设在磁场中运动的最长时间为tmax，则tmax＝
＝
×10－6s
若α粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆弧轨迹的弦长最短，则α粒子在磁场中运动的时间最短.最短的弦长为磁场宽度d.设在磁场中运动的最短时间为tmin，轨迹如图乙所示，因R＝d，则圆弧对应的圆心角为60°，故tmin＝
＝
×10－6s.
模型3 圆形边界磁场
沿径向射入圆形磁场必沿径向射出，运动具有对称性（如图9所示）
图9
r＝
t＝
T＝
θ＋α＝90°
例4
（2017·全国卷Ⅱ·18）如图10，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为（ ）
图10
A.
∶2B.
∶1
C.
∶1D.3∶
答案 C
解析 当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcos60°＝
R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcos30°＝
R；根据轨道半径公式r＝
可知，v2∶v1＝r2∶r1＝
∶1，故选项C正确.
甲 乙
变式4
（2016·全国卷Ⅱ·18）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图11所示.图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动.在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角.当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒.不计重力.若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（ ）
图11
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 画出粒子的运动轨迹如图所示，
由洛伦兹力提供向心力得，qvB＝m
，又T＝
，联立得T＝
由几何知识可得，轨迹的圆心角为θ＝
，在磁场中运动时间t＝
T，粒子运动和圆筒运动具有等时性，则
T＝
，解得
＝
，故选项A正确.
模型4 三角形边界磁场
例5
如图12所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q（q>0）的带电粒子（重力不计）从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足（ ）
图12
A.B>
B.B<
C.B>
D.B<
答案 B
解析 若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，
则粒子运动的半径为r0＝
＝
a.由qvB＝
得r＝
，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<
，选项B正确.
命题点三 带电粒子在磁场运动的多解问题
类型
分析
图例
带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具有周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
例6
（2017·湖北华中师大一附中模拟）如图13甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：
图13
（1）磁感应强度B0的大小.
（2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值.
答案
（1）
（2）
（n＝1,2,3，…）
解析 设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向.
（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得磁感应强度B0＝
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝
；当两板之间正离子运动n个周期，即nT0时，有R＝
（n＝1,2,3，…）.
联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝
＝
（n＝1,2,3，…）
变式5
（多选）如图14所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点.一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（ ）
图14
A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是
t0，则它一定从cd边射出磁场
B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是
t0，则它一定从ad边射出磁场
C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是
t0，则它一定从bc边射出磁场
D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场
答案 AC
解析 如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.
由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于
t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于
t0，小于
t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于
t0，小于
t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是
t0，综上可知，A、C正确，B、D错误.
1.下列说法正确的是（ ）
A.运动电荷在磁感应强度不为0的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B.运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为0
C.洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D.洛伦兹力对带电粒子总不做功
答案 D
2.如图1为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹.云室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直.由此可知粒子（ ）
图1
A.一定带正电
B.一定带负电
C.不带电
D.可能带正电，也可能带负电
答案 A
3.如图2所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，两个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图.若带电粒子只受洛伦兹力的作用，则下列说法正确的是（ ）
图2
A.a粒子速率较大
B.b粒子速率较大
C.b粒子在磁场中运动时间较长
D.a、b粒子在磁场中运动时间一样长
答案 B
4.如图3所示，长直导线ab附近有一带正电荷的小球用绝缘丝线悬挂在M点.当ab中通以由b→a的恒定电流时，下列说法正确的是（ ）
图3
A.小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向里
B.小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向外
C.小球受磁场力作用，方向与导线垂直并指向左方
D.小球不受磁场力作用
答案 D
5.如图4所示，一正电荷水平向右射入蹄形磁铁的两磁极间.此时，该电荷所受洛伦兹力的方向是（ ）
图4
A.向左B.向右
C.垂直纸面向里D.垂直纸面向外
答案 D
6.（多选）（2018·安徽芜湖调研）如图5所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B；一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场.其中某一速率为v0的电子从Q点射出.已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断（ ）
图5
A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.所有电子在磁场中的轨迹相同
C.速率大于v0的电子在磁场中运动时间长
D.所有电子的速度方向都改变了2θ
答案 AD
解析 由左手定则可知，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A选项正确；由qvB＝
得R＝
，可知所有电子在磁场中的轨迹不相同，B选项错误；由T＝
得T＝
，所以所有电子在磁场中的运动时间都相同，C选项错误；所有电子偏转角度相同，所有电子的速度方向都改变了2θ，D选项正确.综上本题选A、D.
