分式方程及分式化简.docx
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分式方程及分式化简
分式方程及分式化简
【知识精读】
1•解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程。
2•解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：
把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
F面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】
例1.解方程:
完后记着要验根
解：
方程两边都乘以（X1）（x1），得
2
x2（x1）（x1）（x1），
即x22xx212，
3
x—
2
3
经检验：
x3是原方程的根。
2
x1x6x2x5
例2.解方程一
x2x7x3x6
分析：
直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
（x6）与（x7）、（x2）与（x3）的值相差1,而分子也有这个特点，因此，可将分母
的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分
式的等值性质求值。
（x6）（x7）（x2）（x3）
所以（x6）（x7）（x2）（x3）即8x36
9
x
2
经检验：
原方程的根是xI
数式之和。
解：
由原方程得：
3
1
’2门2,1
434
4x
3
8x98x74x5
口22
2
2
即
8x98x6
8x
10
8x7
分析：
方程中的每个分式都相当于一个假分数,
因此，可化为一个整数与一个简单的分
解得：
x1
y2y2（y2）（y2）
经检验：
x1是原方程的根。
例4.解方程：
6y12y24y20
220y4y4y4y4y4
分析：
此题若用一般解法，则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与
解：
原方程变形为：
6（y2）（y2）（y2）y2°
（y2）2（y2）2（y2）（y2）
分母有相同的因式，于是可先约分。
约分，得6
y2
2
方程两边都乘以（y2）（y2），得
6（y2）（y2）2y20
整理，得2y16
y8
经检验：
y8是原方程的根。
注：
分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解:
例1•
2x
若解分式方程——
m1
x1
x'产生增根，则m的值是（
）
x1
xx
x
A.
1或
2B.
1或2
C.1或2
D.1或
2
分析:
分式方程产生的增根，
是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是：
x0或x
1,化简原方程为
2x2
（m
2
1）（x1）,把x0或x
1代入解得
m1或
2,
故选择D。
例2.
甲、
乙两班同学参加“绿化祖国”
活动，
已知乙班每小时比甲班多种
2棵树，甲
班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
分析：
利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：
设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树,
60x12066x
x20
经检验：
x20是原方程的根
x222
答：
甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：
在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示:
例1.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另-次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：
在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，
取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：
设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
42
7
xy
70
7
xy
80
xy
由题意，得
40
xy
经检验：
x17
x是原方程的根
y3
例2.m为何值时，关于x的方程
2
mx
3
会产生增根?
x
2
x
4x2
2
解：
方程两边都乘以x4，得2x
4
mx
3x6
整理，得（m1）x10
当m1时，x
m1
如果方程产生增根，那么x2
4
0，
即x
2或x
2
10
（1）若x2，贝V2
m1
m
4
10
（2）若x2，则匹
m1
2
m
6
（3）综上所述，当m4或6时，原方程产生增根
说明：
分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后
S
A.B.
ab
2.如果关于x的方程上―
x3
SavSav2S
C.D.
babab
1—有增根，则m的值等于（）
x3
A.3B.2
3•解方程：
C.1D.3
（1）
1
x10
1
（x1）（x2）
1
（x2）（x3）
1
2
（x9）（x10）
（2）
2x
1x2
4x
1x4
4•求x为何值时，代数式
2x9
x3
5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做
1天后，再由两队合作
2天就完
成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的
彳，求甲、
乙两队单独完成各需多少天?
分式化简
y
2
z，则x
2
y
2z
3
4
xy
yz
zx
2
22
已知
3
4
5
则x
yz
x
y
y
z
zx
xy
yzzx
a右-
b
c
d.abc
，求
d的值.
b
c
d
aabc
d
已知
（b
c）2
22
（ca）（ab）
222
（bc2a）（ca2b）（ab2c）,
求分式（%“雪啤1的值.
（a
1）（b
1）（c
1）
设x
yz
u1
2x
y:
12yz:
2
则7x
3y
3zu
2zu:
3（2ux）:
4,
若
x
xyz
Xyz求（xy）（yz）（zx）的值xxyz
已知-
y
x
zu
y
z
zux
ux
yx
已知
p
q
r9，且一
p
q
2
2
x
yz
yzx
px
qy
rz
的值等于（
）A.9
x
y
z
7
2
2
2
已知
x
yz
yzx
zxy
0（xyz
a
b
c
已知
x
2
y
2
yz
zx
2
x
y
1zx1
已知x
已知,
已知
1yz
2
ab
1z21
的值。
o,求x1
1,a
1
xy
2
2x1
2，则
求代数式
u
•求xy
yz
zu
u
x的值.
yz
zu
ux
xy
y
z
r
2
，则
z
xy
B.10
C.8
D
2
.2
2
a
bc
bca
c
ab
0），
vfcz-ttU•
求证：
x
y
z
2
2
2
2z
yz
2x
zx
2y
b
2x2y
（x
3xy
y）2的值.
已知
a22a4，求」「
a1a21
2a
a1的值.2a1
已知
ab3,
求代数式2（ab）
4（a
b）的值
ab
ab
3（a
b）
已知
2小
x3x
80,求代数式
1
x24x4x1的值
x
2
x1x2
已知
:
xy12
xy4，求
y1的值.
已知2ab10,求代数式（a2b2）（旦1）（ab）的值.ab
y1x1
已知2xy10xy，求代数式4xxy2y的值.
2x4xyy
已知彳
2
【巩固】
【巩固】
【例1】
【例2】
【例3】
【巩固】
【例4】
【例5】
【例6】
【例7】
【例8】
【巩固】
【例9】
【巩固】
【例10】
【例11】
【例12】
【巩固】
ca
【例13】已知：
丄丄
xy
【巩固】设111,求2y3xy2x
xy4yx2xy
【例14】设113，求3y2xy3x的值
xyx7xyy
22
【巩固】如果空翌5，求竺［如26y的值.
yx2x23y2
【例15】已知丄11，求5m7mn5n的值.
mn2n3mn2m
【例16】已知a,b,c为实数，且-ab1,-b^1,-c^1，求型
ab3bc4ca5abbc
121
【例17】已知x13，则代数式x2—的值为.
xx
1.7，求x22的值.
xx
11
飞3，求a-的值.
aa.5，求x-的值.
x
1
1，求一a的值.
a
2
2，求4X2的值.
xx1
3
x
则一
4x
=
a2
4
（注:
分步给分，
化简正确给
5
分.）
方法二
一：
原式=
a
2
（a2）（a2）
a
2a2
=
a（a
2）
2（a
2）
2a
4
取a=1,得
7分
原式=5
7分
:
答案不唯一.如果求值这一步，取
a=2或—2，则不给分.）
【例24】已知xyz3aa0,
考点训练:
1、化简:
2m1
2
m9m3
2、化简:
2a
3xx2x
'27
x2x2x4
a23a
a
3
2
a24a4
a
2
a2
4、先化简，再求值:
，其中a、22.
5、先化简，再求值:
11亠b
ababa22ab
了，其中，b1，2
2
xx3x2x1
x1x21x3
7、先化简，再求值：
X24x4（x2），其中X5
2x4
a+2b「2b2”亠1
8、先化简，再求值：
+22，其中a—2,b--
a+ba2—b23
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