初中数学优秀教学设计从均值不等式一节的教学谈学生学习兴趣的培养.docx

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初中数学优秀教学设计从均值不等式一节的教学谈学生学习兴趣的培养

甘肃渭源一中马学峰

【摘要】兴趣是学习活动中重要的动力，是学习获得良好效果的重要条件.因此，数学教师在教学过程中应注意以数学的广泛应用培养学生学习数学的兴趣.求函数的最值问题，在历年的高考试题中多次考查到，是高中学生必须掌握的技能和主要解题方法之一.本文从六个方面谈了在课堂教学中如何培养学生学习的兴趣.

【关键词】均值不等式；兴趣；培养

培养学习兴趣对学生来说是非常重要的，有了学习兴趣，学习就不再是枯燥的事情，学习效率就会提高，有句话说“兴趣和爱好是最好的老师”说得也正是这个道理.那么，怎样才能培养学习兴趣呢？

下面就《均值不等式》一节教学浅谈感受和体会.

一、理解数学内容的重要性，明确学习目的，目标明则兴趣浓

本节教学目的是：

①正确掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；②分析均值不等式的结构特点，运用均值不等式证明不等式、求某些函数最值；③能熟练应用不等式解决一些实际问题.

二、注重探索解题技巧，通过一题多变、一题多解来培养学生学习数学的兴趣

例1已知求的最大值.

解法一：

因为

又

当且仅当时等号成立，即的最小值为.

解法二：

（以下同解法一）

评注：

“1”的代换；拆项.

例2求函数的最大值.

方法一：

先求函数的定义域为

（1）若，则，

于是

当且仅当（正值舍），所以当时.

（2）若，则，当且仅当

时.

评注：

题目只要最大值，可方法一利用分类讨论思想将最大值和最小值都求出来了.

方法二：

（应用）

解：

当且仅当即时.

方法三：

（三角代换）因为的定义域为，所以可设，（或）于是（以下略）

探索解题技巧，好的解题方法不仅能事半功倍，而且还能促进对所学知识的融会贯通，伴随着巧解题目成功的喜悦，又必然激励学生去进一步攻克新的数学难关，使学生在“求技巧→兴趣→求技巧”的良性循环中对数学的爱好得到加强.

三、错中求真、歪打正着、创造感受成功的机会，以自我成功感，培养探究问题的直接兴趣

例1错解为：

又因为，所以.

错解分析：

在求的最小值时，两次利用了均值不等式，必须满足两个不等式要能同时取到，否则取不到最小值，而且无解，即两个不等式不能同时取，故取不到最小值，实际上不存在.事实上的最小值应怎样解呢？

于是给出解法一、二、三.

点评时教师不能一概而论，全盘否定，而是肯定合理成分，准确地剖析出部分同学错解的根源.同时积极鼓励学生思维闪光点，与学生探究思路，可能会起到“歪打正着”一题多解、一题多思、激起学生兴趣.

四、创建民主课堂，真正实现以学生为主体的课堂教学，提高学生的数学学习兴趣

例1要求学生在规定的时间内思考解决问题的方法，（体现以学生“参与”）.而这时趁次抓紧时间巡视，一边答疑，一边采集来自同学中的不同解法，并在头脑中迅速判断、筛选；对错解要查找“病因”，对正解要检验其合理性.由于自己和同学的“参与”有机的同步，不但对他们的“参与”起到一种督促、检查的作用，而且又丰富了自己在点评时的第一手材料.课前准备的解法是解法一和解法二，学生对“1”的代换并不熟悉，而是采用解法三：

将代入中整理得，再运用“判别式法”求解.还有个别同学运用解法四;将式子变形为，由于分母的最大值换得的最小值.

课堂教学应破除教师中心论，如果“以教论学”很有可能看不到学生另一种思路，而扼杀了他们“善于思考、敢于别解”的可贵精神，也不可能扩大我们的教学成果而产生出解法三和解法四.“以学论教”，把“教”的主导作用通过学生“学”的自觉性和积极性发挥出来，“教”应以激发学生的学习兴趣为目标.课堂教学多主张“老师少讲，学生多讲”，由老师引导、作适当的提示，由学生自己去发现.这样既活跃了课堂气氛，又使学生学会思维的方法，学到的知识也更灵活、牢固.小步走，让学生在学有所得的过程中获得成功的乐趣，激发学习兴趣，提高学习的自觉性和积极性.学习自觉性和积极性，固然可以通过思想教育来提高，但更有效的途径是通过培养兴趣来提高，兴趣是由成功激发出来的，学生如能在学习中不断获得成功，那么，多次成功带来的喜悦就会激发出学习的兴趣.

