初三锐角三角函数知识点总结典型例题练习精选解析.docx
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初三锐角三角函数知识点总结典型例题练习精选解析
三角函数专项复习
锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理:
直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B):
定义
表达式
取值范围
关系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
0
1
1
0
0
1
-
5、正弦、余弦的增减性:
当0°≤≤90°时,sin随的增大而增大,cos随的增大而减小。
6、正切的增减性:
当0°<<90°时,tan随的增大而增大,
7、解直角三角形的定义:
已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
依据:
①边的关系:
;②角的关系:
A+B=90°;③边角关系:
三角函数的定义。
(注意:
尽量避免使用中间数据和除法)
8、应用举例:
(1)仰角:
视线在水平线上方的角;俯角:
视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。
用字母表示,即。
坡度一般写成的形式,如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角),那么。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:
45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:
北偏东45°(东北方向),南偏东45°(东南方向),
南偏西45°(西南方向),北偏西45°(西北方向)。
类型一:
直角三角形求值
例1.已知Rt△ABC中,求AC、AB和cosB.
例2.已知:
如图,⊙O的半径OA=16cm,OC⊥AB于C点,
求:
AB及OC的长.
例3.已知是锐角,,求,的值
对应训练:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=1,AB=,则tanA的值为
A.B.C.D.2
2.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于().
A.B.C.D.
类型二.利用角度转化求值:
例1.已知:
如图,Rt△ABC中,∠C=90°.D是AC边上一点,DE⊥AB于E点.
DE∶AE=1∶2.
求:
sinB、cosB、tanB.
例2.如图,直径为10的⊙A经过点和点,与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为()
A.B.C.D.
对应训练:
3.如图,是的外接圆,是的直径,若的半径为,,则的值是()
A.B.C.D.
4.如图4,沿折叠矩形纸片,使点落在边的点处.已知,,AB=8,则的值为()
A.B.C.D.
类型三.化斜三角形为直角三角形
例1如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长.
例2.已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5.
求:
sin∠ABC的值.
对应训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)
2.已知:
如图,△ABC中,AB=9,BC=6,△ABC的面积等于9,求sinB.
3.△ABC中,∠A=60°,AB=6cm,AC=4cm,则△ABC的面积是
A.2cm2B.4cm2
C.6cm2D.12cm2
类型四:
利用网格构造直角三角形
例1如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为( )
A.B.C.D.
对应训练:
1.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_______.
2.正方形网格中,如图放置,则tan的值是()
A.B. C.D.2
类型五:
取特殊角三角函数的值
1).计算:
.
2)计算:
.
3)计算:
3-1+(2π-1)0-tan30°-tan45°
4).计算:
.
5).计算:
;
类型六:
解直角三角形的实际应用
例1.如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是( )
A.
200米
B.
200米
C.
220米
D.
100()米
例2.已知:
如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°,∠DAE=45°.点D到地面的垂直距离,求点B到地面的垂直距离BC.
例3如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD=30m.
从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°,
测得山顶B的仰角∠DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长.
对应训练:
1..如图,小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.
2.如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为( )
A.
10米
B.
10米
C.
20米
D.
米
类型七:
三角函数与圆:
例1.如图,直径为10的⊙A经过点和点,与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为()
A.B.C.D.
例2.已知:
在⊙O中,AB是直径,CB是⊙O的切线,连接AC与⊙O交于点D,
(1)求证:
∠AOD=2∠C
(2)若AD=8,tanC=,求⊙O的半径。
对应训练:
1.如图,DE是⊙O的直径,CE与⊙O相切,E为切点.连接CD交⊙O于点B,在EC上取一个点F,使EF=BF.
(1)求证:
BF是⊙O的切线;
(2)若,DE=9,求BF的长.
作业:
1.已知,则锐角A的度数是()
A.B.C.D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=1,AB=,则tanA的值为()
A.B.C.D.2
3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于().
A.B.C.D.
4.若,则锐角=.
5.将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tanα的值是
A. B.2 C. D.
6.如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若OB长为10,,则AB的长是
A.20B.16C.12D.8
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果cosA=,那么tanA的值是()
A.B.C.D.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=∠ADC=90°,若sinA=,则cos∠BCD的值为 .
9.计算:
10.计算.
11.计算:
.
12.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=,b=.解这个直角三角形
13.已知:
在⊙O中,AB是直径,CB是⊙O的切线,连接AC与⊙O交于点D,
(3)求证:
∠AOD=2∠C
(4)若AD=8,tanC=,求⊙O的半径。
14.如图,某同学在楼房的处测得荷塘的一端
处的俯角为,荷塘另一端处、在
同一条直线上,已知米,米,
求荷塘宽为多少米?
(结果保留根号)
15.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
(1)B处距离灯塔P有多远?
(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上,距离灯塔200海里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险,并说明理由.