届新课标高考数学理大一轮复习精品讲义集合与常用逻辑用语.docx

届新课标高考数学理大一轮复习精品讲义集合与常用逻辑用语.docx

《届新课标高考数学理大一轮复习精品讲义集合与常用逻辑用语.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届新课标高考数学理大一轮复习精品讲义集合与常用逻辑用语.docx（59页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届新课标高考数学理大一轮复习精品讲义集合与常用逻辑用语

一、重视教材习题的母题功能

你知道高考题是怎样命制的吗？

看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？

编写本讲的目的，我们旨在提醒您：

一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．

在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．

教材这样练

《人教A版·必修4》P119B组

第1题第（4）小题．

已知D，E，F分别是△ABC

的边BC，CA，AB的中点，且

＝a，

＝b，

＝c，则①

＝c－b；②

＝a＋b；③

＝－a＋b；④

＋

＋

＝0中正确的等式的个数为（　　）

A．1　B．2

C．3D．4

高考这样变

（2014·新课标全国卷Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则

＋

＝（　　）

A．

B.

C．

D.

教材这样练

《人教A版·选修2－1》P69例4.

斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

高考这样变

（2014·新课标全国卷Ⅱ）设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝（　　）

A.

B．6

C．12D．7

高考这样变

（2014·新课标全国卷Ⅱ）数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.

教材这样练

《人教B版·必修5》P30练习A.

写出下面数列{an}的前5项：

1．a1＝2，an＝an－1（n＝2,3,4,…）；

2．a1＝3，an＝an－1＋2（n＝2,3,4，…）；

3．a1＝1，an＝an－1＋（n＝2,3,4，…）．

教材这样练

《人教A版·必修5》P14例5.

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD（精确到1m）．

高考这样变

（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.

高考这样变

（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）单调递减，f

（2）＝0．若f（x－1）>0，则x的取值范围是________．

教材这样练

《人教A版·必修1》P39B组第3题．

已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，＋∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断．

总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．

为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．

二、重视经典题目的发散思维

本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．

多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．

本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：

（一）经典“题根”的发散

茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．

示例：

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的方法及注意点

（1）知和求积的最值：

求解此类问题的关键：

明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：

①具备条件——正数；②验证等号成立．

（2）知积求和的最值：

明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．

（3）构造不等式求最值：

在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．

（4）利用基本不等式求最值时应注意：

①非零的各数（或式）均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.

本题的条件不变，则的最小值为________.

已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．

已知a＞0，b＞0，a＋b＝1,则＋的最小值为________．

[解析]　∵a＞0,b＞0,a＋b＝1,

∴＋＝＋＝2＋＋

≥2＋2＝4,即＋的最小值为4,当且仅当a＝b＝时等号成立.

[答案]　4

本题的条件和结论互换，即：

已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________.

本题的条件变为：

已知a＞0，b＞0,

c＞0，

且a＋b＋c＝1，则＋＋的最

小值为________.

若本题条件变为：

已知a>0，b>0，a＋2b＝3，

则＋的最小值为________.

（二）考查角度的发散

高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！

角度二：

比较两个函数值或两个自变量的大小

2．已知函数f（x）＝log2x＋

，若x1∈（1,2），x2∈（2，＋∞），则（　　）

A．f（x1）<0，f（x2）<0B．f（x1）<0，f（x2）>0

C．f（x1）>0，f（x2）<0D．f（x1）>0，f（x2）>0

示例：

函数单调性的应用

高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．

函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：

（1）求函数的值域或最值；

（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；

（3）解函数不等式；

（4）利用单调性求参数的取值范围或值.

角度一、角度二是对函数单调性直接应用的考查

角度三：

解函数不等式

3．f（x）是定义在（0,＋∞）上

的单调增函数,满足f（xy）

＝f（x）＋f（y）,f（3）＝1,当f（x）

＋f（x－8）≤2时,x的取值

范围是（　　）

A．（8，＋∞）B．（8,9]

C．[8,9]D．（0,8）

角度一：

求函数的值域或最值

1．函数f（x）＝

的最大值为________.

利用函数单调性转变为不等式，体现知识间的交汇

角度四：

利用单调性求参数的取值范围或值

4．已知函数f（x）＝

满足对任意的实数x1≠x2,都有

<0成立,则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，2）　B.

　C．（－∞，2]　D.

由单调性求参数范围体现函数单调性的深化

[类题通法]　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

（1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

（3）利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

（4）利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

第一章　集合与常用逻辑用语

第一节

集__合

基础盘查一　元素与集合

（一）循纲忆知

1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

（二）小题查验

1．判断正误

（1）一个集合中可以找到两个相同的元素（　　）

（2）集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合（　　）

（3）a在集合A中，可用符号表示为a⊆A（　　）

（4）零不属于自然数集（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2．（人教A版教材练习）选择适当的方法表示下列集合：

（1）由小于8的所有素数组成的集合；

（2）不等式4x－5<3的解集．

答案：

（1）{2,3,5,7}　

（2）{x|x<2}

基础盘查二　集合间的基本关系

（一）循纲忆知

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．

（二）小题查验

1．判断正误

（1）若A＝B，则A⊆B（　　）

（2）若AB，则A⊆B且A≠B（　　）

（3）N*NZ（　　）

（4）空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集（　　）

答案：

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）×

2．（人教A版教材例题改编）集合{a，b}的所有子集为________________．

答案：

{a}，{b}，{a，b}，∅

基础盘查三　集合的基本运算

（一）循纲忆知

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

3．能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算．

（二）小题查验

1．判断正误

（1）若A∩B＝A∩C，则B＝C（　　）

（2）集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素（　　）

（3）并集定义中的“或”能改为“和”（　　）

（4）A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

2．（人教A版教材习题改编）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩（∁UB）＝________.

