大学高数公式大全.docx

1、大学高数公式大全高等数学公式导数公式： 基本积分表:(tgx) =sec x 鹼日範齐Cjctgxd) msecx Hgxc(cscx) cscx ctgx secxdx = In secx (ax) ax Inaesc xdx = I n ccx-ctgx -C时)、 xarctg Ca x a a(arcsin x) = $ 1 2 dx 1x2 sejxdx =tgx C(arccoxx=, 2= csf-xdx = -ctgx C (arcx)secx tgxdx secx + C(acsctgxdx1 2CSCX Cxdx2 2x -adx.2 2a -xr dxln2a亠n2ax

2、ax aaxdx - CIn ashxdx 二 chx CJ J 2 2“a -xa xCa xx二arcs in Cachxdx 二 shx Cdx.x2 a2=In(x.x2 a2) CIn迟2=sinn xdx =0cos0n & n _1 Ixdx I n 2n 2.x2 a2dx、.x2 -a2dx-x2dx=兰0*2 +a2 +丄|n(x +x2 + a2) +C2 2= xlx2 _a2 _d|n x+/2 22x 2 2 a . xa - x arcs in C2 2 aln x*x2 a2 +C三角函数的有理式积分:2u sinx 厂 1+u1-u2cosx 2,1+u2一些

3、初等函数：两个重要极限:双曲正弦双曲余弦双曲正切x - x, e e:shx =2, e +e:chx =2x - xX1 shx e -e :thx 二sin x lim 1X )0 xym.：(1 )x=e = 2.718281828459045三角函数公式：诱导公式：chx ex e x2 -1)arshx =1 n(x archx 二 In(x x2 -1)1 1 +xarthx In2 1 -x函 角A、，sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a18

4、0 asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 - a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 - asin acos atg actg a-和差角公式：和差化积公式:sin（用二 I）二sin ： cosl，二cos： sin - cos（ 二 I ） = cos： cos二 si n t sin :tg ;二 tg -tg （、二 1：,） - “1 干tga tgP化 ctga ctgB +1ctg（x

5、 二卜）=ctgl-二 ctgjty a + P a -Psin 二 亠 sin ：二 2sin cos 2 2任 a + P a - Psin 二sin ： =2 cos sin 2 2a a + P a -Pcos： cos - - 2cos cos 2 2R a +P a - Pcos：- -cos ： = 2 sin sin 2 2倍角公式:sin2： -2sin : cos：cos2：2 2 2= 2cos ： -1 =1 2sin cos2-sin :sin3： = 3sin：-4sin3:-ctg2：2ctg ： -13cos3： =4cos ：3cos：2ctg：2tg：33t

6、ga -tg atg2 21-tg2。tg3 二 1-3tga-半角公式:.a ：1 -cosa 吋刊T-,a 1 cosa 1 cosa si nottg 2 , 1 cos ： sin ： 1 cos：a 1 + cosacos 2 2a ：1+co泊 1+co少 si nactg .2 1-cos： sin： 1 - cos：-正弦定理:asin Ab _ csin B sin C=2R 余弦定理:2 2 2c a b 2abcosCarctgx 二一- arcctgx2M点的曲率:.(1 y2)3.反三角函数性质： arcsin x二一 -arccosx2高阶导数公式 莱布尼兹( Le

7、ibniz )公式:n(n) k (n 上)(k)(uv) Cnu vk=0= u(n)v nul 也口 uF” H乂丘吋 j uv(n)2! k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a)二f ( J(b - a)柯西中值定理：丄包血丄F(b)-F(a) F 徉)当F(x)二x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。 曲率：弧微分公式：d , 1 y 2dx,其中ytgt化量；As： MM弧长。平均曲率：R -：从M点到M点，切线斜率的倾角变 直线：K =0;1半径为a的圆：K二一.a定积分的近似计算：b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab抛物线法：f (x)a：

8、bza(yo % ynj)nb -a1 ,:耶 s * yb a工 yn) 2 % 沁)伽 儿)定积分应用相关公式：功：W =F s水压力：F = p A引力：卩十響*为引力系数r函数的平均值:b -af(x)dxa均方根:lab2.f (t)dt空间2点的距离：d = M1M2 =U(X2 Xi)2 +(y2 %)2 +(Z2 zj2a空间解析几何和向量代数:向量在轴上的投影：Pr ju AB - |ab| cos : 是 AB与u轴的夹角。Prju(aa2Pr ja1 PJa?a b = a b cos日=axbx +ayby +azbz, 是一个数量两向量之间的夹角：axbx+ayby+

