大学高数公式大全.docx
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大学高数公式大全
高等数学公式
导数公式：
基本积分表:
（tgx）=secx鹼日範齐C
jctgxd）'msecxHgxc
（cscx）cscxctgxsecxdx=Insecx©
（ax）axIna
escxdx=Inc^cx-ctgx-C
｛时）、^x
arctg—C
axaa
（arcsinx）"=$12dx"1—x
2sejxdx=tgxC
（arcco§xx=——,2
=csf-x^dx=-ctgxC（arc^x）^—
[secxtgxdx^secx+C
（a^cs^'ctgxdx
12CSCXC
x
dx
~22
x-a
dx
.~22
a-x
rdx
」ln
2a
亠n
2a
x—a
xa
axdx-C
Ina
shxdx二chxC
JJ22
“a-x
ax
C
a—x
x
二arcsinC
a
chxdx二shxC
dx
.x2a2
=In（x.x2a2）■C
In
迟
2
=sinnxdx=
0
cos
0
n&n_1I
xdxIn2
n
2
.x2a2dx
、.x2-a2dx
-x2dx
=兰0*2+a2+丄|n（x+€x2+a2）+C
22
=xlx2_a2_d|nx+/
22
2
x22a.x
a-xarcsinC
22a
lnx*x2—a2+C
三角函数的有理式积分:
2usinx厂1+u
1-u2
cosx2,
1+u2
一些初等函数：
两个重要极限:
双曲正弦
双曲余弦
双曲正切
x-x
e—e
:
shx=
2
e+e
:
chx=
2
x-x
X1shxe-e:
thx二
sinx’
lim1
X）0x
ym.：
（1]）x=e=2.718281828459045…
三角函数公
式：
•诱导公式：
chxexe^
■arshx=1n（xarchx二In（xx2-1）
11+x
arthxIn
21-x
^函^角A、，
sin
cos
tg
ctg
-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
90°-a
cosa
sina
ctga
tga
90°+a
cosa
-sina
[-ctga
-tga
180°a
sina
-cosa
-tga
-ctga
180-a
-sina
-cosa
tga
ctga
270-a
-cosa
-sina
ctga
tga
270-a
-cosa
sina
-ctga
-tga
360-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
360-a
sina
cosa
「tga
ctga
-和差角公式：
•和差化积公式:
sin（用二I'）二sin：
cosl，二cos：
sin-cos（二I）=cos：
cos二sintsin:
tg;二tg-
tg（、•二1：
）-“
1干tgatgP
化ctgactgB+1
ctg（x二卜）=
ctgl-二ctgj
tya+Pa-P
sin二亠sin：
二2sincos
22
任a+Pa-P
sin二「sin：
=2cossin
22
aa+Pa-P
cos：
cos--2coscos—
22
Ra+Pa-P
cos：
--cos：
=2sinsin
22
•倍角公式:
sin2：
-2sin:
cos：
cos2：
222
=2cos：
：
-1=1—2sincos
・2
-sin:
sin3：
=3sin：
-「4sin3:
-
ctg2：
2
ctg：
-1
3
cos3：
=4cos'：
「3cos：
2ctg：
2tg：
3
3tga-tga
tg22
1-tg2。
tg3二
1-3tga
-半角公式:
.a：
1-cosa吋刊—T-
a[1—cosa1—cosasinot
tg—
2■,1cos：
sin：
1cos：
a'1+cosa
cos—
2■2
a：
1+co泊1+co少sina
ctg.
21-cos：
sin：
1-cos：
-正弦定理:
a
sinA
b_c
sinBsinC
=2R•余弦定理:
222
cab—2abcosC
arctgx二一-arcctgx
2
M点的曲率:
.（1y2）3.
