福建省福州市中考数学复习第三章函数第五节二次函数的简单综合题课时2二次函数与几何图形综合训练.docx

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福建省福州市中考数学复习第三章函数第五节二次函数的简单综合题课时2二次函数与几何图形综合训练

课时2　二次函数与几何图形综合

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角度问题

1．（2018·广东省卷）如图，已知顶点为C（0，－3）的抛物线y＝ax2＋b（a≠0）与x轴交于A、B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.

（1）求m的值；

（2）求函数y＝ax2＋b（a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2018·天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2＋mx－2m（m是常数）．顶点为P.

（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；

（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式；

（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式．

面积问题

3．（2018·黄冈）已知直线l：

y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.

（1）求证：

直线l与该抛物线总有两个交点；

（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．

4．（2018·陕西）已知抛物线L：

y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C.

（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；

（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

5．（2018·厦门质检）已知二次函数y＝ax2＋bx＋t－1，t＜0.

（1）当t＝－2时，

①若二次函数图象经过点（1，－4），（－1，0），求a，b的值；

②若2a－b＝1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y＝kx＋p（k≠0），始终与函数图象交于不同的两点？

若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由．

（2）若点A（－1，t），B（m，t－n）（m＞0，n＞0）是二次函数图象上的两点，且S△AOB＝n－2t，当－1≤x≤m时，点A是该函数图象的最高点，求a的取值范围．

特殊三角形存在性问题

6．（2018·山西）综合与探究

如图，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

7．（2018·河南）如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M.

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

第7题图备用图

8．（2018·泉州质检）已知：

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（－3，0），顶点为C（－1，－2）．

（Ⅰ）求该二次函数的解析式；

（Ⅱ）如图，过A，C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A，C分别平移到点D，E处，若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；

（Ⅲ）试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤.

参考答案

1．解：

（1）将（0，－3）代入y＝x＋m，得m＝－3.

（2）将y＝0代入y＝x－3，得x＝3.

∴B（3，0）．

将（0，－3），（3，0）分别代入y＝ax2＋b，

得，解得∴y＝x2－3.

（3）存在，分以下两种情况：

①若M在BC上方，设MC交x轴于点D，

则∠ODC＝45°＋15°＝60°.

∴OD＝OC·tan30°＝.

设直线DC为y＝kx－3，代入（，0），得k＝.

联立方程组解得

∴M1（3，6）．

②若M在BC下方，设MC交x轴于点E，

则∠OEC＝45°－15°＝30°，

∴OE＝OC·tan60°＝3.

设直线EC为y＝kx－3，代入（3，0），得k＝.

联立方程组解得

∴M2（，－2）．

综上所述，M的坐标为（3，6）或（，－2）．

2．解：

（Ⅰ）∵抛物线y＝x2＋mx－2m经过点A（1，0），

∴0＝1＋m－2m，解得m＝1.

∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2＋x－2.

∵化为顶点式为y＝（x＋）2－.

∴顶点P的坐标为（－，－）．

（Ⅱ）抛物线y＝x2＋mx－2m的顶点P的坐标为（－，－）．

由点A（1，0）在x轴正半轴上，点P在x轴下方，∠AOP＝45°，

过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ＝∠OPQ＝45°，

可知PQ＝OQ，即＝－，

解得m1＝0，m2＝－10.

当m＝0时，点P不在第四象限，舍去．

∴m＝－10.

∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－10x＋20.

（Ⅲ）由y＝x2＋mx－2m＝（x－2）m＋x2可知，

当x＝2时，无论m取何值，y都等于4.

得点H的坐标为（2，4）．

过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G，则∠DEA＝∠AGH＝90°，

∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°，

∴∠ADH＝45°，∴AH＝AD.

∵∠DAE＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝90°，

∴∠DAE＝∠AHG.

∴△ADE≌△HAG.

∴DE＝AG＝1，AE＝HG＝4.

可得点D的坐标为（－3，1）或（5，－1）．

①当点D的坐标为（－3，1）时，

可得直线DH的解析式为y＝x＋.

∵点P（－，－）在直线y＝x＋上，

∴－＝×（－）＋，

解得m1＝－4，m2＝－.　

当m＝－4时，点P与点H重合，不符合题意，

∴m＝－.

②当点D的坐标为（5，－1）时，

可得直线DH的解析式为y＝－x＋.

∵点P（－，－）在直线y＝－x＋上，

∴－＝－×（－）＋，

解得m1＝－4（舍），m2＝－.

∴m＝－.

综上，m＝－或－.

