y,z）
t
稳态
1
t
f（x,y,）
非稳态
②二维温度场：
温度与二个坐标有关的温度场，
f（x,y）
t
稳态
t
，
）
非稳态
f（x
③一维温度场：
温度只与一个坐标有关的温度场，
f（x）
t
稳态
二、等温面与等温线
1．等温面（isothermalsurface）：
在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。
2．等温线（isotherms）：
用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。
为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。
3．等温面（线）的特点：
①不同的等温面（线）之间是不可能相交的。
图1-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒壁内的等温面（线）的示意图。
②在连续介质的假设条件下，等温面（线）可以是物体中闭合的曲面或曲线，或者终止在物体的边界，不可能在物体中中断。
。
③等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度的相对大小，若每条等温线间的温度间隔相等时，即t相等，则等温线越疏，表明该区域热流密度越小；反之，越大。
④沿等温面（等温线）无热量传递
三、温度梯度（temperaturegradient）
从一个等温面上的某点出发，到达另一个等温面，可以有不同的路径，不同路径上的温度变化率是不同的，温度变化率最大的路径位于该点的法线方向上。
为了表示沿等温面法线方向的温度变化率，引入温度梯度的概念。
梯度（最大的方向导数）：
指向变化最剧烈的方向。
（向量）
温度变化率是标量，温度梯度是矢量。
温度梯度：
定义沿法线方向的温度变化率（沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限）为温度梯度，以gradt表示。
grad
t
lim
t
t
（1-2）
n
n
n0
n
n
式中，n——等温面法线方向的单位矢量；
t——温度在等温面法线方向的导数。
gradt
n
温度梯度的方向（正向）：
是沿等温面法线由低温指向高温。
qP
t+t
t
2
t-t
温度梯度的数值大小：
等于温度梯度方向上的导数。
在直角坐标系：
gradt
ti
tj
tk
（1-3）
x
y
z
式中，i，j，k分别表示x轴、y轴及z轴方向上的单位矢量。
温度降度：
温度梯度的负值，gradt，沿温度降低的方向。
图1-2温度梯度与热流密度矢量
四、热流密度矢量
热流密度：
它指单位时间单位面积上所传递的热量。
在不同方向上，热流密度的大小是不同的。
1．热流线（heatfluxlines）：
在温度场中，作与各等温线一一正交的一组曲线，这组曲线
称为热流线。
热流线是表示热流方向的线。
在热流线上各点做切线，则热流方向就在该切线上，而某
点热流线的切线方向与该点等温线的法线方向是一致的。
所以热流方向是在等温线的法线方
向上。
由于热流是从高温处流向低温处，所以热流方向与温度梯度的方向相反。
可见，热流
既有大小，也有方向。
为此引入热流密度矢量来对热流进行描述。
2．热流密度矢量：
等温面上某点，以通过该点最大热流密度的方向为方向，数值上，等
于沿该方向的热流密度的矢量，称为热流密度矢量，简称热流矢量。
其他方向的热流密度都是热流矢量在该方向的分量。
在直角坐标系中，热流矢量可表示为：
qqxiqyjqzk
（1-4）
式中qx,qy,qz为沿三个坐标轴方向的分热流。
1-2．傅立叶定律（Fourier’slawofheatconduction）
傅里叶于1822年在对固体导热实验进行总结的基础上，提出了著名的傅里叶定律，它是
导热的基本定律。
1．傅立叶定律的表达式
qgradttn
n
式中的比例系数即为材料的导热系数（或称热导率），单位W（mC）。
负号“-”表
示热流密度矢量与温度梯度的方向刚好相反（是热力学第二定律的体现）。
3
在直角坐标系，傅立叶定律可以展开为：
qqxiqyjqzk
（ti
tj
tk）
（1-7）
x
y
z
对应可写出各个方向上的分热流密度为：
qx
t，qy
t，qz
t
x
y
z
工程上，一般考虑简单几何形状物体的导热。
这时，热流密度常垂直于物体表面，分析
问题时，常将坐标轴垂直于表面，这样，热流密度的方向就与坐标轴重合，热流密度可以不
写成矢量形式,而只按坐标轴方向考虑热流密度的正负。
