三年高考数学理真题分类解析专题10三角函数图象与性质.docx

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三年高考数学理真题分类解析专题10三角函数图象与性质

专题10三角函数图象与性质

考纲解读明方向

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

1.三角函数的图

象及其变换

①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;

②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响

掌握

2017课标全国Ⅰ,9;

2016北京,7;

2016课标全国Ⅲ,14;

2015湖南,9

选择题

填空题

解答题

★★★

2.三角函数的性

质及其应用

理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等).理解正切函数的单调性

理解

2017课标全国Ⅲ,6;

2016课标全国Ⅱ,7;

2015课标Ⅰ,8

选择题

填空题

解答题

★★★

分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.

2018年高考全景展示

1.【2018年理天津卷】将函数

的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数

A.在区间

上单调递增B.在区间

上单调递减

C.在区间

上单调递增D.在区间

上单调递减

【答案】A

【解析】分析:

由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可.

详解:

由函数图象平移变换的性质可知:

的图象向右平移

个单位长度之后的解析式为:

.则函数的单调递增区间满足:

,即

,令

可得一个单调递增区间为:

.函数的单调递减区间满足:

,即

,令

可得一个单调递减区间为:

.本题选择A选项.

点睛:

本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2.【2018年理北京卷】设函数f(x)=

,若

对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.

【答案】

点睛:

函数

的性质

(1)

.

(2)周期

(3)由

求对称轴,最大值对应自变量满足

,最小值对应自变量满足

(4)由

求增区间;由

求减区间.

3.【2018年江苏卷】已知函数

的图象关于直线

对称,则

的值是________.

【答案】

【解析】分析:

由对称轴得

,再根据限制范围求结果.

详解:

由题意可得

,所以

,因为

,所以

点睛:

函数

(A>0,ω>0)的性质:

(1)

(2)最小正周期

;(3)由

求对称轴;(4)由

求增区间;由

求减区间.

4.【2018年全国卷Ⅲ理】函数

的零点个数为________.

【答案】

点睛:

本题主要考查三角函数的性质和函数的零点,属于基础题。

2017年高考全景展示

1.【2017课标1,理9】已知曲线C1:

y=cosx,C2:

y=sin(2x+

),则下面结论正确的是

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

个单位长度,得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

个单位长度,得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

个单位长度,得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

个单位长度,得到曲线C2

【答案】D

【解析】

试题分析:

因为

函数名不同,所以先将

利用诱导公式转化成与

相同的函数名,则

,则由

上各点的横坐标缩短到原来的

倍变为

,再将曲线向左平移

个单位得到

,故选D.

【考点】三角函数图像变换.

【名师点睛】对于三角函数图像变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住

;另外,在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量

而言.

2.【2017课标3,理6】设函数f(x)=cos(x+

),则下列结论错误的是

A.f(x)的一个周期为−2πB.y=f(x)的图像关于直线x=

对称

C.f(x+π)的一个零点为x=

D.f(x)在(

π)单调递减

【答案】D

【解析】

试题分析:

函数的最小正周期为

,则函数的周期为

,取

,可得函数

的一个周期为

,选项A正确;

函数的对称轴为

,即:

,取

可得y=f(x)的图像关于直线x=

对称,选项B正确;

,函数的零点满足

,即

,取

可得f(x+π)的一个零点为x=

,选项C正确;

时,

,函数在该区间内不单调,选项D错误;

故选D.

【考点】函数

的性质

【名师点睛】

(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,则最小正周期为

;奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asinωx或y=Acosωx+b的形式.

(2)求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令

,求x;求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.

3.【2017天津,理7】设函数

,其中

.若

,且

的最小正周期大于

,则

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】

【考点】求三角函数的解析式

【名师点睛】有关

问题,一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围,一般先根据图象的最高点或最低点确定

,再根据周期或

周期或

周期求出

,最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式,求出满足条件的

值,另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点,如对称轴或曲线经过的点的坐标,根据题意自己画出图象,再寻求待定的参变量,题型很活,求

的值或最值或范围等.

4.【2017山东,理16】设函数

,其中

.已知

.

(Ⅰ)求

(Ⅱ)将函数

的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移

个单位,得到函数

的图象,求

上的最小值.

【答案】(Ⅰ)

.(Ⅱ)得最小值

.

【解析】试题分析:

(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简得到

由题设知

可得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

从而

.

根据

得到

,进一步求最小值.

试题解析:

(Ⅰ)因为

所以

由题设知

所以

.故

,又

,所以

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

所以

.因为

所以

,当

时,

取得最小值

.

【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.

【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是忽视设定角的范围.难度不大,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.

2016年高考全景展示

1.【2016高考新课标2理数】若将函数

的图像向左平移

个单位长度,则平移后图象的对称轴为()

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】B

【解析】

试题分析:

由题意,将函数

的图像向左平移

个单位得

,则平移后函数的对称轴为

,即

,故选B.

考点:

三角函数的图象变换与对称性.

【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.

2.【2016高考新课标1卷】已知函数

的零点,

图像的对称轴,且

单调,则

的最大值为()

(A)11(B)9(C)7(D)5

【答案】B

考点:

三角函数的性质

【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:

的单调区间长度是半个周期;②若

的图像关于直线

对称,则

.

3.【2016年高考四川理数】为了得到函数

的图象,只需把函数

的图象上所有的点()

(A)向左平行移动

个单位长度(B)向右平行移动

个单位长度

(C)向左平行移动

个单位长度(D)向右平行移动

个单位长度

【答案】D

【解析】

试题分析:

由题意,为了得到函数

,只需把函数

的图像上所有点向右移

个单位,故选D.

考点:

三角函数图像的平移.

【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在函数

的图象平移变换中要注意人“

”的影响,变换有两种顺序:

一种

的图象向左平移

个单位得

,再把横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变,得

的图象,另一种是把

的图象横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变,得

的图象,向左平移

个单位得

的图象.

4.【2016高考浙江理数】设函数

,则

的最小正周期()

A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关

C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关

【答案】B

【解析】

试题分析:

,其中当

时,

,此时周期是

;当

时,周期为

,而

不影响周期.故选B.

考点:

1、降幂公式;2、三角函数的最小正周期.

【思路点睛】先利用三角恒等变换(降幂公式)化简函数

,再判断

的取值是否影响函数

的最小正周期.

5.【2016年高考北京理数】将函数

图象上的点

向左平移

)个单位长度得到点

,若

位于函数

的图象上,则()

A.

的最小值为

B.

的最小值为

C.

的最小值为

D.

的最小值为

【答案】A

【解析】

试题分析:

由题意得,

,故此时

所对应的点为

,此时向左平移

个单位,故选A.

考点:

三角函数图象平移

【名师点睛】三角函数的图象变换,有两种选择:

一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩.特别注意平移变换时,当自变量x的系数不为1时,要将系数先提出.翻折变换要注意翻折的方向;三角函数名不同的图象变换问题,应先将三角函数名统一,再进行变换

6.【2016高考山东理数】函数f(x)=(

sinx+cosx)(

cosx–sinx)的最小正周期是()

(A)

(B)π(C)

(D)2π

【答案】B

【解析】

试题分析:

故最小正周期

故选B.

考点:

1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质.

【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,本题较易,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.

7.【2016高考新课标3理数】函数

的图像可由函数

的图像至少向

右平移_____________个单位长度得到.

【答案】

考点:

1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数.

【误区警示】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母

而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少.

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