故抛物线解析式为y＝x2－x＋或y＝x2－x＋.

3．

（1）证明：

联立

化简可得：

x2－（4＋k）x－1＝0，

∵Δ＝（4＋k）2＋4＞0，

∴直线l与该抛物线总有两个交点；

（2）解：

当k＝－2时，∴y＝－2x＋1，

过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，如解图．

∴联立

解得：

或

∴A（1－，2－1），B（1＋，－1－2）．

∴AF＝2－1，BE＝1＋2.

易求得：

直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为（，0）．

∴OC＝.

∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC

＝OC·AF＋OC·BE

＝OC（AF＋BE）

＝××（2－1＋1＋2）

＝.

4．解：

（1）令y＝0，得x2＋x－6＝0.

解得x＝－3或x＝2.

∴A（－3，0），B（2，0）．

令x＝0，得y＝－6.

∴C（0，－6）．

∴AB＝5，OC＝6.

∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15.

（2）由题意，得A′B′＝AB＝5.

要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴交点为C′（0，－6）或C′（0，6）即可．

设所求抛物线L′：

y＝x2＋mx＋6，y＝x2＋nx－6.

又知，抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同，

∴＝，＝.

解得m＝±7，n＝±1（n＝1舍去）．

∴抛物线L′：

y＝x2＋7x＋6，y＝x2－7x＋6

或y＝x2－x－6.

5．解：

（1）①当t＝－2时，二次函数为y＝ax2＋bx－3.

把（1，－4），（－1，0）分别代入y＝ax2＋bx－3，

得解得

即a＝1，b＝－2.

②解法一：

∵2a－b＝1，

∴二次函数为y＝ax2＋（2a－1）x－3.

∵当x＝－2时，y＝－1；当x＝0时，y＝－3.

∴二次函数图象一定经过点（－2，－1），（0，－3）．

因为经过这两点的直线的表达式为y＝kx＋p（k≠0），

所以把（－2，－1），（0，－3）分别代入，

可求得该直线表达式为y＝－x－3.

即直线y＝－x－3始终与二次函数图象交于（－2，－1），（0，－3）两点．

解法二：

当直线与二次函数图象相交时，有kx＋p＝ax2＋（2a－1）x－3.

整理可得ax2＋（2a－k－1）x－3－p＝0.

可得Δ＝（2a－k－1）2＋4a（3＋p）．

若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则Δ＞0.

化简可得4a2－4a（k－p－2）＋（1＋k）2＞0.

∵无论a取任意不为零的实数，总有4a2＞0，（1＋k）2≥0，

∴当k－p－2＝0时，总有Δ＞0.

可取p＝1，k＝3.

对于任意不为零的实数a，存在直线y＝3x＋1始终与函数图象交于不同的两点．

（2）把A（－1，t）代入y＝ax2＋bx＋t－1，可得b＝a－1.

∵A（－1，t），B（m，t－n）（m＞0，n＞0），

则直线AB的解析式为y＝－（x＋1）＋t，

令x＝0，解得y＝－＋t＜0，

则S△AOB＝×（－t＋）（m＋1），

又∵S△AOB＝n－2t，

∴×（－mt－t＋n）＝n－2t，解得m＝3.

∴A（－1，t），B（3，t－n）．

∵n＞0，所以t＞t－n.

①当a＞0时，二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x≤3时，若点A为该函数图象最高点，则yA≥yB，

分别把A（－1，t），B（3，t－n）代入y＝ax2＋bx＋t－1，得

t＝a－b＋t－1，t－n＝9a＋3b＋t－1.

∵t＞t－n，

∴a－b＋t－1＞9a＋3b＋t－1.

可得2a＋b＜0.

即2a＋（a－1）＜0.

解得a＜.所以0＜a＜.

②当a＜0时，由t＞t－n，可知

若A，B在对称轴的异侧，当－1≤x≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A；若A，B在对称轴的左侧，因为当x≤－时，y随x的增大而增大，所以当－1≤x≤3时，点A为该函数图象最低点；若A、B在对称轴的右侧，

∵当≥－时，y随x的增大而减小，

∴当－1≤x≤3时，

点A为该函数图象最高点，则－≤－1.

即－≤－1.解得a≥－1.

所以－1≤a＜0.

综上，0＜a＜或－1≤a＜0.

6.解：

（1）由y＝0，得x2－x－4＝0.

解，得x1＝－3，x2＝4.

