第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛.docx
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第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛
第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛
第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试题解答（小学组）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
A
D
B
B
说明：
1如图1所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，
得到小正方形ABCD.取AB的中点M和BC的中点N，剪掉
得五边形AMNCD.则将折迭的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（）.
答：
选（D）.
解：
考察空间想象力.如图1a，实际是逆向想象操作过程；
22008006共有（）个质因子.
（A）4（B）5（C）6（D）7
答：
选（C）.
解：
因为
.
3奶奶告诉小明：
“2006年共有53个星期日”.聪敏的小明立刻告诉奶奶：
2007年的元旦一定是（）.
（A）星期一（B）星期二（C）星期六（D）星期日
答.（A）.
解：
2006年有365天，而365=7×52+1,又已知2006年有53个星期天.只能元旦是星期天,且12月31日也是星期日，所以，2007年的元旦是星期一.
4
如图2，长方形ABCD中AB︰BC=5︰4.位于A点的第一只蚂蚁按
的方向，位于C点的第二只蚂蚁按
的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行.如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（）边上.
（A）AB（B）BC（C）CD（D）DA
答：
选（D）.
解：
如图2a，长方形ABCD中AB︰BC=5︰4.将AB，CD边各5等分，BC，DA边各4等分.设每份长度为a.由于两只蚂蚁第一次在B点相遇，所以第一只蚂蚁走5a，第二只蚂蚁走4a.接下来，第一只蚂蚁由B走到E点时，第二只蚂蚁由B走到F点，再接下来，当第一只蚂蚁由E走到G点时，第二只蚂蚁由F也走到G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA边上..
5
图3中ABCD是个直角梯形（
）.以AD为边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米.连接BE交AD于P，再连接PC.则图中阴影部分的面积是（）平方厘米.
（A）6.36（B）3.18
（C）2.12（D）1.59
答：
选（B）.
解：
如图3a连接AE，BD.因为AD//BC，则
，又AB//ED，则
.所以
（平方厘米）.
说明：
答案和直角梯形形状无关，可以让BC边趋近AD边，至到和AD边重合，此时，EB是ADEF的对角线，所以，阴影部分的面积是ADEF面积的一半，等于3.18平方厘.米.
6五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮,排成一排表演节目.如果贝贝和妮妮不相邻,共有（）种不同的排法.
（A）48（B）72（C）96（D）120
答.选（B）.
解：
贝贝在左、妮妮在右相邻时的排法有4×3×2×1=24种,贝贝在右、妮妮在左相邻时的排法也有4×3×2×1=24种,总的排法5×4×3×2×1=120种.所以贝贝和妮妮不相邻的排法是120-2×24=72种.
二、A组填空题
题号
7
8
9
10
答案
35
23
4
7在右边算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立.则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于.
答：
35.
解：
根据加法规则，“第=1”.“届+赛=6”或“届+赛=16”.若“届+赛=6”，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一+杯=10”只能“一”、“杯”分别为3或7.此时“十+华=9”，“十”、“华”分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）.但1，2，3，4均已被取用，不能再取.所以，“届+赛=6”填不出来，只能是“届+赛=16”.这时“届”、“赛”只能分别取值9和7.这时只能是“一+杯+1=10”且“十+华+1=10”，也就是“一+杯=9”同时“十+华=9”.所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值.
因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35.
【说明】算式中，有3次进位，所以2＋6＋3×9＝35。
8全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有人.
答：
23.
解.有三角板的学生共50–28=22（人），其中女生22–14=8（人），那么有直尺的女生有31–8=23人.
9
图4是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内.当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米.则这个玻璃杯的容积为立方厘米.（取
）（提示：
直角三角形中“勾6、股8、弦10）
答：
.
解：
如图4，一个长为12厘米的直棒状细吸管放在玻璃杯内，另一端沿吸管最多能露出4厘米，表明直圆柱的高CB=12–4=8厘米；另一端沿吸管最少可露出2厘米，表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为AC=12-2=10厘米.由直角三角形中“勾6股8弦10”的常识，可知圆柱底面圆的直径是6厘米，半径为3厘米.因此，这个玻璃杯的容积为
（立方厘米）
10
有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：
将同色的且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉.如果从图5-
（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有个.
答：
4.
解.因为在异色棋子之间放黑子，圆周上只有5个棋子，必有相邻两个棋子是同色的，所以，不可能出现5个黑子.而第二次操作时圆周上就出现了4个黑子.所以，在各次操作完成后，圆圈上呈现的5个围棋子中最多能有4个黑子.
三、B组填空题
题号
11
12
13
14
答案
500；2700
101；4
27；37
95；155
11李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥.若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克.那么李大爷共承包了麦田亩，这批化肥有千克.
答：
500；2700.
解：
设麦田x亩，如每亩施6千克，则缺少300千克化肥，可知现有化肥为6x-300千克；如每亩施5千克，则余下200千克化肥，可知现有化肥应为5x+200千克.由于现有化肥量是个定值，所以6x–300=5x+200，解得x=500（亩）.
现有化肥量是5×500+200=2700（千克）
12将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：
a=……9799101103.
则数a共有位，数a除以9的余数是.
答：
101；4.
解1：
一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个
5+2×45+3×2=101位数.
从1开始的连续奇数被9除的余数依次为
1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，……，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8，循环.因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1～89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为：
1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4.
解2：
一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同，利用这条性质，a＝……9799101103中13579数字和被9除的余数是7，而……9799所有数字之和被9除的余数是0，101103数字之和被9除的余数是6.所以，a被9除的余数是（7＋6）被9除的余数，是4.
解3：
一共52个奇数，
被9除的余数是4。
13自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌:
红桃、红方、黑桃、黑梅.每种牌都有1点、2点、……、13点牌各一张）.洗好后背面朝上放好.一次至少抽取_____张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同.如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取_____张牌.
答：
27；37.
解：
对前一种情况，可取红、黑色的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13点各2张，共
张，那么再取一张牌，必定和其中某一张牌点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同.这是最坏的情况，因此，至少要取27张牌，必能保证有2张牌点数、颜色都相同.
对后一种情况，有以下的搭配：
（1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12），13，
因而对涂阴影的9个数，四种花色的牌都取，这样可以取到
张牌，其中没有3张牌的点数是相邻的.
现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少要有33张牌取自（1，2，3）、（4，5，6）、（7，8，9）、（10，11，12）四个抽屉，根据抽屉原则，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的.因此，至少要取37张牌.
14图6中有个正方形，有个三角形.
答：
95；155.
解：
第1问.以面积大小数正方形，记最小的正方形的面积为1：
面积为1的正方形的个数：
36；面积为2的正方形的个数：
4；
面积为4的正方形的个数：
25；面积为9的正方形的个数：
16；
面积为16的正方形的个数：
9；面积为25的正方形的个数：
4；
面积为36的正方形的个数：
1.
所以，共有36＋25+16+9+4+1+4=95（个）正方形.
第2问.方法1：
以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：
只有1个基本单位的三角形共72个；
由2个基本图形单位组成的三角形共37个；
由4个基本图形单位组成的三角形共30个；
由8个基本图形单位组成的三角形共4个；
由9个基本图形单位组成的三角形共10个；
由16个基本图形单位组成的三角形共2个；
所以图中共有三角形为72+37+30+4+10+2=155个.
方法2：
依三角形的斜边的长度数三角形:
1斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1：
长度为1的斜边共有：
36条；长度为2的斜边共有：
15条；
长度为3的斜边共有：
5条；长度为4的斜边共有：
1条.
因为图中这类斜边每条带有2个三角形，所以共有
个.
2斜边水平的三角形，从上向下，
斜边在第一条线有2个；斜边在第二条线有4个；斜边在第三条线有4个；斜边在第四条线有5个；斜边在第五条线有2个；斜边在第六条线有2个；斜边在第七条线有2个；
所以这种类型的三角形共有21个.
3斜边为垂直线的三角形，从左向右：
斜边在第一条线有2个；斜边在第二条线有2个；斜边在第三条线有5个；斜边在第四条线有3个；斜边在第五条线有3个；斜边在第六条线有4个；
斜边在第七条线有1个，
所以这种类型的三角形共有20个.
共有114+21+20=155个三角形.
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