大一数学分析复习题.docx

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大一数学分析复习题

方法一：

应用数列极限的定义（证明题）

用定义求数列极限有几种模式：

（1），作差，解方程，解出，则取或

（2）将适当放大，解出；

（3）作适当变形，找出所需N的要求。

方法二：

常用方法：

约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子（母）有理化求极限

方法三（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足：

存在正整数,当时有：

则数列收敛，且。

方法四：

（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。

方法五：

两个重要极限是和

方法六：

（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：

对任给的，存在正整数N，使得当n，m时，有

方法七：

Stolz定理：

设n>N时，且，若（为有限数或无穷大），则

方法八：

形如数列极限

方法九：

用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式），常见等价无穷小有：

当时,,

；

方法十：

用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求极限，数列极限转化成函数极限求解。

算术－几何－调和平均不等式：

对记

（算术平均值）

（几何平均值）

（调和平均值）

有均值不等式:

等号当且仅当时成立.

（3）Bernoulli不等式:

（在中学已用数学归纳法证明过）

对由二项展开式

（４）Cauchy－Schwarz不等式:

　（）,有

（5），

；

；

；

导数微分及应用习题

判断:

1、若可微，且为上的偶函数，则必为上的偶函数；（）

2若是上的奇函数，则必为上的偶函数；（）

3、如果函数在点的左、右极限都存在，则函数在点的极限存在（）

4、若函数在点连续，则在点可导；（）

5、若函数在点连续，则在点的极限一定存在；（）

6、若函数在点可微，则在点可导；（）

7、如果函数在点的左、右极限都存在，则在点可导；（）

8、若函数在点连续，则函数在点的左、右极限都存在且相等；（）

9、若在点不可导，则函数在点一定不连续；（）

10、若函数在点不可微，则在点不可导；（）

11、若函数在点不可微，则的左、右极限一定不存在；（）

12、设函数在点可导，导数为，则（）

13、设函数在点可导，导数为，则（）

14、设函数在点可导，导数为，则（）

15、函数在处不可导；（）

16、函数在处不连续；（）

17.若存在，且，则（）

18、若在上可导，则在上有界；（）

19、若在点导数不存在，则曲线在点处没有切线；（）

20、曲线上点处的法线的斜率为；（）

21.设在可微，则当时，

是关于高阶的无穷小；（）

22、若，则在处不可导；（）

23、若，则在处可导但；（）

24、若，则在处可导且；（）

25、若，则；（）

1.设在的某个邻域内具有二阶连续导数，则（）.

A、0；B、；C、；D、；.

2、设在的邻域内连续，且有，则（）.

A、0；B、；C、；D、.

3.设，则（）.

A、；B、；C、；D、.

4.设在点处可微，，则（）.

A、2；B、1；C、0；D、.

5.设，其中为二阶可导函数，则（）.

A、；B、；C、；D、.

6.如果在区间内，，则在内与（）.

A、仅相差一个常数；B、完全相等；C、均为常数；D、为常数）.

7.设为可导的偶函数，则为（）.

A、偶函数；B、可能是偶函数；

C、奇函数；D、非奇非偶函数.

8、设在处可导，则（）.

A、0；B、；C、；D、.

9、设，则（）.

A、－3；B、3；C、0；D、.

10、设在区间内连续，，则在点处（）.

A、极限存在且可导；B、极限不存在，但可导；

C、极限存在，但不一定可导；D、极限不一定存在.

11.设，则在处（）.

A、无定义；B、不连续；C、连续且可导；D、连续但不可导.

12、设，在可导，则必有（）.

A、；B、；C、；D、.

13、，则在处的导数（）.

A、0；B、－1；C、不存在；D、1.

14、可微的周期函数其导数（）.

A、一定是周期函数，且周期不变；B、一定是周期函数，但周期可能发生变化；C、不一定是周期函数；D、一定不是周期函数.

15、设为可微的偶函数，且对任意的，则（）.

A、；B、；C、2；D、－2.

16.曲线上，切线平行于直线的点的坐标为（）.

A、（1，－3）；B、（3，－3）；C、（－1，5）；D、（2，0）.

17、设，其中为可微函数，则（）.

A、；B、；

C、；D、.

18、设，则（）.

A、；B、；C、；D、.

19.设为可微函数，若，则（）.

A、；B、；C、；D、.

20、下列函数中导数等于的是（）.

A、；B、；C、；D、.

21、曲线在点处的切线与直线垂直，则此曲线在点处的切线方程为（）.

A、；B、；C、；D、.

22.设，则（）.