五、联系实际，以数学的广泛应用价值引起学生的兴趣

如何巧用均值不等式？

例3一段长为米篱笆围成了一边靠墙的矩形菜园.问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

分析问题：

师提问：

实际问题中函数的定义域如何求？

设长为，则宽为.于是的取值应为？

学生回答：

且

师：

引导学生如何使用均值不等式？

发现和为两个正变量且为定值.

解法一：

设长为，则宽为，于是面积.当且仅当时，面积最大，最大面积为，此时长为，宽为.

解法二：

设矩形菜园宽为，长为，则面积

因为

所以

当且仅当即时，矩形面积最大，最大面积为，此时长为，宽为.

解法三：

利用二次函数在给定的区间求最值的方法.

师生共同总结：

运用均值不等式求最值的步骤与方法：

1、列出目标函数，并求出其定义域.2、凑出均值不等式所需的三个条件：

一正、二定、三相等，三个条件缺一不可.3、为达到使用均值不等式的三个条件，往往通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段创造一个应用均值不等式的情境.

六、以课本例题为引子，拓展知识、提高兴趣

柯西不等式在新旧教材中有不少与不等式有关的试题，尽管教学大纲以及教材编写者初准不予考察学生对柯西不等式的掌握情况和应用能力，但应用柯西不等式却可使不等式的证明，有关问题的解答变得极为简捷，富于启迪思维，开发智能，开阔视野，激发兴趣.所谓柯西不等式：

，其中，取等号的起条件是.人教版数学第二册上第16页练习中第2题.求证此为柯西不等式的特例.

柯西不等式在不等式的证明和求代数式的值的范围及函数的最值中有着重要作用，下面举例说明.

例1可用柯西不等式来解：

当且仅当即又解得时取等号.

故当时，的最小值是.

因此在第二课堂教学活动中介绍柯西不等式及其应用很有必要.运用柯西不等式，证明其它不等式的关键在于构造两组数，并依照柯西不等式的形式探索.在不等式的证明和求函数最值问题中，柯西不等式都有着重要的作用，并注意运用中的顺用和逆用.

小升初数学模拟试卷

一、选择题

1．比

大而比

小的真分数有（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

2．商品甲的定价打九折后和商品乙的定价相等。

下面说法中不正确的是（）

A．乙的定价是甲的90%B．甲比乙的定价多10%

C．乙的定价比甲少10%D．甲的定价是乙的

倍

3．一个三角形至少有（）个锐角。

A．1

B．2

C．3

4．一瓶饮料350毫升，其中橙汁与水的比是1：

4，洋洋喝去了一半后，剩下的饮料橙汁的含量是（）。

A．20%B．10%C．40%D．25%

5．下列说法正确的是（　　）。

A．1是整数它不能化成百分数

B．任何数都可以化成百分数

C．求甲是乙的百分之几就是甲÷乙×100%

6．在一个比例式中，两个内项互为倒数，其中一个外项是

，另一个外项是（）。

A．

B．

C．1

7．一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍。

则圆锥的体积（）圆柱的体积。

A．小于B．等于C．大于

8．一个正方形边长为mcm，如果它的边长增加3cm，所得的正方形面积比原来正方形的面积增加了（）cm2

A．m2+9B．3m×3mC．（m+3）2D．6m+9

9．6：

x＝y：

8，x和y（　　）

A．成正比例B．成反比例C．不成比例

10．最小的整数是（）。

A．1B．0C．不存在

二、填空题

11．

=12：

=　　%=　　÷10．

12．（8,1）在C的________方？

13．两个质数，它们的差是合数，它们的和既是11的倍数又是小于50的偶数，符合条件的四组数有（______）和（______），（______）和（______），（______）和（______），（______）和（______）。

14．大于100的整数中,被13除后商与余数相同的数有____个.

15．用3个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是________平方厘米，体积是________立方厘米。

16．有一个数，它既是21的因数，又是21的倍数，这个数是________。

17．求下面图形的体积________．（图中单位：

厘米）

18．16÷（0.40+0.41+0.42+…+0.59）的商的整数部分是_____.

