二次函数综合题常考题型汇四.docx
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二次函数综合题常考题型汇四
二次函数综合题常考题型汇总
一．线段和最短
1.如图，已知抛物线y=﹣
（x+2）（x﹣a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）．
问：
在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标
2.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
问：
在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
问：
在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
）
4.如图，抛物线
与x轴交于A（1，0）、B（－4，0）两点，
问：
设
（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
@
5.在平面直角坐标系中，已知y=﹣
x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移
（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为
时，试证明：
平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
。
（3）在
（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
^
二．长度、面积最大
1.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（
，
）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
问：
是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
!
2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
问：
如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
：
3.如图，已知抛物线y=﹣
x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
问：
求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大最大面积是多少
|
4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
问：
连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
@
5.如图，抛物线
与x轴交于A（1，0）、B（－4，0）两点，
问：
设此抛物线与直线
在第二象限交于点D，平行于
轴的直线
与抛物线交于点M，与直线
交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在
的值，使四边形BNCM的面积S最大若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由．
?
!
6.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
问：
若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
}
三．特殊的三角形
1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
问：
设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
】
2.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（
，
）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
问：
求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
￥
3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．
问：
在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由
@
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
]
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
.
5.如图，已知二次函数y1=﹣x2+
x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
问：
在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
^
6.已知抛物线E1：
y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′．
问：
如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
—
四．三角形相似
1.如图，已知抛物线y=﹣
（x+2）（x﹣a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）．
问：
若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
《
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
问：
当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
:
3.如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
问：
在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
、
4.如图，抛物线y=
x2+mx+n与直线y=﹣
x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
问：
P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：
是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
<
五、平行四边形
1.在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
/
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
问：
若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
3.如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
问：
若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）若点N在
（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
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