•反三角函数性质：
arcsinx二一-arccosx
2
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式:
n
（n）k（n上）（k）
（uv）Cnuv
k=0
=u（n）vnul也口uF”H乂丘—『吋juv（n）
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）二f（J（b-a）
柯西中值定理：
丄包血丄^
F（b）-F（a）F徉）
当F（x）二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
d^,1y2dx,其中y'tgt
化量；As：
MM弧长。
平均曲率：
R-「「］・•：
从M点到M点，切线斜率的倾角变直线：
K=0;
1
半径为a的圆：
K二一.
a
定积分的近似计算：
b
矩形法：
f（x）
a
b
梯形法：
f（x）
a
b
抛物线法：
f（x）
a
：
bza（yo%ynj）
n
b-a「1,
:
〒耶％s*y』
b—a
工[®yn）2"%沁）伽％儿）]
定积分应用相关公式：
功：
W=Fs
水压力：
F=pA
引力：
卩十響*为引力系数
r
函数的平均值:
b-a
f（x）dx
a
均方根:
la
b
2
.f（t）dt
空间2点的距离：
d=M1M2=U（X2—Xi）2+（y2—%）2+（Z2—zj2
a
空间解析几何和向量代数:
向量在轴上的投影：
PrjuAB-|ab|cos:
:
■■是AB与u轴的夹角。
Prju（a「a2^Prja1PJa?
ab=abcos日=axbx+ayby+azbz,是一个数量
两向量之间的夹角：
axbx+ayby+azbzcos-:
\厲2+ay2+az2£bx2+by2+bz2
-ijc=a5=axaybxby
k
az,c=absin日.例：
线速度:
bz
axayaz
向量的混合积：
[abc]=（a汇b）c=bxbybz
CxCyCz
代表平行六面体的体积
abccos：
/为锐角时,
平面的方程：
1点法式:
A（x-X。
）B（y-y°）C（z-zo）=0,其中n={A,B,C},Mo（x°,y°,Zo）
2、一般方程：
AxByCzD=03、截距世方程：
c
平面外任意一点到该平
AxoByoCzoD
面的距离：
d二
JA2+B2+C2
空间直线的方程:
X-X0
m
-一=——=t,其中s={m,n,p};参数方程：
％nP
x=x0mty=y°ntz二z0pt
二次曲面:
椭球面:
2、
3、
单叶双曲面
双叶双曲面
4
+
2
2
2一
a
b
c
2
2
x
y:
二乙（X
2p
2q
2
2
2
:
x
..y
z
:
2
.2
2
a
b
c
2
2
2
:
x
y
z_
:
2
.2
2
a
b
c
2
抛物面:
双曲面:
=1（马鞍面）
同号）
-1
22
多元函数微分法及应用
全微分：
dz二二dx•三dy
x:
y
cu£ucu
dudxdydz
x:
yz
Z二f[u（t）,v（t）]
z二f[u（x,y）,v（x,y）]
:
x
y
-y二
Fx
亡
.2
Q（Fx（-
dx
Fy
dx
xFy
-z
Fx
-z
Fy
:
x
Fz，
■y
Fz
隐函数F（x,y）=0,
隐函数F（x,y,z）=0,
cvcv
dvdx一
cFxdy
全微分的近似计算：
zdz二fx（x,y）xfy（x,y）：
y
多元复合函数的求导法：
dz:
z:
u:
z:
vdt一:
u说:
v；:
t
L、L、L、
:
z:
z:
u:
z:
v
—-■
L、、L\L\L\L\
x:
u:
x:
v:
x
当u=u（x,y）,v=v（x,y）时，du=±dx昱dy
&dy
隐函数的求导公式：
:
F
:
F
隐函数方程组：
」
G（x,y,u,v）=0
J—
1
c（F,G）
1
£（F,G）
dx
J
&x,v）
J
c（u,x）
du
1
c（F,G）
1
c（F,G）
创
J
£（y,v）
J
8（u,y）
：
：
（u,v）
微分法在几何上的应用:
[xf）
空间曲线y（t）在点皿他畀0卫）处的切线方程:
Z-（t）
:
G
.:
u
x-Xo
Fu
Gu
Fv
Gv
y-y。
（to）
Z-Z。
■（to）
在点M处的法平面方程：
（to）（x-xo）宀（to）（y-y°），（to）（z-zo）=0
若空间曲线方程为：
［F（x,y,z）=0则切向量F={FyFFzFFxF
G（x,y,z）=0GyGzGzGxGxGy『
曲面F（x,y,z）=0上一点M（Xo,y°,Zo）,则:
1、过此点的法向量:
n={Fx（x°,yo,z°）,Fy（x°,y°,zo）,Fz（x°,y°,z。
）}
2、过此点的切平面方程：
Fx（xo,y°,zo）（x-Xo）•Fy（xo,yo,zo）（y-y°）•Fz（xo,y°,zo）（z-zo）二。
3、过此点的法线方程:
方向导数与梯度：
x--yo-
Fx（Xo,y°,Zo）Fy（xo,y°,zo）Fz（x°,yo,Zo）
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：
」丄cos—sinclexcy
其中:
为x轴到方向I的转角。
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）ij
excy
f
它与方向导数的关系是：
一=gradf（x,y）e，其中e=cos：
「i，sin：
:
・j，为I方向上的
单位向量。
-是gradf（x,y）在l上的投影。
多元函数的极值及其求法：
fxy（xo,yo）=B,fyy（xo,yo）=C
设fx（xo,yo）=fy（xo,yo）=0，令：
fXX（xo,y0）=A,
2»<0,（x0,y0）为极大值
AC-B2A0时，
>0,（Xo,yo）为极小值
贝AC—B2£0时，无极值
AC—B2=0时,不确定重积分及其应用:
11f（x,y）dxdy=f（rcosv,rsin"rdrdv
二f（x,y）的面积A二
DD'
JfxP（x,y）dbUyP（x,y）dcr
平面薄片的重心：
_MxD_Myd
x,y=
M!
i」（x,y）d二Mi,：
（x,y）dc
DD
曲面z
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ix=By?
P（x,y）dcr,对于y轴Iy=jfx^（x,y）dc
DD
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a■0）的引力：
F={Fx,Fy,Fz}，其中:
（x,y）xd二
Fx-fM3，
D/2222
（xya）2
柱面坐标和球面坐标：
（X,y）yd二
Fy-fII3，
D/2丄2丄2行
（xya）2
（x,y）xdc
Fz=-fa3
D/222“
（xya）2
x=rcos9
柱面坐标：
ty=rsin0,
z=z
!
!
!
f（x,y,z）dxdydz川F（rj,z）rdrdMz,QQ
其中：
F（rj,z）=f（rcosQrsin日，z）
|x=rsin:
cos
球面坐标：
y二rsin「sinv,dv二rd「rsin「dr二r2sindrdd
z=rcos：
2兀JTr（Q8
f（x,y,z）dxdydz二F（r,,v）r2sindrdddd「F（r,:
^）r2sindr
000
111
重心：
x=—iiix^dv,iiiypv,iiiz'dv,其中M二x-;?
dv
MdM5M五五
转动惯量：
Ix=（y2z2）「dv,Iy=（x2z2）「dv,Iz=（x2y2）「dv
QQQ
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
丿乂-％）,伴兰t兰B）,则：
y=^（t）
x=t
P;
.f（x,y）ds二f[（t）?
（t）h：
2（tK'2（t）dt（：
：
：
）特殊情况:
L、'一
第二类曲线积分（对坐
设L的参数方程为
P（x,y）dx■Q（x,y）dy
L
两类曲线积分之间的关
L上积分起止点处切向量
格林公式：
（二_
D'CX
标的曲线积分）：
二'⑴，则：
=-（t）
P
=j{p[「⑴,（t）r':
（t）■q[（t）r-（t）}dta
系：
Pdx亠Qdy=（Pcos:
-
l'■'
的方向角。
亠Qcos|.：
'）ds，其中
:
.和『'分别为
当P-_y,Q=x,即:
平面上曲线积分与路径
1、G是一个单连通区域;
土）dxdy=PdxQdy
訓L
卫一兰=2时，得到
；x:
y
无关的条件：
格林公式:
D的面积:
2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数
，且
=-Pdx-Qdy
L
1
二dxdyxdy—ydx
2L
二=。
注意奇点，如
；:
x：
：
y
（0,0），应
减去对此奇点的积分，
二元函数的全微分求积
注意方向相反!
在卫=上时，Pdx-Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
；:
x:
y
（x,y）
u（x,y）=P（x,y）dxQ（x,y）dy，通常设x0=y0=0。
（X。
，yo）
曲面积分：
对面积的曲面积分：
J/f（x,y,z）ds=JJf[x,y,z（x,y）]（1+z；（x,y）（x,y）dxdy
为Dxy
对坐标的曲面积分：
11P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy，其中:
z
号;
号;
R（x,y,z）dxdy=R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正瓦Dxy
取曲面的前侧时取正
!