答案：

{2,4}

3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

答案：

{x|x≤2或x≥10}

|（基础送分型考点——自主练透）

[必备知识]

1．元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）集合中元素与集合的关系：

元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、Venn图．

2．常见数集及其表示符号

自然数集用N表示，正整数集用N*或N＋表示，整数集用Z表示，有理数集用Q表示，实数集用R表示．

[提醒]　解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

[题组练透]

1．（2015·洛阳统考）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　　　B．6

C．8D．9

解析：

选D　集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．

2．现有三个实数的集合，既可以表示为

，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则a2015＋b2015＝________.

解析：

由已知，得

＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2015＋b2015＝（－1）2015＝－1.

答案：

－1

3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：

因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

此时当m＝－

时，m＋2＝

≠3符合题意．

所以m＝－

.

答案：

－

[类题通法]

1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（组）进行求解，要注意检验是否满足互异性．

|（重点保分型考点——师生共研）

[必备知识]

（1）子集：

对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B（或B⊇A）；

（2）真子集：

若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则AB（或BA）；

（3）性质：

∅⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

（4）集合相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

[提醒]　写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

[典题例析]

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选D　用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．

由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2．已知集合A＝{x|x2－2015x＋2014＜0}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．

解析：

由x2－2015x＋2014＜0，

解得1＜x＜2014，故A＝{x|1＜x＜2014}．

而B＝{x|x＜m}，由于A⊆B，如图所示，则m≥2014.

答案：

[2014，＋∞）

[类题通法]

（1）已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．

（2）当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅的情况！

[演练冲关]

1．（2015·中原名校联盟一模）设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.

解析：

由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x＝－2或x＝0.

答案：

0或－2

2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

解析：

当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，

则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2＜m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.

答案：

（－∞，4]

|（题点多变型考点——全面发掘）

[必备知识]

1．集合的并、交、补运算：

并集：

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；

交集：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；

补集：

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}；U为全集，∁UA表示集合A相对于全集U的补集．

2．集合的运算性质

（1）A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；

（2）A∩A＝A，A∩∅＝∅；

（3）A∪A＝A，A∪∅＝A；

（4）A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U（∁UA）＝A.

[提醒]　Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

[一题多变]

[典型母题]

已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝　　　　.

[解析]　y＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，,y＝－x2＋2x＋6＝－（x－1）2＋7≤7，,∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，,故A∩B＝{y|－1≤y≤7}.

[答案]　{y|－1≤y≤7}

[题点发散1]　若集合A变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B.

解：

因A中元素是函数自变量，则A＝R，

而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．

[题点发散2]　若集合A、B中元素都为整数，求A∩B.

解：

A∩B⊆{y|－1≤y≤7}，又因为y∈Z，

故A∩B＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．

[题点发散3]　若集合A、B不变，试求∁RA∪∁RB.

解：

∵A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，

∴∁RA＝{y|y＜－1}，∁RB＝{y|y＞7}，

故∁RA∪∁RB＝{y|y＜－1或y＞7}．

[题点发散4]　若集合A、B变为：

A＝{（x，y）|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.

解：

由

⇒x2－2x－3＝0，

解得x＝3或x＝－1.

于是，

或

故A∩B＝{（3,3），（－1,3）}．

[类题通法]

解集合运算问题应注意以下三点：

（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．

（2）对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．

（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩（Venn）图．

|（重点保分型考点——师生共研）

[典题例析]

1．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则AB为（　　）

A．{x|0

C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}

解析：

选D　因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.

2.已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：

对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与

两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　）

A．{1,3,4}为“权集”

B．{1,2,3,6}为“权集”

C．“权集”中元素可以有0

D．“权集”中一定有元素1

解析：

选B　由于3×4与

均不属于数集{1,3,4}，故A不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，

，

，

，

，

，

都属于数集{1,2,3,6}，故B正确，由“权集”的定义可知

需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误，选B.

[类题通法]

解决集合创新型问题的方法

（1）紧扣新定义：

首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质：

集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

[演练冲关]

1．若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　B．3

C．7D．31

解析：

选B　具有伙伴关系的元素组是－1；

，2，

所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

2．对于任意两个正整数m，n，定义运算（用⊕表示运算符号）：

当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{（a，b）|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．

解析：

m，n同奇同偶时有11组：

（1,11），（2,10），…，（11,1）；m，n一奇一偶时有4组：

（1,12），（12,1），（3,4），（4,3），所以集合M的元素共有15个．

答案：

15

一、选择题

1．（2015·广州测试）已知集合A＝

，则集合A中的元素个数为（　　）

A．2　　　　　　　　　　　　B．3

C．4D．5

解析：

选C　∵

∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，

故集合A中的元素个数为4，故选C.

2．（2014·江西高考）设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．（－3,0）B．（－3，－1）

C．（－3，－1]D．（－3,3）

解析：

选C　由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．

∴A∩（∁RB）＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．

3．已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．ABB．BA

C．A⊆BD．B⊆A

解析：

选B　由题意知A＝{x|y＝

}，∴A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，∴BA，故选B.

4．设函数f（x）＝lg（1－x2），集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．[－1,0]B．（－1,0）

C．（－∞，－1）∪[0,1）D．（－∞，－1]∪（0,1）

解析：

选D　因为A＝{x|y＝f（x）}＝{x|1－x2＞0}＝{x|－1＜x＜1}，则u＝1－x2∈（0,1]，

所以B＝{y|y＝f（x）}＝{y|y≤0}，

A∪B＝（－∞，1），A∩B＝（－1,0]，

故图中阴影部分表示的集合为（－∞，－1]∪（0,1），选D.

5．（2015·西安一模）设集