步步高江苏专用理届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五第3讲圆锥曲线中地热点问题.docx

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步步高江苏专用理届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五第3讲圆锥曲线中地热点问题

第3讲　圆锥曲线中的热点问题

【高考考情解读】　纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．

（2）直线与双曲线的位置关系的判定方法：

将直线方程与双曲线方程联立，消去y（或x），得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）．

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．

（3）直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线方程联立，消去y（或x），得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）．

①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．

2．有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．

（1）斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则所得弦长P1P2＝|x2－x1|或P1P2＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

|x2－x1|＝，

|y2－y1|＝.

（2）当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间距离公式）．

3．弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．

4．轨迹方程问题

（1）求轨迹方程的基本步骤：

①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法（坐标法）．

②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．

③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．

④化简整理方程——简化．

⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：

将几何关系直接翻译成代数方程；

②定义法：

满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；

③代入法：

把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；

④交轨法：

写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；

（3）注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：

化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.

考点一　曲线方程的求法及其简单应用

例1

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：

（x－1）2＋y2＝16与

点A（－1,0），P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB

于点R，点R的轨迹记为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线x＝t（t为常数，且t≠2）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y1，y2，求y1·y2的值（用t表示）．

解　

（1）连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4，

所以RA＋RB＝4>AB＝2，

由椭圆定义，得点R的轨迹方程为＋＝1.

（2）设M（x0，y0），则N（－x0，－y0），QM，QN的斜率分别为kQM，kQN，

则kQM＝，kNQ＝，

所以直线QM的方程为y＝（x－2），直线QN的方程为y＝（x－2）．

令x＝t（t≠2），则y1＝（t－2），y2＝（t－2），

又点M（x0，y0）在椭圆＋＝1上，所以y＝3－x.

所以y1·y2＝（t－2）2＝

＝－（t－2）2，其中t为常数且t≠2.

（1）求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．

（2）当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：

一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．

设F（1,0），点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥.

（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且||，||，||成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3,0）时，求B点坐标．

解　

（1）设N（x，y），则由＝2，得P为MN的中点，所以M（－x,0），P（0，）．

又⊥得·＝0，＝（－x，－），

＝（1，－），所以y2＝4x（x≠0）．

（2）由

（1）知F（1,0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即P0F＝x0＋，

所以||＝x1＋，||＝x2＋，||＝x3＋，

根据||，||，||成等差数列，得x1＋x3＝2x2，

直线AD的斜率为＝＝，

所以AD中垂线方程为y＝－（x－3），

又AD中点（，）在直线上，代入上式得＝1，

即x2＝1，所以点B（1，±2）．

考点二　圆锥曲线中的定值、定点问题

例2

　已知椭圆C：

＋＝1经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？

若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；

（3）连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？

若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

（1）待定系数法；

（2）用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式＝λ，＝μ把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；（3）先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．

解　

（1）依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，

∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为

y＝k（x－1），求得l与y轴交于M（0，－k），

又F坐标为（1,0），设l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），

由

消去y得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

又由＝λ，∴（x1，y1＋k）＝λ（1－x1，－y1），

∴λ＝，同理μ＝，

∴λ＋μ＝＋＝

＝＝－.

所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－.

（3）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK的中点N，

猜想，当直线l的倾斜角变化时，

AE与BD相交于定点N，

证明：

由

（2）知A（x1，y1），B（x2，y2），

∴D（4，y1），E（4，y2），当直线l的倾斜角变化时，首先证直线

AE过定点，

∵lAE：

y－y2＝（x－4），

当x＝时，y＝y2＋·

＝

＝

＝

＝＝0.

∴点N在直线lAE上．

同理可证，点N也在直线lBD上．

∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点.

（1）定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．

（2）由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：

y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；若得到了直线方程的斜截式：

y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）．

（2013·陕西）已知动圆过定点A（4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8.

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）已知点B（－1,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：

直线l过定点．

（1）解　如图，设动圆圆心为O1（x，y），由题意，得O1A＝O1M，

当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中

点，

∴O1M＝，

又O1A＝，

∴＝，

化简得y2＝8x（x≠0）．

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为（0,0）也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

（2）证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），

P（x1，y1），Q（x2，y2），

将y＝kx＋b代入y2＝8x中，

得k2x2＋（2bk－8）x＋b2＝0.