9、azbz cos -:厲2 +ay2 +az2 bx2 +by2 +bz2-i j c =a 5 = ax ay bx bykaz, c = a b sin 日.例：线速度: bzax ay az向量的混合积：abc = (a汇b) c = bx by bzCx Cy Cz代表平行六面体的体积a b ccos： /为锐角时,平面的方程：1 点法式:A(x -X。)B(y -y) C(z -zo) =0,其中 n =A, B,C, Mo(x, y,Zo)2、一般方程：Ax By Cz D = 0 3、截距世方程：c平面外任意一点到该平Axo Byo Czo D面的距离：d二 JA2 + B2 +

10、C2空间直线的方程:X -X0m-一 = =t,其中 s=m,n, p;参数方程： n Px = x0 mt y = y nt z 二 z0 pt二次曲面:椭球面:2、3、单叶双曲面双叶双曲面4 +222 一abc22xy :二乙(X2p2q222:x.yz: 2.22abc222:xyz_: 2.22abc2抛物面:双曲面:=1(马鞍面)同号)-12 2多元函数微分法及应用全微分：dz二 二 dx 三 dyx :ycu u cudu dx dy dzx : y zZ 二 fu(t),v(t)z 二 fu(x,y),v(x,y):xy-y 二Fx亡.2Q ( Fx (-dxFydxx Fy-z

11、Fx-zFy:xFz，yFz隐函数F(x,y) =0,隐函数 F(x,y,z) =0,cv cvdv dx 一c Fx dy全微分的近似计算： z dz二fx(x, y) x fy(x,y) ：y多元复合函数的求导法：dz :z : u : z :v dt 一 :u 说:v ；:tL、 L、 L、:z :z : u : z :v - L、 L L L Lx : u :x :v :x当u=u(x,y), v=v(x, y)时， du = dx 昱 dy& dy隐函数的求导公式：:F:F隐函数方程组：G(x,y,u,v) =0J 1c(F,G)1(F,G)dxJ&x,v)Jc(u,x)du1c(F

12、,G)1c(F,G)创J(y,v)J8(u,y)：(u,v)微分法在几何上的应用:xf)空间曲线y (t)在点皿他畀0卫)处的切线方程:Z - (t):G.:ux - XoFuGuFvGvy -y。(to)Z-Z。 (to)在点M处的法平面方程：(to)(x-xo)宀(to)(y -y) ，(to)(z-zo) =0若空间曲线方程为：F(x,y,z)=0则切向量F = Fy F Fz F Fx FG(x,y,z)=0 Gy Gz Gz Gx Gx Gy曲面 F(x, y,z)=0上一点 M(Xo,y,Zo),则:1、 过此点的法向量:n =Fx(x, yo,z), Fy(x, y, zo),

13、Fz(x, y,z。)2、 过此点的切平面方程 ：Fx(xo,y,zo)(x-Xo) Fy(xo,yo,zo)(y-y) Fz(xo,y,zo)(z-zo)二。3、过此点的法线方程:方向导数与梯度：x - - yo - Fx(Xo,y,Zo) Fy(xo,y,zo) Fz(x,yo,Zo)函数z=f(x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为： 丄cos s in cl ex cy其中:为x轴到方向I的转角。函数z = f(x,y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jex cyf它与方向导数的关系是：一 =grad f (x,y) e，其中e=cos：i，sin

14、：:j，为I方向上的单位向量。-是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：f xy (xo , yo ) = B , fyy(xo,yo) =C设 fx(xo,yo) = fy(xo,yo) =0，令：f XX (xo , y0 ) = A ,2 0,( Xo, yo )为极小值贝AC B2 0时， 无极 值ACB2=0时, 不确定 重积分及其应用:11 f (x, y)dxdy = f(rcosv,rsin rdrd v二f (x, y)的面积A二D D JfxP(x,y)db UyP(x,y)dcr平面薄片的重心：_ Mx D _ M y dx , y =M ! i(

15、x, y)d二 M i , ： (x, y)dcD D曲面z平面薄片的转动惯量： 对于x轴I x = By? P(x, y)dcr, 对于y轴I y = jfx(x, y)dcD D平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F =Fx,Fy,Fz，其中:(x,y)xd 二Fx - f M 3，D/ 2 2 2 2(x y a )2柱面坐标和球面坐标：(X, y)yd二Fy - f I I 3，D / 2丄 2丄 2行(x y a )2(x, y)xdcFz=-fa 3D/2 2 2“(x y a )2x = rcos9柱面坐标：t y=rsin 0,z = z!