7.如图6所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则（ ）
图6
A.带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1
B.带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为
∶1
C.带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为2∶1
D.带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为1∶2
答案 A
解析 设匀强磁场圆形区域的半径为R，由qBv＝
，
得R′＝
，可知带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，半径分别为R1′＝Rtan30°，R2′＝Rtan60°，所以R1′∶R2′＝1∶3，则带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1；由T＝
知，带电粒子1和2的周期之比为1∶3，所以带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为
＝
.综上本题选A.
8.（多选）（2018·广东广州模拟）如图7所示，真空中xOy平面内有一束宽度为d的带正电粒子束沿x轴正方向运动，所有粒子为同种粒子，速度大小相等，在第一象限内有一方向垂直xOy平面的有界匀强磁场区（图中未画出），所有带电粒子通过磁场偏转后都会聚于x轴上的a点.下列说法中正确的是（ ）
图7
A.磁场方向一定是垂直xOy平面向里
B.所有粒子通过磁场区的时间相同
C.所有粒子在磁场区运动的半径相等
D.磁场区边界可能是圆，也可能是其他曲线
答案 CD
解析 由题意可知，正粒子经磁场偏转后，都集中于一点a，根据左手定则可知，磁场的方向垂直平面向外，故A错误；由洛伦兹力提供向心力，可得T＝
，而运动的时间还与圆心角有关，因此粒子的运动时间不等，故B错误；由洛伦兹力提供向心力，可得R＝
，由于为同种粒子，且速度大小相等，所以它们的运动半径相等，故C正确；所有带电粒子通过磁场偏转后都会聚于x轴上的a点，因此磁场区边界可能是圆，也可能是圆弧，故D正确；故选C、D.
9.（多选）（2018·甘肃平凉质检）如图8所示，ABCA为一半圆形的有界匀强磁场.O为圆心，F、G分别为半径OA和OC的中点，D、E点位于边界圆弧上，且DF∥EG∥BO.现有三个相同的带电粒子（不计重力）以相同的速度分别从B、D、E三点沿平行BO方向射入磁场，其中由B点射入磁场的粒子1恰好从C点射出.由D、E两点射入的粒子2和粒子3从磁场某处射出，则下列说法正确的是（ ）
图8
A.粒子2从O点射出磁场
B.粒子3从C点射出磁场
C.粒子1、2、3在磁场的运动时间之比为3∶2∶3
D.粒子2、3经磁场偏转角相同
答案 ABD
解析 从B点射入磁场的粒子1恰好从C点射出，可知带电粒子运动的轨迹半径等于磁场的半径，由D点射入的粒子2的圆心为E点，由几何关系可知该粒子从O点射出，同理可知粒子3从C点射出，A、B正确；1、2、3三个粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为90°、60°、60°，运动时间之比为3∶2∶2，C错误，D正确.
10.如图9所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一个粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场.已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于
（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
图9
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动.由粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从S点作OC的垂线SD，则SD为最短弦，可知粒子从D点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为
，可知△O′SD为等边三角形，粒子圆周运动半径R＝SD，过S点作OA的垂线交OC于E点，由几何关系可知SE＝2SD，SE为圆弧轨迹的直径，所以从E点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t＝
，故B项正确.
11.如图10所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计，求：
图10
（1）磁场的磁感应强度B的大小；
（2）正方形区域的边长；
（3）粒子再次回到M点所用的时间.
答案
（1）
（2）4R （3）
解析
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹
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