19．甲数的

等于乙数的

，乙数与甲数的比是_____，甲数比乙数少_____%．

20．把红、黄、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里。

至少取________个球，可以保证取到两个颜色相同的球。

三、判断题

21．某城市一天的气温是-7℃-5℃，最高气温和最低气温相差2C。

（____）

22．工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例。

（_________）

23．“降价二成”与“打二折”表示的意义相同。

（______）

24．因为3÷7＝

＝3：

7，所以除法、分数、比的意义相同．（_____）

25．面积相等的两个梯形能拼成一个平行四边形。

（_____）

四、作图题

26．画出下面每个图形的对称轴．

五、解答题

27．科学是神奇的学科！

现在科学李老师在科学实验室做了一个这样的实验：

一个底面积是31.4dm²、高45dm的圆柱体塑料容器，水深36.7dm。

放入一个底面半径为10㎝的圆锥体后，此时水面上升到37.6dm。

这个圆锥铁块的高是多少分米？

28．阿K果子园集团准备购买5.36吨水果，每10千克装一箱，用货车来运输．已知货车每次最多可以装120箱水果，那么至少需要运几次才能把这些水果全部运输完毕？

29．有一组互相咬合的齿轮．大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少

．小齿轮每分钟转多少周？

30．将一个底面积直径10cm的金属圆锥体，全部浸没在直径为40cm的圆柱体形玻璃杯中．这时杯中水面比原来高了1.5cm．这个金属圆锥体高多少cm？

31．我买了一个书包和一个铅笔盒，一共花了30元，其中铅笔盒的价钱是书包的

．

问：

铅笔盒、书包各花多少元？

32．修一段路，甲、乙两个工程队合修要12天完成，实际工作时，甲、乙两队合修8天后，甲队休息，乙队又接着工作了6天才完成任务。

这段路甲队独修需要多少天完成？

33．只列综合算式，不计算。

春节过后，亮亮把自己的1500元压岁钱存入银行，存期三年，年利率为3.25%，到期后亮亮可得本金和利息共多少元？

（免征利息税）

六、计算题

34．分别绕AB和AC边旋转得到的圆锥体积相差多少．

35．直接写出得数．

0,5÷10%＝

2,5×7.8×4＝

10﹣

﹣0.4＝

﹣（

）＝

【参考答案】***

一、选择题

题号

答案

二、填空题

11．20，15，80，8

12．右

13．51933113377

14．5

15．81

16．21

17．12立方厘米

18．1

19．5：

420

20．4

三、判断题

21．正确

22．√

23．╳

24．×

25．×

四、作图题

26．解：

如图：

五、解答题

27．27dm

28．5次

29．400周

30．72cm

31．铅笔盒12元，书包18元

32．36天

33．1500＋1500×3×3.25%

六、计算题

34．56立方厘米

35．5；78；9；

小升初数学模拟试卷

一、选择题

1．m为合数，小明根据短除法分解质因数得到

以下描述正确的有（）个

①x=1可能是方程ax+1=2的解

②a，b，c中不可能有偶数，也不可能有合数

③a，b，c可能都是偶数

④如果a是2的倍数，那么a一定是2

A．0B．1C．2D．4

2．如果三个连续自然数的和是45，那么紧接它们后面的三个连续自然数的和是（）。

A．46B．48C．54

3．（1分）（2012•安岳县模拟）种一批树，成活棵数和死去棵数比是4：

1这批树的成活率是（）

A．80%B．75%C．25%D．20%

4．一条30米长的直道一边，每隔2米放了一盆花，一共要放14盆花．正确的放法是（）

A．两端都放B．只放一端C．两端都不放

5．一个分数的分子除以2，分母乘2，这个分数的分数值将（）

A．乘4B．除以4C．不变

6．安妮花图书馆一本《安徒生童话》原价30元，六一儿童节，八折出售，六一儿童节过后恢复原价，需要提价（　　）。

A．20%B．25%C．120%D．125%

7．2019年6月份小明即将小学毕业了，为了让小明能够在紧张的学习环境中放松一下，五一期间，爸爸妈妈带他去“上海世博园”游玩。

他们从A点出发向前走10米，然后右转90°再向前走10米，接着右转90°走10米……不断重复走下去，当他们走了2020米后，他们距出发点A有（）米。

A．5B．4C．3D．2

8．5.19，5.13，5.15，5.15，5.16，5.17，这组数据的中位数和众数分别是（）。

A．5.16和5.16B．5.15和5.17C．5.155和5.15

9．下列判断中正确的是（）。

①男生比女生多25%，那么女生比男生少20%；②一个长方体恰好可以切割成两个相同的小正方体，已知每个小正方体的表面积是30平方厘米，那么这个大正方体的表面积就是60平方厘米；③5克糖放入95克水中，糖占糖水的5%；④将一段圆木锯成两段共用8分钟，照这样计算，如果将这段圆木锯成3段要用16分钟；⑤既能表示数量的多少，又能表示数量增减变化的统计图是条形统计图。