16、 f(x, y,z)dxdydz 川 F(rj,z)rdrd Mz, Q Q其中：F(rj,z) =f (r cosQ r sin日，z)|x = r sin : cos球面坐标：y 二rsinsin v, dv 二 rdrsindr 二 r2sin drd dz = r cos ：2 兀 JT r(Q8f (x, y,z)dxdydz 二 F(r, , v)r2sin drd dd d F (r, :)r2 sin dr0 0 0111重心： x= iiixdv, iiiypv, iiizdv, 其中 M 二x- ;?dvM d M 5 M五 五转动惯量：I x = (y2 z2)dv, I

17、 y = (x2 z2)dv, I z = (x2 y2)dvQ Q Q曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)： 设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：丿乂-),伴兰t兰B),则：,y= (t)x= tP ; .f(x,y)ds 二 f (t)? (t)h ： 2(tK 2(t)dt (： ： ：) 特殊情况:L 、一第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为P( x,y )dx Q(x,y )dyL两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式： (二_D CX标的曲线积分)：二，则：= -(t)P=jp,(t)r: (t) q(t)r- (t)dt a系：Pdx 亠 Qdy =

18、 (P cos :-l 的方向角。亠 Q cos |.：) ds，其中:.和分别为当 P - _y,Q =x,即:平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域;土)dxdy = Pdx Qdy訓 L卫一兰=2时，得到；x :y无关的条件：格林公式:D的面积:2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且=-Pdx - QdyL1二 dxdy xdy ydx2 L二=。注意奇点，如；:x ：y(0,0)，应减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积注意方向相反!在 卫= 上时， Pdx - Qdy才是二元函数 u (x , y)的全微分，其中：；:x : y(x,y)u(x,y) =

19、P ( x, y) dx Q ( x, y )dy，通常设 x0 = y 0 = 0。(X。，yo)曲面积分：对面积的曲面积分： J/ f (x, y, z)ds = JJ f x, y,z(x, y) (1 + z；(x, y) (x, y)dxdy为 D xy对坐标的曲面积分：11 P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy，其中: z号;号;R(x, y, z)dxdy = Rx, y,z(x, y)dxdy，取曲面的上侧时取正 瓦 Dxy取曲面的前侧时取正!)P(x, y, z)dydz 二 Px(y,z), y,zdydz，送 DyzI iQ

20、(x, y, z)dzdx 二 Qx, y(z,x), zdzdx，取曲面的右侧时取正 号。Z D；两类曲面积分之间的关 系：iiPdydz - Qdzdx - Rdxdy = (Pcos工 Qcos ： Rcos )dsz z高斯公式：FP EQ cRiii ( )dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 11 (Pcos-八 Qcos ： Rcos )ds门：x :y z 1时收敛幕级数:1 x x2x3 亠 -xn对于级数2(3)a0 a1x - a2x 川川 anx数轴上都收敛，则必存在R,使/xc1时，收敛于 1 -x_1时，发散，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全:R时收敛-

21、R时发散二R时不定，其中R称为收敛半径。求收敛半径的方法：设函数展开成幕级数:二，其中an,；? - 0时，R 二丄/ 戸an，是的系数，则 20时，Rhf- :时，R=0函数展开成泰勒级数:f(x) = f(xo)(x-xo)今(x-x。)2(n)(xo)x0 =0时即为麦克劳林公式：f (x)二 f (0) f (0)x -x2 血 川 f xn2! n!n些函数展开成幕级数:(n 1),余项：Rn=f ( 2(x-x0)n s f (x )可以展开成泰勒级数的 充要条件是：limRn=0(n +1)! mpc(1 :： x : 1)丄 m 丄 丄m( m 一1) 2(1 X)=1 mx 七一+ 十m(m -1)(m -n +1.十n!-:：:：X -2 )3 5x , x sin x = x -3! 5!欧拉公式：n 1亠(_ 1 ) n_x (2n 1)!ix . ixe +e cos x 二ixe cos x i sin x2ix -ixe -e sin x = . 2三角级数: