三年高考数学理真题分类解析专题10三角函数图象与性质.docx
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三年高考数学理真题分类解析专题10三角函数图象与性质
专题10三角函数图象与性质
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.三角函数的图
象及其变换
①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;
②了解函数y=Asin（ωx+φ）的物理意义;能画出y=Asin（ωx+φ）的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响
掌握
2017课标全国Ⅰ,9;
2016北京,7;
2016课标全国Ⅲ,14;
2015湖南,9
选择题
填空题
解答题
★★★
2.三角函数的性
质及其应用
理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等）.理解正切函数的单调性
理解
2017课标全国Ⅲ,6;
2016课标全国Ⅱ,7;
2015课标Ⅰ,8
选择题
填空题
解答题
★★★
分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.
2018年高考全景展示
1．【2018年理天津卷】将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数
A.在区间
上单调递增B.在区间
上单调递减
C.在区间
上单调递增D.在区间
上单调递减
【答案】A
【解析】分析：
由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
详解：
由函数图象平移变换的性质可知：
将
的图象向右平移
个单位长度之后的解析式为：
.则函数的单调递增区间满足：
，即
，令
可得一个单调递增区间为：
.函数的单调递减区间满足：
，即
，令
可得一个单调递减区间为：
.本题选择A选项.
点睛：
本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．【2018年理北京卷】设函数f（x）=
，若
对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
【答案】
点睛：
函数
的性质
（1）
.
（2）周期
（3）由
求对称轴，最大值对应自变量满足
，最小值对应自变量满足
，
（4）由
求增区间;由
求减区间.
3．【2018年江苏卷】已知函数
的图象关于直线
对称，则
的值是________．
【答案】
【解析】分析：
由对称轴得
，再根据限制范围求结果.
详解：
由题意可得
，所以
，因为
，所以
点睛：
函数
（A>0,ω>0）的性质：
（1）
；
（2）最小正周期
；（3）由
求对称轴；（4）由
求增区间;由
求减区间.
4．【2018年全国卷Ⅲ理】函数
在
的零点个数为________．
【答案】
点睛：
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。
2017年高考全景展示
1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：
y=cosx，C2：
y=sin（2x+
），则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】
试题分析：
因为
函数名不同，所以先将
利用诱导公式转化成与
相同的函数名，则
，则由
上各点的横坐标缩短到原来的
倍变为
，再将曲线向左平移
个单位得到
，故选D.
【考点】三角函数图像变换.
【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住
；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量
而言.
2.【2017课标3，理6】设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是
A．f（x）的一个周期为−2πB．y=f（x）的图像关于直线x=
对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（
π）单调递减
【答案】D
【解析】
试题分析：
函数的最小正周期为
，则函数的周期为
，取
，可得函数
的一个周期为
，选项A正确；
函数的对称轴为
，即：
，取
可得y=f（x）的图像关于直线x=
对称，选项B正确；
，函数的零点满足
，即
，取
可得f（x+π）的一个零点为x=
，选项C正确；
当
时，
，函数在该区间内不单调，选项D错误；
故选D.
【考点】函数
的性质
【名师点睛】
（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，则最小正周期为
；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式.
（2）求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）的对称轴，只需令
，求x；求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z）即可.
3.【2017天津，理7】设函数
，
，其中
，
.若
，
，且
的最小正周期大于
，则
（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，
【答案】
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关
问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定
，再根据周期或
周期或
周期求出
，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的
值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求
或
的值或最值或范围等.
4.【2017山东，理16】设函数
，其中
.已知
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求
在
上的最小值.
【答案】（Ⅰ）
.（Ⅱ）得最小值
.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知
及
可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而
.
根据
得到
，进一步求最小值.
试题解析：
（Ⅰ）因为
，
所以
由题设知
，
所以
，
.故
，
，又
，所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
.因为
，
所以
，当
，
即
时，
取得最小值
.
【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2理数】若将函数
的图像向左平移
个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】
试题分析：
由题意，将函数
的图像向左平移
个单位得
，则平移后函数的对称轴为
，即
，故选B.
考点：
三角函数的图象变换与对称性.
【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
2.【2016高考新课标1卷】已知函数
为
的零点,
为
图像的对称轴,且
在
单调,则
的最大值为（）
（A）11（B）9（C）7（D）5
【答案】B
考点：
三角函数的性质
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:
①
的单调区间长度是半个周期;②若
的图像关于直线
对称,则
或
.
3.【2016年高考四川理数】为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（）
（A）向左平行移动
个单位长度（B）向右平行移动
个单位长度
（C）向左平行移动
个单位长度（D）向右平行移动
个单位长度
【答案】D
【解析】
试题分析：
由题意，为了得到函数
，只需把函数
的图像上所有点向右移
个单位，故选D.
考点：
三角函数图像的平移.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数
的图象平移变换中要注意人“
”的影响，变换有两种顺序：
一种
的图象向左平移
个单位得
，再把横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得
的图象，另一种是把
的图象横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得
的图象，向左平移
个单位得
的图象．
4.【2016高考浙江理数】设函数
，则
的最小正周期（）
A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】
试题分析：
，其中当
时，
，此时周期是
；当
时，周期为
，而
不影响周期．故选B．
考点：
1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．
【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数
，再判断
和
的取值是否影响函数
的最小正周期．
5.【2016年高考北京理数】将函数
图象上的点
向左平移
（
）个单位长度得到点
，若
位于函数
的图象上，则（）
A.
，
的最小值为
B.
，
的最小值为
C.
，
的最小值为
D.
，
的最小值为
【答案】A
【解析】
试题分析：
由题意得，
，故此时
所对应的点为
，此时向左平移
个单位，故选A.
考点：
三角函数图象平移
【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：
一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换
6.【2016高考山东理数】函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx–sinx）的最小正周期是（）
（A）
（B）π（C）
（D）2π
【答案】B
【解析】
试题分析：
故最小正周期
故选B.
考点：
1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
7.【2016高考新课标3理数】函数
的图像可由函数
的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
考点：
1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．
【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母
而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
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