中考数学一轮复习第17课等腰三角形导学案.docx

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中考数学一轮复习第17课等腰三角形导学案

等腰三角形

【考点梳理】：

等腰三角形的性质

有关定理及其推论

定理：

等腰三角形有两边相等；

定理：

等腰三角形的两个底角相等

推论1：

等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：

等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

定理及推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两

角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。

等腰三角形的判定

有关的定理及其推论

定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等

推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重

要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问

题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。

【思想方法】

方程思想，分类讨论

【考点一】：

等腰三角形的性质与判定

【例题赏析】（2015，广西玉林，6，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）

　A．AD=AEB．DB=ECC．∠ADE=∠CD．DE=BC

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

专题：

计算题．

分析：

由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．

解答：

解：

∵DE∥BC，

∴

=

，∠ADE=∠B，

∵AB=AC，

∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，

∴∠ADE=∠C，

而DE不一定等于BC，

故选D．

点评：

此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．

【考点二】：

等边三角形的性质与判定

【例题赏析】

（1）（2015•青海西宁第20题2分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D1，再将△BEF折叠，使点B于点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BDn=　

　．

考点：

翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．.

专题：

规律型．

分析：

根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可得到结果．

解答：

解：

∵△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，

∴BD=

，

∵△BEF是边长为等边三角形，

∴BD1=

，

∴BD2=

，

…

∴BDn=

，

故答案为：

．

点评：

本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出规律是解题的关键．

（2）（2015•湖北十堰，第14题3分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当

=　

　时，四边形ADFE是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定；等边三角形的性质．

分析：

由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，再由一对直角相等，及AE=AB，利用AAS即可得证△ABC≌△EAF；由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一组对边平行且相等，即可得证．

解答：

解：

当

=

时，四边形ADFE是平行四边形．

理由：

∵

=

，

∴∠CAB=30°，

∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，

∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，

∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，

∴∠FEA=∠BAC，

在△ABC和△EAF中，

，

∴△ABC≌△EAF（AAS）；

∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，

∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，

∵EF⊥AB，

∴AD∥EF，

∵△ABC≌△EAF，

∴EF=AC=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．

故答案为：

．

点评：

此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键

【考点三】：

线段垂直平分线的性质与判定

【例题赏析】

（1）（2015•四川遂宁第8题4分）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

　A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm

考点：

线段垂直平分线的性质．.

分析：

首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．

解答：

解：

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴AN=BN，

∵△BCN的周长是7cm，

∴BN+NC+BC=7（cm），

∴AN+NC+BC=7（cm），

∵AN+NC=AC，

∴AC+BC=7（cm），

又∵AC=4cm，

∴BC=7﹣4=3（cm）．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

（2）（2015•湖北,第7题3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（　　）

　A．

B．1C．

D．2

考点：

含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．

分析：

先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1．

解答：

解：

∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，

∴BE=CE=2，

∴∠B=∠DCE=30°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．

在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，

∴AE=CE=1．

故选B．

点评：

本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键．

【考点四】：

坐标系中的等腰三角形

【例题赏析】（2015•四川攀枝花第14题4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）　．

考点：

矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．

专题：

分类讨论．

分析：

由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：

①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．

解答：

解：

∵四边形OABC是矩形，

∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，

∵D为OA的中点，

∴OD=AD=5，

①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，

∴点P的坐标为：

（2.5，4）；

②当OP=OD时，如图1所示：

则OP=OD=5，PC=

=3，

∴点P的坐标为：

（3，4）；

③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，

则∠PED=90°，DE=

=3；

分两种情况：

当E在D的左侧时，如图2所示：

OE=5﹣3=2，

∴点P的坐标为：

（2，4）；

当E在D的右侧时，如图3所示：

OE=5+3=8，

∴点P的坐标为：

（8，4）；

综上所述：

点P的坐标为：

（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；

故答案为：

（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．

点评：

本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．

【考点五】：

等腰三角形的综合运用

【例题赏析】（2015•曲靖23题10分）如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．.

