苏北四市高三第一次质量检测数学试题及答案.docx
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苏北四市高三第一次质量检测数学试题及答案
徐州市2013—2014学年度高三年级第一次摸底考试
数学试题
数学Ⅰ
（本部分满分160分，时间120分钟）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分，
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试
卷及答题卡的规定位置。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它
位置作答一律无效。
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。
参考公式：
锥体的体积公式：
V
1
Sh，其中
S是锥体的底面面积，
h是高．
3
一、填空题：
本题共
14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上
．
．．．．
1．设复数z1
2
i,z2m
i（m
R，i为虚数单位）,若z1z2为实数,则m的值为▲
．
2．已知集合A
{2
a,a}，B
{
1,1,3}，且A
B，则实数a的值是
▲
．
3．某林场有树苗
3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的
方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为
▲
．
4．在
ABC的边AB上随机取一点
P,记
CAP和
CBP的面积分别为
S1
和S2
，则
S1
2S2的概率是
▲
．
开始
x2
y2
5．已知双曲线
2x
y
0，
a
2
21的一条渐近线方程为
S
0,n
1
b
则该双曲线的离心率为
▲
．
6．右图是一个算法流程图，则输出
S的值是
▲
．
n
n
2
7．函数f（x）
lg（2x
3x）的定义域为
▲
．
8．若正三棱锥的底面边长为
2，侧棱长为1，则此三棱锥
S
S
n
的体积为
▲
．
n
10
Y
9．在△ABC中，已知AB
3，A
120o，且
ABC的面积
N
为153，则BC边长为
▲
．
输出S
4
结束
10．已知函数
f（x）
xx2
，则不等式f（2
x）≤f
（1）的
解集为▲．（第6题图）
11．已知函数
f（x）2sin（2
x
）（
0）的最大值与最小正周期相同，则函数
f（x）在
4
[1，1]上的单调增区间为
▲
．
12．设等比数列{an}的前n项和为
Sn，若a4
，a3
，a5
成等差数列，且Sk33，Sk1
63，
其中k
N，则Sk
2的值为
▲
．
13．在平面四边形
ABCD中，已知
AB
3，DC
2
，点E，F分别在边AD，BC上，且
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
AD
3AE，BC
3BF．若向量AB与DC的夹角为60o，则ABEF的值为
▲
．
14．在平面直角坐标系
xOy中，若动点P（a,b）到两直线l1：
yx和l2：
yx
2的距离
之和为2
2，则a
2
b
2
的最大值为
▲
．
二、解答题：
本大题共
6小题，共计90
分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分
14分）
已知向量a
（cos
sin
），b（2,
1）．
（1）若a
b，求sin
cos
的值；
sin
cos
（2）若a
b
2，
（0,），求sin（
）的值．
2
4
16．如图，在三棱锥PABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．
（1）求证：
PA//平面BEF；
（2）若平面PAB平面ABC，PBBC，求证：
BCPA．
P
AB
E
F
C
（第16题图）
17．（本小题满分14分）
某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同
心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其
中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（弧度）．
（1）求关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线
部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的
函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
O
（第17题图）
18．已知ABC的三个顶点A（1,0），B（1,0），C（3,2），其外接圆为eH．
（1）
若直线l过点C，且被eH截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）
对于线段BD上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点
M，N，
使得点M是点P，N的中点，求eC的半径r的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知函数
3
5
2
．
f（x）x
x
axb（a，b为常数），其图象是曲线C
2
（1
）当a
2时，求函数
f（x）的单调减区间；
（2
）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）
x0与f（x0）0同
时成立，求实数
b的取值范围；
（3
）已知点A为曲线
C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，
在点B处作曲线
C的切线l2，设切线l1
，l2的斜率分别为k1，k2．问：
是否存在
常数
，使得k2
k1？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分
16分）
已知数列{
a
}
满足
a
xa3xS
SS
3n
2
2（n≥2,nN*）S
{a}
n
1
，2
，n1
nn1
，n是数列
n
的前n项和．
（1）
若数列{an}为等差数列．