∴点A，B的坐标分别为A（－3，0），B（4，0）．

由x＝0，得y＝－4，∴点C的坐标为C（0，－4）．

（2）Q1（，－4），Q2（1，－3）．

（3）过点F作FG⊥PQ于点G，

则FG∥x轴，由B（4，0），C（0，－4），得△OBC为等腰直角三角形．

∴∠OBC＝∠QFG＝45°，∴GQ＝FG＝FQ.

∵PE∥AC，∴∠1＝∠2.

∵FG∥x轴，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.

∵∠FGP＝∠AOC＝90°，∴△FGP∽△AOC.

∴＝，即＝.

∴GP＝FG＝×FQ＝FQ.

∴QP＝GQ＋GP＝FQ＋FQ＝FQ.

∴FQ＝QP.

∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∠MBQ＝45°，

∴QM＝MB＝4－m，PM＝－m2＋m＋4.

∴QP＝PM－QM＝－m2＋m＋4－（4－m）＝

－m2＋m.

∴QF＝QP＝（－m2＋m）＝

－m2＋m.

∵－＜0，∴QF有最大值．且当m＝－＝2时，QF有最大值．

7．解：

（1）∵直线y＝x－5交x轴于点B，交y轴于点C，

∴B（5，0），C（0，－5）．

∵抛物线y＝ax2＋6x＋c过点B，C，

∴，∴，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5.

（2）①∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°.

∵抛物线y＝－x2＋6x－5交x轴于A，B两点，

∴A（1，0），∴AB＝4.

∵AM⊥BC，∴AM＝2，

∵PQ∥AM，∴PQ⊥BC，

若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

则PQ＝AM＝2，

过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝4.

设P（m，－m2＋6m－5），则D（m，m－5）．

分两种情况讨论如下：

（ⅰ）当点P在直线BC上方时，

PD＝－m2＋6m－5－（m－5）＝－m2＋5m＝4，

∴m1＝1（舍去），m2＝4.

（ⅱ）当点P在直线BC下方时，

PD＝m－5－（－m2＋6m－5）＝m2－5m＝4，

∴m3＝，m4＝.

综上，点P的横坐标为4或或.

②M（，－）或（，－）．

8．解：

（Ⅰ）∵二次函数的顶点为C（－1，－2），

∴设二次函数的解析式为y＝a（x＋1）2－2.

把B（－3，0）代入得a（－3＋1）2－2＝0，

解得a＝.

∴二次函数的解析式为y＝（x＋1）2－2.

（Ⅱ）由（x＋1）2－2＝0得x1＝－3，x2＝1，

∴点A（1，0）．

过点C作CH⊥x轴于点H，如解图，

∵点C（－1，－2），∴CH＝2，OH＝1，

又∵AO＝1，∴AH＝2＝CH，

∴∠1＝45°，AC＝＝2.

在等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝AC＝2，∠FDE＝90°，

∴∠2＝45°，EF＝＝4，

∴∠1＝∠2，

∴EF∥CH∥y轴．

由A（1，0），C（－1，－2）可求得直线AC对应的函数解析式为y＝x－1.

由题意设点F（其中m＞1），则点E（m，m－1），

∴EF＝－（m－1）＝m2－＝4，

解得m1＝3，m2＝－3（舍去）．

∴点F（3，6），

（Ⅲ）当y＝时，（x＋1）2－2＝，解得x1＝－4，x2＝2.

抛物线y＝（x＋1）2－2，根据抛物线的性质可知，

当x＜－1时，y随x的增大而减小，当x＞－1时，y随x的增大而增大，

当x＝－1时，y的最小值为－2.

∵p≤x≤q，p≤y≤，

∴可分三种情况讨论．

①当p≤q≤－1时，由增减性得：

当x＝p＝－4时，y最大＝，当x＝q时，y最小＝p＝－4＜－2，不合题意，舍去；

②当p＜－1≤q时，

（i）若（－1）－p＞q－（－1），由增减性得：

当x＝p＝－4时，y最大＝，当x＝－1时，y最小＝－2≠p，不合题意，舍去；

（ii）若（－1）－p≤q－（－1），由增减性得：

当x＝q＝2时，y最大＝，当x＝－1时，y最小＝p＝－2，符合题意，

∴p＝－2，q＝2.

③当－1≤p＜q时，由增减性得：

当x＝q＝2时，y最大＝，当x＝p时，y最小＝p，

把x＝p，y＝p代入y＝（x＋1）2－2，得p＝（p＋1）2－2，

解得p1＝，p2＝－＜－1（不合题意，舍去）．

∴p＝，q＝2.

综上，或