哈工大概率论与数理统计课后习题答案四.docx
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哈工大概率论与数理统计课后习题答案四
习题四
1•一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放
回，再从袋中任取一球，以X,Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求（X,Y）的
其中P（X1,Y1）
X”
1
2
3
1
0
1
1
6
12
2
1
1
1
6
6
6
1
1
3
0
12
6
P（X
1）P（Y
1|X
1）
P（X1,Y2）P（X
1）P（Y2|X1）
分布列•
解
（X,Y）的分布列为
121
436
余者类推。
2•将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的分布列及边缘分布列。
一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故X〜B（3,丄）.
2
P（X1,Y1）P（X1）P（Y1|X
1）
余者类推。
3•设（X,Y）的概率密度为
1
（6xy）,0x
f（x,y）8
0
2,2y
4,
其它.又
（1）D{（x,y）|x1,y3};
（2）
{（x,y）|x
1
3}。
求P{（X,Y）
D}
P{（x,y）
D}
解
（1）
P{（X,Y）
1
8
1
6-
2
1
8
5
24
设（X,Y）的概率密度为
D}
求
（1）
1
0x（1
C（RJx2y2）,
0
2
系数C；
（2）（X,Y）落在圆x
f（x,y）
（1）
1C
x2
（R,x2
y2R2
31
28
3
8
1
（2）设D
（6
y）dxdxy
R3
2R3
3
{（x,y）|x
x）dx
x1
8（6
1
[（3
0
xy）dxdy
x）2
4]dx
P{（X,Y）D}
x2
2
x
其他.
2
r（rR）的概率.
R2,
y2）dxdyCR3
2
r｝，所求概率为
r2
Rr2drd
0
£（R、x2y2）dxdyR
3
R3
Rr2乙丄
至1兰
R3R
5•已知随机变量X和Y的联合概率密度为
f（x,y）
4xy,0x1,0
0,其它.
求x和Y的联合分布函数.
解i设（X,Y）的分布函数为F（x,y），则
xy
F（x,y）f（u,v）dudv
x
0
y
04uvdudv
0
x
1,
0
y1,
x
1
0
04uydudy
0
x
1,
y
1,
1
y
0
04xvdxdv
x
1,
0
y
1,
0,x0或y0,
0,x
22
xy,0
2
x,
0
2
y,
x
1,
x
1,y1.
0或y0,
x1,0y1,
x1,y1,
1,0y1,
1,y1.
解2由联合密度可见,
X,Y独立，边缘密度分别为
fx（x）2x,其他xfY（y）2y,其它1,
0,其他；0,其它.
边缘分布函数分别为
Fx（x）,Fy（y），则
Fx（x）
x
fx（u）du
0,x
x2,0
0,
x1,
y
Fy（y）fx（v）dv
设（X,Y）的分布函数为F（x,y），则
0,
x
0J
或
y
0,
22
xy,
0
x
1,
0
y1
F（x,y）Fx（x）Fy（v）x2,
0
x
1,
y
1,
2
y,
x
1,
0
y
1,
1,
x
1,
y
1.
X
设二维随机变量（X,Y）在区域D:
0
密度。
解
（X,Y）的概率密度为
f（x,y）J；,
（x,y）D,其他.
关于X和Y的密度为
fx（X）
f（x,y）dy
X
dy,
X
x
0
fY（y）
o,y
1
dx,1y
f（x,y）dx1
dx,0
y
0,y
1,
y0,1y,1y0,
1y,0y1,
y1,0,其他.
1.
|y|,|y|1,0,其他.
7.设（X,Y）的概率密度为
ey,0x
0,其他.
P（XY1）
f（x,y）
y,
求边缘密度和概率
0,x0,
fx（x）
f（x,y）dy
ydy,
x0;
0,x0,ex,x0.
0,
y
0,
0,
y
0,
fY（y）
f（x,y）dxy
\f
e
0
ydx,y
0;
ye,
y
0.
P（XY
1）f（x,y）dxdy
11
2
0x
x
eydy
dx
1
°（e
0\
x1X\
ee）dx
xy1
1
12e2e1.
X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：
千小时）
8•一电子仪器由两个部件组成,已知X,Y的联合分布函数为：
（1）
（2）
F（x,y）1
0.5x
0.5y0.5（x
ee
y）
x0,y0其他.