（ⅰ）求数列的通项an；
（ⅱ）若数列{bn}满足bn2an，数列{cn}满足cnt2bn2tbn1
bn，试比较数列{bn}
前n项和Bn与{cn}前n项和Tn的大小；
（2）
若对任意nN*，anan1恒成立，求实数x的取值范围．
市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试
数学试题
数学Ⅱ（附加题）
注意事项
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。
本卷满分为40分，考
试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答．若多做，则按作答的前两题评分
．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
．
．
A．（选修4—1：
几何证明选讲）（本小题满分
10分）
如图，锐角ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D
与边AC的切点．若C
50o，求DEF的度数．
A
E
F
D
B．（选修4—2：
矩阵与变换）（本小题满分10
分）
B
（第21（A）图）
C
a
0
（其中a＞0，b＞0），若曲线C：
x2
+y2
=1在矩阵M所对应的变
设矩阵M
b
0
换作用下得到曲线
C：
x2
y2
1，求a+b的值．
4
C．（选修4—4：
坐标系与参数方程
）（本小题满分10分）
x
2
t，
在平面直角坐标系
xOy中，已知直线l的参数方程是
2
（t为参数）；以O
2
y
t
42
2
为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，
圆C的极坐标方程为
2cos（
）．由直
4
线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
D．（选修4—5：
不等式证明选讲）（本小题满分
10分）
2
2
2
1
1
12
≥63．
已知a,b,c均为正数,证明：
a
b
c
（
b
）
a
c
【必做题】第22题、第23题，每题
10分，共计
20分．请在答题卡指定区域内作答，解
．．．．．．．
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．某品牌汽车4S店经销A，B，C三种排量的汽车，其中A，B，C三种排量的汽
车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车
型等可能．
求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；
（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望．
uuur
uuur
uuur
23．已知点A（1,0），F（1,0），动点P满足AP
AF
2|FP|．
（二）求动点P的轨迹C的方程；
（2）在直线
l：
y2x2上取一点
Q，过点
Q作轨迹
C的两条切线，切点分别为
M
，
N．问：
是否存在点
Q，使得直线
MN
//l？
若存在，求出点
Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试
数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题：
1．2
2．1
3．20
1
5．5
6．25
7．（,0）
4．
3
8．1
9．7
10．
1,
11．[1,3]
12．129
13．7
14．18
6
4
4
二、解答题：
15．
（1）由a
b可知，a
b
2cos
sin0，所以sin
2cos，
2分
所
以
sin
cos
2cos
cos
1．
6分
sin
cos
2cos
cos
3
（2）由a
b（cos
2,sin
1）可得，
ab
（cos
2）2
（sin
1）2
6
4cos
2sin
2
1
2cos
sin
0
10
3
sin
cos2
sin2
1
（0,）
5
2
4
cos
5
12
sin（）
2
（sincos）
2
（
3
4
）
7214
4
2
2
5
5
10
161
PACE
FPCAC
PA//EF
PABEFEFBEF
PA//
BEF
6
2PABPPDABD
PAB
ABCPABI
ABC
AB
PD
PAB
PD
ABC
8
BC
ABC
PDBC
10
PB
BCPDIPB
PPD
PAB
PB
PAB
BC
PAB
12
PA
PAB
BCPA14
17
（1）
3010x2（10x）
10
2x
4
10
x
（2）
1
（102
x2）
（5
x）（10x）
x2
5x
50,（0
x10）7
2
9
10
x
8（10
x）170
10x
9
y=
x2
5x
50
=
x2
5x
50
11
17010x
10（17
x）
t
17
xy
39
1
（t
324
）
3t=18
10
10
t
10
x1,
12
11
x
14
（y
）
18
（1）AB
x
0
BC
x
y
3
0
H（0,3）
12
32
10
eH
x2
（y3）2
10
4
H
ldleH
2
d
（
10）2
1
3
lx
x
3
6
lx
y2k（x
3）
3k
1
3
k
4
1k2
3
l
x
3
4x
3y
6
0
8
（2）BH3x
y
3
0P（m,n）（0
m
1）,N（x,y）
MPNM（mx,n
y）
2
2
M,NreC
（x3）2
（y
2）2
r2,
（mx
3）2
（ny
2）2
r2.
2
2
（x3）2
（y2）2
r2,
10
（xm6）2
（yn4）2
4r2.
x,y（3,2）r（6m,4
n）
2r
（2rr）2
（3
6
m）2
（2
4n）2
（r2r）2
12
3mn－30
r
2≤10m
212m
10≤9r
2m
[01]]
f
m
2
10
[0
3210]
10m12m
1][5
r
2≤32
5
10≤9r2
15
BHC（m
3）2
（33m2）2
r2
m[01]
r
32.
2
5
eC
r
[
10
410
）
16
3
5
（
34）
19
（1）
a
2
f
（x）
3x2
5x
2
（3x
1）（x
2）.
2
f
（x）<0
2
x
1
3
f（x）
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