值域求值域的方法大全与习题加详细讲解.docx
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值域求值域的方法大全与习题加详细讲解
求值域方法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域
常用求值域方法
（1）、直接观察法：
利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
y
1,x
[1,2]
）
例1
、求函数
x
的值域。
（
例2
、求函数y
3
x的值域。
（
）
答案：
值域是：
[
3]
【同步练习
1】函数
y
1
（
）
2x2的值域.
解：
{y0
y
1}
2
（2）、配方法：
二次函数或可转化为形如F（x）a[f（x）]2bf（x）c类的函数的值域问题，均可用配方
法，而后一情况要注意f（x）的围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例1、求函数yx2x5,xR的值域。
（）
例2
、求函数y
x2
2x
5,x
[1,2]的值域。
（
）
解：
将函数配方得：
y（x
1）2
4
∵x[1,2]
由二次函数的性质可知：
当
x=1
时，ymin
4，当x
1时，ymax
8
故函数的值域是：
[4，8]
例3
、求y2log2
2x2
6log2x
6
2log2x
22
2。
（
）（配方法、换元法）
解：
所以当x
1时，y有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
4
例4
、设0≤x≤2，求函数f（x）4x
3g2x11的值域．
解：
f（x）4x
3g2x11
（2x
3）2
8，
∵0≤x≤2，∴≤2x≤4．
∴当2x
3时，函数取得最小值
8；当2x
1时，函数取得最大值
4，
∴函数的值域为[
8，4]
．
评注：
配方法往往需结合函数图象求值域．
例5、求函数y
2x
3
4x
13的值域。
（
）（配方法、换元法）
解：
y
1
4x
6
2
4x
13
1
4x
13
24x
13
7
2
2
1
4
x
13
1
2
3，所以
y
7
7
2
2
，故所求函数值域为
[2
=
，+∞]。
例6、求函数y
2
x2
4x
的值域。
（
）（配方法）
y0,2。
【同步练习
（
）
2】
1
、求二次函数y
x2
4x
2（x
1,4）的值域.
（
）
2
、求函数y
ex2
4x
3
的值域.
（
）
3
、求函数y
4
x
2x
1,x
[
3,2]的最大值与最小值
.（
）
4
、求函数
y
log2
x
log2
x（
x
[1,8]）的最大值和最小值
.（
）
2
4
、已知x
0,2
，求函数f（x）
x
1
32x
5的值域.（
）
5
4
2
6、若x2y4,x0,y0,试求lgxlgy的最大值。
（）
最大值lg2。
（3）、换元法：
（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．
例1、求
f（x）
x
1x的值域．
解：
令
1x
t
0，则
x
2
1t（t
≥
0），
2
f（x）
f（1t2）1t2
t
t
1
5≤5，
2
4
4
所以函数值域为
5
，．
4
评注：
利用引入的新变量
t，使原函数消去了根号，转化成了关于
t的一元二次函数，使问题得以解决．用
换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值围，它是新函数的定义域．
小结：
【同步练习3】求函数y
x
1
2x的值域。
解：
由1
2x
0，得x
1。
令
1
2x
tt
0
2
1t
2
1
t
2
1
2
1
得x
，于是y
t
t1
0，所以y
。
故所求函数值域为[-∞，
1，因为t
2
2
2
2
1
]。
2
例2、求函数yx1x2x2的值域。
解：
设
x
sin
，则
2
y
sin
cos
sin2
1sin2
11
cos2
1
2sin2
。
2
2
2
2
4
所以
1
2
y
1
2
1
2
1
2
。
2
2
，故所求函数值域为
，
2
2
【同步练习
4】求函数y
x
45
x2
的值域。
解：
由5
x2
0，可得|x|
5
故可令x
5cos,
[0,
]
y
5cos
4
5sin
10sin（
）
4
4
∵0
5
4
4
4
当
/4时，ymax
4
10
当
时，ymin
4
5
故所求函数的值域为：
[45,410]
小结：
【同步练习
5】
1
、求函数y
x
1
2x的值域.
（
）
2
、求函数y
x
2
1（x1）
2
）
的值域。
（
解：
因1
（x
1）2
0
即（x1）21
故可令x1
cos,
[0,
]
∴y
cos
1
1
cos2
sin
cos1
2sin（
）
1
4
0
0
5
4
4
∵
2
）
1
sin（
2
4
0
2sin（
）
11
2
4
故所求函数的值域为
[0,1
2]
3、已知函数f（x）的值域为
3,5
，求函数yf（x）
12f（x）的值域.（
）
89
（4）、函数有界性法（方程法）
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
sinx
3
例1、求函数y
的值域。
sinx
3
解：
因为sinx
30，所以ysinx3y
sinx
3
3y
1
，则sinx
y
1
由于sinx
3y
1
2y
1
1
1，所以
1，解得
。
故所函数的值域为[-2，-]。
1
y
2
2
求函数y
x2
1
x2
的值域
1
x2
1
y
0
1
y
1
原函数的值域为
11
1
y
例
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