A、；B、；C、2；D、.

23、设，则（）.

A、；B、；C、；D、.

24、下列函数中在点连续且可导的是（）.

A、；B、；

C、；D、.

25、设方程确定是的函数，则（）.

A、；B、1；C、；D、0.

26.其中为可微函数，则（）.

A、；B、；C、；D、.

27.设，其中为有限值，则在处（）.

A、可导且；B、可导但；C、不一定可导；D、肯定不可导.

28.曲线在点处的切线斜率为3，则点的坐标为（）.

A、（1，0）；B、（0，1）；C、（1，3）；D、（1，－2）.

29、设，则（）.

A、；B、；C、；D、.

30.设具有二阶导数，，则（）.

A、；B、；C、；D、.

31、函数，则在处（）.

A、间断；B、连续但不可导；C、连续且导数为0；D、连续且导数为－1.

32.设，在可导，则的值为（）.

A、；B、；C、；D、.

33、，则（）.

A、；B、；C、6；D、－6.

34.若在处不可导，则在点（）.

A、无意义；B、左、右极限不相等；C、不一定可导；D、不可微.

35、若，则（）.

A、；B、；C、；D、.

36.若，且，则（）.

A、；　　　B、；　C、；　　D、．

37、设函数，则（）.

A、-1；　B、；C、1；　　　D、．

38.，在处（）.

A、不可导；B、连续且可导；C、不连续但可导；D、不连续.

39、设，则的有关论证正确的是（）.

A、在点处可微；B、，

C、，D、在点处可导.

40.设（其中为常数），则（）.

A、；B、0；C、1；D、.

41、设（其中为常数），则（）.

A、；B、0；C、1；D、.

42.设，则（）.

A、；B、；C、；D、0.

43.设函数，则函数在处（）.

A、不连续；B、连续，不可导；

C、可导，但不连续；D、可导且导数也存在.

44、设，则（）.

A、；B、；C、；D、.

45.已知函数，则函数在点处的导数（）.

A、；B、；C、；D、不存在.

46.设，则（）.

A、；B、；C、1；D、0.

47.设，则（）.

A、0；B、1；C、－1；D、2.

48、设，则（）.

A、；B、；C、；D、0.

49、设，则（）.

A、；B、；C、；D、.

50.下列命题中正确的是（）.

A、若，则有；B、若，则有；C、若，则；D、若；则.

51.在点处的左、右导数存在且相等是在点处可导的（）.

A、必要条件；B、充分条件；C、充分必要条件；D、无关条件.

52.设函数，则为（）.

A、2；B、3；C、－1；D、不存在.

1.×；2.∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、×；8、∨；9、×；10、∨；11、×；12、×；13、∨；14、×；15、∨；16、×；17、∨；18、∨；19、×；20、∨；21、∨；22、×；23、×；24、∨；25、×；

1、D；2、B；3、D；4、A；5、C；6、A；7、C；8、B；9、A；10、C；11、D；

12、D；13、；C；14、A；15、B；16、B；17、D；18、C；19、D；20、B；21、A；22、B；23、D；24、C；25、B；26、C；27、A；28、D；29、B；30、D；31、D；32、C；33、C；34、D；35、A；36、C；37、C；38、B；39、C；40、B；41、A；42、B；43、B；44、B；45、D；46、D；47、D；48、B；49、A；50、B；51、C；52、D.

中值定理和罗比达法则

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？

如满足，请求出满足定理的数值。

（1）；

（2）。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。

★3.已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的。

★★4.试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。

★5.函数与在区间上是否满足柯西定理的所有条件？

如满足，请求出满足定理的数值。

★★★6.设在上连续，在内可导，且。

求证：

存在，使。

★★7.若函数在内具有二阶导函数，且

，证明：

在内至少有一点，使得。

★★8.若4次方程有4个不同的实根，证明：

的所有根皆为实根。

★★★9.证明：

方程只有一个正根。

★★10.不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。

★★★11.证明下列不等式：

（1）；

（2）当时，；

（3）设，证明；（4）当时，。

★★12.证明等式：

.

★★★13.证明：

若函数在内满足关系式，且，则。

★★★14.设函数在上连续，在内有二阶导数，且有

，试证在内至少存在一点，使。

15.设在上可微，且试证明在内至少有两个零点。

★★★16.设在闭区间上满足，试证明存在唯一的，使得

。

★★★17.设函数在的某个邻域内具有阶导数，且

试用柯西中值定理证明：

。

★★1.用洛必达法则求下列极限：

（1）；

（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）；

（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；

（17）；（18）；（19）；（20）。