问X,Y是否独立？
为什么?
求两个部件的寿命都超过100小时的概率.
（1）先求边缘分布函数:
Fx（x）ylimF（x,y）
0.5xe
FY（y）丿计F（x,y）
0
0.5ye
0,
0.
0,
0.
F（x,y）Fx（x）Fy（y），所以X,Y独立.P（X0.1,Y0.1）P（X
0.05
e
9.设（X,Y）的概率密度为
因为
（2）
0.1P（Y0.1）[1
0.050.1
e.
P（X
0.1）][1P（Y
0.1）]
f（x,y）
e（x
y）
x0,Y其他.
0,
间X,Y是否独立?
解边缘密度为
0,
fx（x）
f（x,y）dy
ydy,
0；
0,
0.
fY（y）
0,
ey,
因为f（x,y）
10•设（X,Y）的概率密度为
fx（X）
y0,
y0.
fY（y），所以
X,Y独立.
f（x,y）
问X,Y是否独立.
其他.
解边缘密度
fx（x）
f（x,y）dy
0,
i
x8xydy
fY（y）
f（x,y）dx
y
08xydx
其他;
因为f（x,y）
fx（x）fY（y），所以
X,Y不独立。
11.设（X,Y）的概率密度为
f（x,y）屮Xi
0,其他.
1,|Y|1,
y=x
4y3,0y
0,其他;
）,0x1,
其他；
y*
0
试证明X与Y不独立，但x2与Y2是相互独立的。
证先求X,Y的联合分布函数F（x,y）
0
J
x
1或
y1
x
y1uv
1
dudv,
14
|x|
1,|y|
1,
x
11uv,,
F（x,y）
1
dudv,
14
|x|
1,y
1,
1
y1uv,,
dudv,
x
1,1y|
1,
1
14
1
J
x
1,y
1;
i）（y1）
122
16（x1）（y
1）,
|x|
1,
1）,
1）,
|x|
1,|y|
1,y
x1,y
1,
1.
关于X的边缘分布函数为
Fx（x）
lim
y
F（x,y）
0,
1（x
1,
1）,
1,
x1,
1.
关于Y的边缘分布函数为
Fy（Y）
1）,
1,
y1,
1.
因为F（X,Y）Fx（x）
Fy（y），所以X,Y不独立.
2222
再证X与Y独立：
设X,Y的联合分布函数为F1（z,t），则
z0,t0
F1（z,t）P（X2
z,
Y2
t）
~'
P{
zx
■z,-tY.t}
F（、、Z,.t）
F（
z,
t）
F（
J,
F（-z,J）
0,
z
0
或t
0,
0
z
1,0
1t
1,
t,
z
1,
0t
1,
z,
0
z
1,t
1,
1,
z
1,
t1.
22
83页）
关于X（Y）的边缘分布函数分别为
0,
z
0,
何
F1（z,t）
「乙
0
z
1,
z
1.
0,
t0,
0t
1,
1,
t1.
⑵
卩丫彳⑴,
所以
X
与Y2
独立
Fx2⑵
1,
Fy2（t）
因为F1（z,t）FX2
证2利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》
设Z
X2,T
Y2.
函数
z
X2的
反
函数
不,
y2
屁
X
X1
1
z
t
2蟲
J11
_y_
_y_
0
z
t
为Xi
yi
0
1
2、t
22
于是（X,Y）的概率密度函数为
、z,X2
1
—J22
4■zt
z；ty2
J11,J12
J21
函数为
1
4■zt
f1（z,t）
i1
[1
1.zt1zt
1对4；0z
其他
1,0
t1,
0z1,0t1,
其它.
_1_
4■zt'
0,
2
关于X的边缘密度为
fx2（z）
厶，0z1,
fl（z,t）dt2*z
0,其它.
关于Y2的边缘密度为
斗，0t1,fy2（t）2、t
0,其他.
22
因为fl（z,t）fX2（z）fY2（t），所以X,Y独立.
12•设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）的联合分布律及关
于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处
yi
y2
y3
P{Xx}p
Xi
i
8
X2
i
8
P（Yyi）Pj
i
6
i
解设P（Xx
「丫
yj）
Pji1,2,j
1,2,3.
由联合分布和边缘分布的关系知
1
Pii
24
1
1
1
1
11
由独立性p11
（Pii
P13），即
Pi3，故P13
6
8
424
812
1
1
1
1
3
Pi
—
，P2
—
24
812
4
4
1
3
3
1
P22（
P22）
，所以
P22
，P2
8
4
8
2
11
1
1
11
P31
P23
62
3
3
124
所以（X,Y）的分布为
y1
y2
ya
P{Xx}Pi
x
1
1
1
1
24
8
12
4
X2
1
3
1
3
8
8
4
4
p（yy）Pj
1
1
1
1
6
2
3
1,X21）0，再
13•已知随机变量X1
和X
2的概率分布为
1
0
1
0
1
X1~1
1
1，X2~
1
1
4
2
4
2
2
而且P（X1X20）
1
（1）求Xi和X2的联合分布；
（2）问X1和X2是否独立？
为什么？
解
（1）P（X1X20）1知P（X11,X21）P（X1
由联合分布和边缘分布的关系知（X「X2）的分布为
111
（2）因P（X11,X20）P（X11）P（X20）,所以
442
X,Y不独立.
14.设随机变量X,Y相互独立，且都服从（b,b）上的均匀分布，求方程
2ttXY0有实根的概率.
解设A'方程有实根’，则
2
A发生X24Y0
X
0
1
2
P
（
）.25
0.45
0.30
（2）
X
Y的分布为
X
Y
0
1
23
P
0.10
0.4
0.350.15
16•
设
X与
丫为
独立
同分布的离散型随机变量，其
P（X
n）
P（Y
n）
1
（1）n
2
n1,2,L，求XY的分布列.
解
设Z
X
Y,
Z的分布为
试求：
（1）X
（2）X
Y的概率分布
P（Z
k）
P（XYk）
概率分布列为
的概率分布;
X的分布为
解
（1）
k1
i1
2
P（A）P（X
4Y）
X2
1
4b
X2
~4
b4b
[b62b2]
6
1㊁dxdy
f（x,y）dxdy
4y
bx2
1
242
b4.
1
存8b
P（X
（x,y）
x,Yy）
2
2、b1
2（b
2b4b
3
2
2
—）dx
4
（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）
0.10
3
8b°）]
（2,0）
（2,1）
0.150.250.200.150.15
P（Xi）P（Yki）
k111
（1）i（；）ki
（k1
kk2,3丄
i1
ZXY服从参数为2n,p的二项分布
证P（Zk）P（XY
k）
k
P（Xi）P（Y
i0
i）
k
Cnpi（1
i0
n
p）
ki
Cn
kin
p（1p）
k2n
p（1p）
kk,
C2nP（1
\2n
p）
kk0,1L
2n
故ZXY服从参数为2n,p的二项分布
注：
此处用到一个组合公式：
k
CickiCk
m^7nmn
i0
此公式的正确性可直观地说明如下：
从m
n个不同的元素中取
k个共有cm
n种不同
的取法。
从另一个角度看，把mn个元素分布两部分，一部分有从第一部分中取i个再配上从第二部分中取ki个，
k
ik
k，总的取法是
i0
18•设X,Y相互独立，
i，这两种取法应相等.
其概率密度分别为
不同的取法共
m个，另一部分有n个,
cmc；
i，让i从0变到
fx（X）
1,
0,
0x1,
其他；fY（y）
0,
0.
求XY的概率密度.
由卷积分式，Z的概率密度为
fz（Z）
fx（zy）fY（y）dy
fx（z
y）
fY（y）
y0,0zy
1,
D如图.
0时，fZ（z）0
1时,
fz⑵
z
eydy
0
1时，fz（z）
eydye
z（e1）,
0,
z
0,
fz（z）
1ez,
0
z1,
ez（e1）,
z
1.
解2变量代换法:
fz⑵fx（x）fY（zx）dx,
注意到当0
x1时fX（x）=1，有
fz（z）
fx（x）fY（zx）dx
z
z1fY（u）du,
因
0,u0,
fY（U）
e,u0.
所以，当z
0时，fz（z）0，
1
0
当0z1时，fz⑵
z
fY（Z
令UZX
x）dx
fY（u）du
Udu
当
z
1时,
fz（z）
z
e
z1
uduez（e1）
综上所述
0,
z
0
fz
（z）
1
ez,
0
z
1,
e
z（e1）,
z
1.
0
ze
解3
分布函数法：
设Z的分布函数为FZ（z）
则
Fz（z）P（Zz）P（X丫z）
fx（x）fY（y）dxdy
0
e
ydy
zx
e
0
x+y=0
dx,
ydydx,
0时，
z1时,
1时，
0,
z
0,
z
ze
1,
0
z1,
1ez
z
ee,
z
1.
z的概率密度为
0,
z0
fz（z）
Fz（z）1
ez,
0z1,
e
z（e1）,
z1.
19.设部件
L1的寿命X
~E（）,L2
的寿命Y
E（），按下图联结构成系统L,
解X的密度为fX（X）
x,x0,
其他.
y
Y的密度为fY（y）
0,
0.
设Z的密度为fz（z），则
fz（z）
fx（X）
fY（z
x）dx
Li
L2
xe（z
x）
0,其他.
x0,
fx（x）
fy（zx）
0时,
0时,
（z）
ze（
）xdx
e（
）x
（eze
z），
即当部件L1损坏时，部件L2立即开始工作，求系统L的寿命Z的概率密度
当时
fz（z）：
2e
zdx2ze
z
综相所述zXY的密度为
0,
z
0
fz⑵“z
Z\
0
（e
e）,z
0
0
z
0
z
1
fz⑵
f（z
y）dy
取k
1得
fz（z）
f（z
其中
0
f（z
z
1
z
y
z
0
当
0
或
Z
1
z
y
当
时
0
1
z
1
0
即
0
z）
z）
0
0
z
y
x-y=0
z
0
1
1
z
0
0
z
x
0
1
z
1
1
z
y,y）
时fz（z）
Fz（z）P（Z
y0
P（XY
1,z
0x
yx
32
2（1z2）
0z1
3（1z2）
2
z）2
2zze
20•设（X,Y）的概率密度为
fz（z）
求ZXY的概率密度
解1利用ZX
y，y）‘dy
3（zy）,0zy
0,其他.
不等式0
0,y0确定平面域如图
fz（z）
解2设z的分布函数为Fz（z），
密度为fz（z），则
3x,0f（X,y）0,其他.
kY的密度公式:
其他.
f（x,y）dxdy
xyz
x-y=1
x
03xdxdy
1x
3xdxdy,0z1,
zxz
3—z
2
13z,
2
3z（1z）-（1
2
fz⑵
z
3（zy）dy
x-y=z
于是
fz⑵
Fz（z）|（1
0
Z2）,0z1,
其他.
21•设随机变量
f（x,y）
（X,Y）的概率密度为
x2y2
22
x,
29
求zXY
解设z的分布函数为Fz（z），则
的概率密度
fz（z）.
2
Fz（z）P（Zz）P（X
Y2
1
ez：
22
‘y
dxdy
2
rdrd
z）
x2
y2
f（x,y）dxdy
z1
0=e
r2r~2
rdr
令r\U
17"2
edu
2
0,
fz（z）
z
2e
0.
r2
e22
0,
22.设随机变量
X与Y独立,
故fz（z）
Fz⑵
的概率密度fz（z）
解1由卷积公式
fz（z）
fx（X）
其中
fx（x）fY（Z
2
~N（,），丫~U[
fY（zx）dx,
1」
1_e
x）22
0,
其它.
1
22e
],试求z
0.
z
x
令t
解2用变量代换:
1~2
22e
fz（z）
fz（z）
（x）2
"2~
厂—7Fe
fx（zy）fY（y）dy.
］所以当
1
y时fY（y）2
fx（zy）fY（y）dy
z1（U
z2一2一e
dx
t2
Tdt
（z
du
（zy）2
22
dy
1（u）2
I厂
:
e2du22
z
（-
z
（-
23•设随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）2e（x2y）,
0,其他.
0,
2Y
zx
0
24•设二维随机变量（X,Y）在矩形G
求ZX2Y的分布函数FZ（z）.
z）
x2yz
f（x,y）dxdy
0,
xe2ydydx,
z0,
z
ze,
{（x,y）|0分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f（s）.
z0.
x2,
0.
y1}
上服从均匀
其中
Fs（s）
P（Ss）P（XYs）
（x,y）dxdy.
xys
（x,y）
2,（x，y）g，
0,其他.
Fs（s）
（x,y）dxdy
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0,
112q
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