即热流密度与坐标轴同向时为正，反
向时为负。
傅立叶定律指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。
2．傅里叶定律的适用范围：
适用于各向同性连续介质的稳态和非稳态导热过程。
（适用q不很高，而作用时间长。
不适用于时间极短，热流密度极大或者温度极低时的导热）
问：
傅里叶定律并不显含时间，为什么能用于计算非稳态导热的热量？
答：
q是瞬时热流密度，不同瞬时，q可能是不同的，q与时间有关。
由傅里叶定律可知,要计算导热热流量,需要知道材料的导热系数,还必须知道温度场。
所以求解温度场是导热分析的主要任务。
（温度场——温度梯度——热流矢量）
第二节导热系数
一、导热系数的定义：
q
（1-8）
gradt
物理意义：
单位温度梯度下物体内产生的热流密度。
它表征物质导热能力的大小，导热
能力是物质的固有的物理性质，所以导热系数是物性参数。
单位：
W/（m·K）或W/（m·℃）
各种材料的导热系数一般是通过实验来测定的。
二、影响材料导热系数的因素
4
材料的导热系数与物质种类及物质的温度，密度、湿度、压力等有关。
不同物质导热系数的数值是不同的。
一般情况是，纯金属的导热系数很高，气体的导热
系数很小，液体的数值介于金属和气体之间。
1．气体
（1）导热机理：
靠分子热运动时的相互碰撞。
（2）各种气体的导热系数的范围：
0.006～0.6W/（m·K），其中以氢的导热系数为最大，常温下，空气的导热系数约为：
0.025W/（m·K）。
（解释：
双层玻璃窗为什么能起到保温作用？
）
（3）所有气体的导热系数均随温度升高而增大。
（t,）
（4）对于空气，其含湿量增加后，湿空气的导热系数将增大。
（5）对气体，除非压力很低（小于2.67×103Pa）或压力很高（大于2×109Pa），可以认为气体的导热系数随压力变化不大。
水蒸汽的导热系数随压力的升高而增大。
（p,）
2．液体
（1）导热机理：
靠不规则的弹性振动（弹性波）。
（2）各种液体的导热系数的范围：
0.07～0.7W/（m·K）。
水的导热系数在所有各种液
体（不包括金属液体和电解液）中最大，20℃时水0.60W/（mK），油类的导热系数值较小，
在0.01～0.15W/（m·K）之间。
（3）大多数液体（水和甘油除外）的导热系数随温度的升高而减小。
（t,）
（4）液体的导热系数受压力影响较大，随压力的升高导热系数增大。
（p,）
3．固体
（1）金属
①导热机理：
依靠自由电子的迁移。
金属导热与导电机理一致。
良导电体为良导热体。
②各种金属的导热系数的范围：
在0℃时12～410W/（m·K），其中以银的导热系数为最高，纯金属的导热系数为：
银—410W/（m·K），铜—387W/（m·K），铝—203W/（m·K），铁—73W/（m·K）。
纯金属的导热系数值大于合金（依靠自由电子的迁移和晶格的振动；主要依靠后者），且合金中杂质含量越多，导热系数值越小。
（原因：
金属中的杂质干扰了自由
电子的运动，影响了能量的传递。
）（参见课本330页，附录7）
5
③纯金属的导热系数随温度的升高而减小。
（t,）（晶格运动的加强，干扰了自
由电子的运动）
一般合金的导热系数随温度的升高而增大。
（t,）
（2）非金属
①导热机理：
依靠晶格的振动。
②大多数建筑材料及隔热保温材料都属于非金属材料，如砖、砂、砂浆、混凝土等。
这类材料的导热系数范围为：
0.025～3W/（m·K）。
非金属材料的导热系数随温度升高而增大。
（t,）
（3）保温材料（隔热、绝热材料）（insulatingmaterial）
①定义：
按照国家标准（GB4272-92）的规定，凡平均温度不高于350C，导热系数的
数值不大于0.12W/（mK）的材料称为绝热保温材料（隔热材料或热绝缘材料）。
②保温材料的特点：
保温材料大多是多孔材料（蜂窝状结构），内部有很多细小的空隙，其中充满气体，因而并非为密实固体，严格讲，这些材料已不应视为连续介质。
通常所说的保温材料的导热系数是指表观导热系数，即把保温材料当作连续介质时折算出的值。
③保温材料的热量传递机理：
a蜂窝固体结构的导热
b微小孔隙中气体的导热
c微小孔隙壁间的辐射换热（高温时）
④保温材料的导热系数随温度升高而增大。
（t,）
⑤密度和湿度对保温材料和建筑材料的导热系数影响较大。
保温材料和建筑材料大多是多孔材料。
如果密度大，意味着材料比较密实，孔隙率低，导热系数就大，多孔材料的密度小，意味着材料的孔隙多，使材料的导热系数小。