分析：

首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．

解答：

解：

线段OD、ON、DM之间的数量关系是：

OD=DM+ON．

证明：

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠DOC=∠C0B，

又∵CD∥OB，

∴∠DCO=∠C0B，

∴∠DOC=∠DC0，

∴OD=CD=DM+CM，

∵E是线段OC的中点，

∴CE=OE，

∵CD∥OB，

∴

，

∴CM=ON，

又∵OD=DM+CM，

∴OD=DM+ON．

点评：

（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①定理1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：

两直线平行，同位角相等．②定理2：

两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：

两直线平行，同旁内角互补．③定理3：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：

两直线平行，内错角相等．

（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

【真题专练】

1.（2015•丹东，第6题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

　A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°

2.（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：

OA=1：

，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=　

　．

3.（2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=　．

5.（2015•湖北,第7题3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（　　）

　A．

B．1C．

D．2

6.（2015年陕西省,6,3分）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

7.（2015•湖南湘西州，第16题，4分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）

　A．36°B．60°C．72°D．108°

8.（2015•昆明第14题，3分）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4

，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为　　．

9.（2015•宜昌，第18题7分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：

以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．

（1）求证：

AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

10.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

（2）求证：

BE=CD，BE⊥CD．

【真题演练参考答案】

1.（2015•丹东，第6题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

　A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°

考点：

等腰三角形的性质．

分析：

先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．

解答：

解：

∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ACE=∠A+∠ABC，

即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，

∴2∠1=2∠3+∠A，

∵∠1=∠3+∠D，

∴∠D=∠A=×30°=15°．

故选A．

点评：

本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．

2.（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：

OA=1：

，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=　105°　．

考点：

旋转的性质；等腰直角三角形．

专题：

计算题．

分析：

连接OQ，由旋转的性质可知：

△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．

解答：

解：

连接OQ，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠BAC=∠A=45°，

由旋转的性质可知：

△AQC≌△BOC，

∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，

∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，

∴∠OQC=45°，

∵BO：

OA=1：

，

设BO=1，OA=

，

∴AQ=

，

∴∠AQO=60°，

∴∠AGC=105°．

点评：

本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．

3.（2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=　9　．

考点：

等腰三角形的性质．

分析：

根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．

解答：

解：

由题意可知：

AO=A1A，A1A=A2A1，…，

则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，

∵∠BOC=9°，

∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，

∴9°n＜90°，

解得n＜10．

故答案为：

9．

点评：

考查了等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

4．（2015•衡阳,第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

　A．11B．16C．17D．16或17

考点：

等腰三角形的性质；三角形三边关系．

专题：

分类讨论．

分析：

分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．

解答：

解：

①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，

能组成三角形，

周长=6+6+5=17；

②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，

能组成三角形，

周长=6+5+5=16．

综上所述，三角形的周长为16或17．

故选D．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．

5.（2015•湖北,第7题3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（　　）

　A．

B．1C．

D．2

考点：

含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．

分析：

先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1．

解答：

解：

∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，

∴BE=CE=2，

∴∠B=∠DCE=30°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．

在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，

∴AE=CE=1．

故选B．

点评：

本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键．

6.（2015年陕西省,6,3分）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

考点：

等腰三角形的判定与性质．

分析：

根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．

解答：

：

∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形；

在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，

∴∠C=∠BDC=72°，

∴BD=BC，

∴△BCD是等腰三角形；

∵BE=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE是等腰三角形；

∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，

∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，

∴∠A=∠ADE，

∴DE=AE，

∴△ADE是等腰三角形；

∴图中的等腰三角形有5个．

故选D．

点评：

此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．

7.（2015•湖南湘西州，第16题，4分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）

　A．36°B．60°C．72°D．108°

考点：

等腰三角形的性质．.

分析：

根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．

解答：

解：

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，

∴∠1=∠A+∠ABD=72°，

故选：

C．

点评：

本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．

8.（2015•昆明第14题，3分）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4

，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为　

　．

考点：

等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．

分析：

根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．

解答：

解：

如图所示：

，

由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4

，得

AD=BE=

BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．

由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．

由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°

由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．

由GE为边作等边三角形GEF，得

FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，

△MHE是等边三角形；

S△ABC=AC•BE=AC×EH×3

EH=BE=×6=2．

由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，

由∠IBG=∠BIG=30