A．0个B．1个C．2个D．3个

10．在比例尺

的图纸上，量得一正方形土地的面积是36平方厘米，那么这个正方形土地的实际面积（）平方米

A．180B．900C．2025D．32400

二、填空题

11．在一幅比例尺为1：

3000000的地图上，量得甲乙两地的图上距离为15厘米，两地实际相距______千米，一列火车上午8时从甲地开往乙地，每小时行90千米下午______时可以到达．

12．在下面的

里填上合适的数。

13．一个n边形的边数增加1，对角线增加________条，增加________个三角形。

14．一个长方体的长宽高分别为8cm，4cm，4cm，把它分成两个棱长为4cm的正方体，总表面积比原来_____（填“增加”或“减少”）了_____cm2．

15．6千克7克＝（____）千克　　2时15分＝（_____）时

16．

（1）3吨5千克=________吨=________千克．

（2）2

小时=________分．

17．如图中，圆锥与_____号圆柱的体积相等；③号圆柱的底面积是④号圆柱底面积的_____倍．

18．如图是希望小学最受欢迎的球类统计图．

据图，如果你是体育委员，准备组织全班同学观看一场球类比赛，为了吸引尽可能多的同学去观看比赛，你会组织观看_____比赛，请简单说明理由_____．

19．1.2千克：

250克化成最简整数比是________，比值是________．

20．用正、负数表示下面的温度．

零下1摄氏度表示为________℃．

三、判断题

21．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵．成活率是100%。

（_____）

22．圆锥的底面积一定,圆锥的体积与高成反比例。

（______）

23．一个盒子里装有同样大小的黄、白乒乓球各3个，要想使取出的乒乓球中一定有两个黄乒乓球，则至少应取出5个球。

（_____）

24．聪聪倒了一杯果汁,先喝了10%,加满水搅匀后又喝了20%,再加满水搅匀,又喝了70%,最后加满水喝完。

果汁中加的水正好也是1杯。

（____）

25．三角形三个内角的度数比是1:

1,这个三角形既是直角三角形,又是等腰三角形。

（____）

四、作图题

26．如果从A、B两点各修一条小路与公路接通，要使这两条小路最短，应该怎样修？

请你在图中画出来。

五、解答题

27．车站的位置用数对表示为（5，4），从车站先向南走300m，再向西走100m就到达公园；从公园先向南走100m，再向东走200m就到达体育馆；从车站先向东走100m，再向北走200m就到达电影院。

请分别标出车站、公园、体育馆和电影院的位置。

28．有一块正方体木料，它的棱长是4分米．把这块木料加工成一个最大的圆柱．削去部分的体积是多少？

29．校服厂原来做一套校服，用布需要2米，现在改进了裁剪方法，每套节约用布一成，原来做120套这样的校服所用的布，现在至多可以做多少套？

30．某校六

（1）班学生对全年级“我最喜欢的文艺节目”进行小调查，统计结果如图．

（1）喜欢歌曲的人数占全年级的（____）%，喜欢其他节目占全年级的（____）%．

（2）喜欢小品的学生有40人，那么六年级一共有（____）人，喜欢杂技和相声的共有（____）人．

31．在“校园金话筒”演讲比赛中五个评委给小华分别打出了9.25分、8.86分、9.00分、9.14分、8.31分，按照去掉一个最高分，去掉一个最低分，再求三个数的平均数的方法，小华的最后得分是多少分？

32．一个圆锥形稻谷的底面周长是6.28m，高是1.8m，现在把这些稻谷全部装入一个底面积是6.28m2的圆柱形粮囤里，可以堆多高？

33．如下图，学校操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成。

明明在操场上沿着跑道跑了10圈。

一共跑了多少米?

操场上跑道围成的面积是多少平方米？

六、计算题

34．解方程或比例。

（1）

（2）

（3）

35．求未知数x。

=30%

4+0.7x=102

x=6×

【参考答案】***

一、选择题

题号

答案

二、填空题

11．1

12．-2；-1；1.5；2.5；3.5

13．1

14．增加32

15．0072

16．0053005144

17．③9

18．乒乓球乒乓球在希望小学是最受欢迎的球类

19．24：

54.8

20．-1

三、判断题

21．×

22．×

23．√

24．×

25．√

四、作图题

26．分别过A点和B点向公路作两条垂线，标上垂直符号

五、解答题

27．如图：

28．76立方分米

29．133套

30．3020050

31．9分

32．3m

33．3084米6426平方米

六、计算题

34．

（1）x=2

（2）x=

（3）x=8

35．x=1

　x=140　x=8

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