但如果密度太小，孔隙尺寸变大或孔隙连通起来，这时气体会在孔隙中发生对流，产生对流换热，反而使导热系数增大。
所以这些材料都对应有最佳的密度，即此时使材料的导热系数最小。
多孔材料如果吸收水分后，导热系数较大的水就会取代孔隙中导热系数较小的空气，使
材料的导热系数增大。
例如，干砖的λ值为0.35W/（m·K），而湿砖的λ可达1W/（m·K），所以对建筑物的维护结构，露天热力管道和设备的保温层，应采取防水防潮措施。
问：
（1）同样是-6℃的气温，为什么在南京比在北京感觉要冷一些？
6
（2）通常，新房子刚住进去时，都有一种冷的感觉，为什么？
（3）一般情况下，工程材料的导热系数随温度变化并不是线形的，但在温度变化不大的范围内，对大部分材料来说，可以认为导热系数随温度是线性关系的，即：
0（1bt）
（t1t
t2）
（1-9）
式中，t为温度，0为该直线与纵坐标的截距（注意：
它并不
λ
是温度为0℃时材料的真实导热系数），
b是由实验测定的常
数。
λ0
注意：
上式只是在一定范围内有效。
t
4．对于同一种物质来讲，一般情况是，
λ固
>λ液>λ气。
t1
t2
例如，大气压力下
0℃时，冰
2.22W/（m
K），
水
0.55W/（mK），
水蒸汽0.0183W/（mK）
5．各向异性材料（anisotropicmaterial）
不同方向上的导热系数都相同的材料称为个各向同性材料，反之称为各向异性材料。
例如木材，石墨等，由于他们各向结构不同，因此各方向上的导热系数差别较大，对此类材料给出导热系数，必须注明方向。
思考题：
1、傅立叶定律的应用条件
2、保温工程对保温材料及使用有何要求？
3、傅里叶定律是否可以用于非稳态导热？
4、材料导热系数的单位为W/（mC），而在有些教材上则为W/（mK），两者之间是否有差别？
5、为什么大部分隔热保温材料都采用多孔结构？
6、试分析北方寒冷地区的房屋采用双层玻璃窗起到了什么样的作用。
7、冬天的棉衣和被褥在太阳下晾晒后使用会感到很暖和，晾晒后再拍打拍打则效果更
7
好。
为什么？
8、冬天，房顶上结霜的房屋保暖性能好还是不结霜的好?
8
第三节导热微分方程式
导热微分方程式是描述物体内温度分布的微分方程，是根据能量守恒定律（热力学第一
定律）和傅立叶定律建立起来的。
一、导热微分方程的建立
在推导导热微分方程式时，假定：
（1）物体为各向同性的连续体；
（2）物体的物性参数（λ，ρ，c）已知；
（3）物体具有均匀内热源，其强度记为qv（Wm3）：
单位体积单位时间内所发出的热量。
物体内放出热量时，内热
源为正，物体内吸收热量时，内热源为负。
分析对象：
采用直角坐标系，从物体中分割出一个微
元平行六面体，微元体的边长分别为：
dx，dy，dz，其体
积为dVdxdydz。
取时间d，对微元体进行热平衡分析，根据能量守恒定律，有：
导入与导出微元微元体内热源微元体的热力学能
（1-10）
体的净导热量c的发热量v的增量U
下面对每一项分别进行讨论：
1导入与导出微元体的净导热量
c
在坐标系三个方向上均有热量的导进与导出，首先来看x方向：
沿x表面导入的热量：
xqxdydzd
经x+dx表面导出的热量：
xdxqxdxdydzd（qxqxdx）dydzd
x
因此，由x方向导入的净导热量为：
x
xdx
qxdxdydzd
x
同理，沿y和z方向导入的净导热量分别为：
9
y
y
dy
qy
dxdydzd
y
z
z
dz
qz
dxdydzd
z
最后可得进入该微元体的净导热量：
qx
qy
qz
）dxdydzd
c
（
y
z
x
根据傅里叶定律，将qx
t，qy
t
，qz
t代入上式，得：
x
y
z
c
[（
t）
（
t）
（
t）]dxdydzd
（a）
x
x
y
y
z
z
2微元体内热源的发热量v
d时间内，微元体内热源的发热量v为：
vqvdxdydzd（b）
3微元体的内能增量U
d时间内，微元体的内能增量U为：
U（dxdydz）cdtctdxdydzd（c）
将（a）、（b）、（c）代入（1-10），并经整理得：
ct
（
t）
（
t）
（
t）qv
（1-11）
x
x
y
y
z
z
该式即为通用的导热微分方程式，描述了物体的温度随时间和空间变化的关系，是描写导热过程共性的数学表达式，是求解导热问题的出发点。
说明：
（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；
（2）等号左边是单位时间内微元体内能的增量（非稳态项）；
（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微元体在单位时间内增加的能量（扩散