）P（x,y,z）dydz二P[x（y,z）,y,z]dydz，
送Dyz
IiQ（x,y,z）dzdx二Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
ZD；
两类曲面积分之间的关系：
iiPdydz-Qdzdx-Rdxdy=（Pcos•工^Qcos：
•Rcos）ds
zz
高斯公式：
FPEQcR
iii（）dv二PdydzQdzdxRdxdy11（Pcos-八Qcos：
Rcos）ds
门：
x:
yz高斯公式的物理意义——通量与散度：
散度：
div、•一兰•2•兰,即：
单位体积内所产生的流体质量，若div—：
0,则为消失…
x:
y:
z
通量：
IlAnds二Ands二（Pcos：
Qcos：
Rcos）ds，
zzz
因此，高斯公式又可写成：
divAdv：
肓Apds
斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：
旋度：
rotA=
j
-:
y
Q
向量场A沿有向闭曲线
）cR
）dzdx+（2.
-——）dxdy=qPdx+Qdy+创f
dydz
dzdx
dxdy
cosot
cosP
cosY
=ff
£
泳
cz.
JJy
ex
创
cz
P
Q
R
P
Q
R
关的条件：
gRcQ
=、
cP
cRcQ
cP
cz
cz
f-.f-.
exex
讷
空间曲线积分与路径无
k
Rdz
上式左端又可写成：
jj
t
tRcQ
）dydz（
、C立
.:
z
R
:
的环流量:
■-PdxQdyRdz=：
Atdsf
常数项级数:
等比数列:
等差数列:
调和级数:
n
,2n_11-q
qq亠亠q
1-q
（n+1）n
•2•3川-诘‘n=2
-—-是发散的
23
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法
设：
Q=limnun，则
n—
根植审敛法（柯西判时，级数收敛r.1时，级数发散
、P=1时，不确定
别法）：
2、比值审敛法:
p.--：
：
i时，级数收敛丄，贝9二.1时，级数发散n1时，不确定
3、定义法：
散。
un0）的审敛法莱布尼兹定理:
sn=山亠u2亠■亠un;lim-Sn存在，则收敛；否则发父错级数5_口2u3u^（或_5.口2_口3■…
如果交错级数满足hc，那么级数收敛且其和其余项rn的绝对值rn兰片出
lim山=0
n汽：
绝对收敛与条件收敛：
优质参考文档
（I）"•U2亠■亠Un•…，其中Un为任意实数；
（2）5十应|+心|+…+|Un十…
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
如果
（2）发散，而
（1）收敛，则称⑴为条件收敛级数。
调和级数：
、•1发散，而◎匸收敛；
nn
1
级数：
'"收敛；
n
p级数辽丄（巾兰1时发散
np\p>1时收敛
幕级数:
1xx2
x3亠-xn
对于级数
2
（3）a0a1x-a2x川…川anx
数轴上都收敛，则必存
在R,使
/xc1时，收敛于—
'1-x
_1时，发散
•…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
:
:
:
R时收敛
-R时发散
二R时不定
，其中R称为收敛半径。
求收敛半径的方法：
设
函数展开成幕级数:
二『，其中an,
；?
-0时，R二丄
/戸
an，是⑶的系数，则20时，Rhf
-•:
:
时，R=0
函数展开成泰勒级数:
f（x）=f（xo）（x-xo）今（x-x。
）2
（n）（xo）
x0=0时即为麦克劳林公式：
f（x）二f（0）f（0）x-^^x2血川f⑼xn
2!
n!
n
些函数展开成幕级数:
（n1）,
余项：
Rn=f（2（x-x0）nsf（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：
limRn=0
（n+1）!
mpc
（―1:
:
：
x:
:
:
1）
丄m丄丄m（m一1）2
（1X）=1mx七一
+…十m（m-1）…（m-n+1.十
n!
-:
：
:
:
：
X-2）
35
x,xsinx=x-
3!
5!
欧拉公式：
n1
亠（_1）n」_x
（2n—1）!
ix.ix
e+ecosx二
ix
ecosxisinx
2
ix-ix
e-esinx=.2
三角级数:
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