0后的和等于原数。
即:
⑶当b=0时,a+b=a
4.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示为:
a-b=a+(-b)
。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。
如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(将减法转换成加法)
=-33+18-15-1+23
(省略加号和括号)
=(-33-15-1)+(18+23)
(把符号相同的加数相结合)
=-49+41
(运用加法法则一进行运算)
=-8
(运用加法法则二进行运算)
Ⅱ.把和为整数的加数相结合
(凑整法)
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)
(将减法转换成加法)
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8
(省略加号和括号)
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8
(把和为整数的加数相结合)
=4-10+3.8
(运用加法法则进行运算)
=7.8-10
(把符号相同的加数相结合,并进行运算)
=-2.2
(得出结论)
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
3
1
3
2
1
7
-
-
+-
5
+
-
5
2
4
2
8
原式=(-
3-
2)+(-
1+1)+(+
3-
7)
5
5
2
2
4
8
=-1+0-1
8
=-11
8
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
(+0.125)-(-3
3
1
2
)+(-3
)-(-10
)-(+1.25)
4
8
3
原式=(+1)+(+3
3)+(-3
1)+(+102)+(-1
1)
8
4
8
3
4
=1+33
-31+102
-11
8
4
8
3
4
=(33
-11)+(
1-31)+10
2
4
4
8
8
3
=21-3+102
23
1
=-3+13
6
=101
6
Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
-31+106-121+47
5112215
1
7
6
1
原式=(-3+10-12+4)+(-
+)+(
-
)
5
15
11
22
=-1+
4+11
15
22
=-1+
8+15
30
30
-7
30
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9⋯+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+
⋯+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ.先拆项后结合
(1+3+5+7⋯+99)-(2+4+6+8⋯+100)
有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一:
两数相乘,同号得正,异号得负,
并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”
的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:
任何数同
0相乘,都得0;
法则三:
几个不是
0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,
积是负数;
法则四:
几个数相乘,如果其中有因数为
0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为
a·1=1(a≠0),就是
说a和1互为倒数,即
a是1的倒数,
1是a的倒数。
a
a
a
a
注意:
①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把
带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
(求一个数的倒数,不改变这个数的性质)
;
④倒数等于它本身的数是
1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
即ab=ba
⑵乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律:
一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0
5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
有理数的乘方
1.乘方的概念
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在an中,a叫做底数,n叫做指数。
2.乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
科学记数法
把一个大于10的数表示成a10n的形式(其中1a10,n是正整数),这种记数法是科学记数法。
用字母表示数
代数式
代数式:
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式:
表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数:
单项式中的数字因数
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数和
多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为0。
整式:
单项式和多项式统称为整式。
注意:
分母上含有字母的不是整式。
代数式书写规范:
①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示,并把数字放到字母前;
②出现除式时,用分数表示;
③带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数;
④若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来。
合并同类项
同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项的法则:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。
合并同类项的步骤:
(1)准确的找出同类项;
(2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起;
(3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;(4)写出合并后的结果。
去括号的法则
(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不变;
(2)括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号都要改变。
整式的加减:
进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项。
整式加减的步骤:
(1)列出代数式;
(2)去括号;(3)合并同类项。
一元一次方程
一元一次方程的概念:
只含有一个未知数(元)且未知数的指数是
1(次)的方程叫做一元一次方程。
一般形式:
ax+b=0(a≠0)
注意:
未知数在分母中时,它的次数不能看成是
1次。
如1
3
x,它不是一元一次方程。
x
解一元一次方程
方程的解:
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程:
求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质:
(1)等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;
(2)等式两边都乘或除以同一个不等于
0的数,所得结果仍是等式。
移项
移项:
方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。
移项的依据:
(1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质
1;
(2)系数化为1实
际上就是对方程两边同时乘除,根据是等式的性质
2。
移项的作用:
移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对
常数项合并。
注意:
移项时要跨越“=”号,移过的项一定要变号。
解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为
1。
注意:
去分母时不可漏乘不含分母的项。
分数线有括号的作用,去掉分母后,若分子是多项式,要加括
号。
解下列方程:
(1)4x342x;
(2)4x
3(20
x)6x
7(9
x);(3)x1
5x
3
x
1;(4)
2
6
3
0.1x0.2
x1
0.02
3
0.5
用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤:
审清题意、设未知数(元)、列出方程、解方程、写出答案。
关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程。
解决问题的策略:
利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
实际问题的常见类型:
行程问题:
路程=时间×速度,时间
路程
路程
=
,速度=
速度
时间
(单位:
路程——米、千米;时间——秒、分、时;速度——米/秒、米/分、千米/小时)
工程问题:
工作总量=工作时间×工作效率,工作总量=各部分工作量的和
利润
利润问题:
利润=售价-进价,利润率=,售价=标价×(1-折扣)
进价
等积变形问题:
长方体的体积=长×宽×高;圆柱的体积=底面积×高;锻造前的体积=锻造后的体积利息问题:
本息和=本金+利息;利息=本金×利率
走进图形世界
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:
有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:
有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体
(1)几何图形的组成
点:
线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:
面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:
包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:
几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、生活中的立体图形圆柱
柱体
棱柱:
三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、⋯⋯
生活中的立体图形球体
(按名称分)圆锥
椎体
棱锥
4、棱柱及其有关概念:
棱:
在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。
侧棱:
相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等,棱柱的上下两个底面是相同的多边形,直棱柱的侧面是长方形。
棱柱的侧面有可能是长方形,也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图:
11种
6、截一个正方体:
用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边
形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图:
从正面看到的图,叫做主视图。
左视图:
从左面看到的图,叫做左视图。
俯视图:
从上面看到的图,叫做俯视图。
平面图形的认识
线段,射线,直线
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就
射线
只能向一方延伸
1
成射线,向两方延
都是直的线
直线
可向两方无限延伸
无
长就成直线
点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。