项）；
（4）等号右边最后项是源项；
10
（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方
程中消失。
适用条件：
各向同性的连续介质的稳态与非稳态导热过程，且物性既可以是常物性，也可以是变物性，一维、二维、三维都适用。
但不适用于深冷或超急速传热。
二、导热微分方程的简化
1．常物性：
即ρ，c，λ均为常数
t
2t
2t
2t
）
qv
（1-12）
a（
x2
y2
z2
c
或写成：
t
a
2
t
qv
c
式中，
2——拉普拉斯运算符，
2
2
2
2
x2
y2
z2
a——热扩散率（或导温系数）（thermaldiffusivity），a，其单位为m2s，是一个
c
热物性参数。
热扩散率a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c之间的关系。
表征了材料在非稳态导热（物体被加热和冷却）时，物体内各部分的温度趋于均匀一致
的能力，它是物体热惯性的度量。
在非稳态导热过程中，a值大的材料温度变化快，或物体内部各处的温度差小，整块材料的温度比较均匀。
所以，热扩散率又是材料传播温度变化能力大小的指标，也称为导温系数。
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。
不同材料的热扩散率相差较大。
例如：
木材的热扩散率为
1.5×10-7
2，铝的热扩散率
m/s
为9.45×10-5m2/s，铝的热扩散率为木材的600多倍。
所以，当尺寸相同的木棒和铝棒的一端同时放入火中加热时，很快铝棒的另一端已经烫手，而木棒在炉中的一端虽已着火燃烧，但另一端的温度基本上不变。
热扩散率反映导热过程动态特性，只对非稳态过程才有意义。
（在稳态过程中，温度不
随时间变化，所以热扩散率不起作用）
11
热扩散率和导热系数是两个不同的物理量。
热扩散率综合了材料的导热能力和单位体积
的热容量大小，而导热系数只是指材料导热能力的大小。
导热系数小的材料，其热扩散率不
一定小。
例如，气体的导热系数很小，但它的热扩散率却和金属的相当，气体：
15～165×10-6
m2/s，金属：
3～165×10-6m2/s。
2．常物性，无内热源
t
2t
2t
2t
）
或
t
a
2
t
（1-13）
a（
y2
z2
x2
3．对常物性，稳态导热，
t
0
，则
2t
2t
2t
qv
或
2
qv
0
（
x2
y2
z2）
0
t
（1-14）
4．对常物性、无内热源的稳态导热，
2t
2t
2t
2t
0
（1-15）
x2
y2
z2
问：
式中无导热系数，有人因此说：
常物性、无内热源的稳态导热中导热系数与物体内
温度分布和到热量无关。
你认为对吗？
答：
qgradt，当t一定时，q与有关。
当存在第二类或第三类边界条件时，将影响导热微分方程的解，即影响温度分布。
这
时，的影响是通过边界条件而引入的。
三、其它坐标系中导热微分方程
12
对圆柱坐标系t（r,,z）（见图）
ct
1
r
（rt）
1
（
t）
（
t）qv
（1-16）
r
r
r2
z
z
对球坐标系t（r,,
）（见图）
ct1
（r
2t）
1
（
t）
1
（sin
t）qv（1-17）
r2r
rr
2sin2
r
2sin
对常物性、一维稳态且无内热源的导热问题，两方程可简化为
ddt
（r）0
d（r2dt）0
drdr
通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。
预知某
一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件（定解条件）。
第四节导热过程的单值性条件
导热微分方程没有涉及具体、特定的导热过，是描写导热过程共性的通用表达式，适用
于所有导热过程，但每一个具体的导热过程总是在特定条件下进行的，具有区别于其他导热
过程的特点（即该过程的个性）。
因此对于某一特定的导热过程，除了用导热微分方程式来描
述外，还需要有表达该过程特点的补充说明条件。
单值性条件：
确定唯一解的补充说明条件。
求解导热微分方程式可获得方程式的通解，结合单值性条件就可以求出特定问题的惟一
解。
（特解=通解+单值性条件）
对具体的导热过程进行完整的数学描述，应包括两部分：
导热微分方程式和单值性条件。
单值性条件包括四方面的内容：
几何条件、物
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