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①

x1x2＝，②

因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，

即y1（x2＋1）＋y2（x1＋1）＝0，

（kx1＋b）（x2＋1）＋（kx2＋b）（x1＋1）＝0，

2kx1x2＋（b＋k）（x1＋x2）＋2b＝0③

将①，②代入③得2kb2＋（k＋b）（8－2bk）＋2k2b＝0，

∴k＝－b，此时Δ>0，

∴直线l的方程为y＝k（x－1），即直线l过定点（1,0）．

考点三　圆锥曲线中的最值范围问题

例3

　（2013·浙江）如图，点

P（0，－1）是椭圆C1：

＋＝1（a>b>0）

的一个顶点，C1的长轴是圆C2：

x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点

P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭

圆C1于另一点D.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

解　

（1）由题意得

所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

（2）

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1.

又圆C2：

x2＋y2＝4，

故点O到直线l1的距离

d＝，

所以AB＝2＝2.

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.

由

消去y，整理得（4＋k2）x2＋8kx＝0，

故x0＝－.

所以PD＝.

设△ABD的面积为S，则S＝·AB·PD

＝，

所以S＝≤

＝，

当且仅当k＝±时取等号．

所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.

求最值及参数范围的方法有两种：

①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式（即为消元），然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．

已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：

x

1

－

4

y

－3

0

－6

1

（1）求C1，C2的标准方程；

（2）过点A（m,0）作倾斜角为的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围．

解　

（1）先判断出（－，0）在椭圆上，进而断定点（1，－3）和（4，－6）在抛物线上，故（，1）在椭圆上，所以椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝9x.

（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l的方程为y＝（x－m），

由

消去y整理得2x2－2mx＋m2－6＝0，

由Δ>0得Δ＝4m2－8（m2－6）>0，

即－2

而x1x2＝，x1＋x2＝m，

故y1y2＝（x1－m）·（x2－m）

＝[x1x2－m（x1＋x2）＋m2]

＝.

欲使左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，

则·>0，

又F（－2,0），即·＝（x1＋2，y1）·（x2＋2，y2）

＝x1x2＋2（x1＋x2）＋y1y2＋4>0.

整理得m（m＋3）>0，

即m<－3或m>0.②

由①②可得m的取值范围是（－2，－3）∪（0,2）．

1．求轨迹与轨迹方程的注意事项

（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．

（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）．检验方法：

研究运动中的特殊情形或极端情形．

2．定点、定值问题的处理方法

定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．

3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法

（1）几何法：

若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

（2）代数法：

若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

④利用基本不等式求出参数的取值范围；

⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（2,0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t（O为坐标原点），当|－|<时，求实数t的取值范围．

解　

（1）由题意知椭圆的离心率e＝＝，

∴e2＝＝＝，即a2＝2b2.

又△EGF2的周长为4，即4a＝4，∴a2＝2，b2＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.

设直线AB的方程为y＝k（x－2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由，

得（1＋2k2）x2－8k2x＋8k2－2＝0.

由Δ＝64k4－4（2k2＋1）（8k2－2）>0，得k2<.

x1＋x2＝，x1x2＝，

∵＋＝t，

∴（x1＋x2，y1＋y2）＝t（x，y），x＝＝，y＝＝[k（x1＋x2）－4k]＝.

∵点P在椭圆C上，

∴＋2＝2，

∴16k2＝t2（1＋2k2）．

∵|－|<，∴|x1－x2|<，

∴（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]<，

∴（1＋k2）[－4·]<，

∴（4k2－1）（14k2＋13）>0，

∴k2>.

∴

∵16k2＝t2（1＋2k2），∴t2＝＝8－，

又<1＋2k2<2，∴

∴－2

∴实数t的取值范围为（－2，－）∪（，2）．

（推荐时间：

70分钟）

一、填空题

1．已知方程＋＝1（k∈R）表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________．

答案　1

解析　若椭圆焦点在x轴上，则，

解得1

2．△ABC的顶点A（－5,0）、B（5,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．

答案　－＝1（x>3）

解析　

如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，

所以CA－CB＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线

的右支，方程为－＝1（x>3）．

3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．

答案　6

解析　设P（x0，y0），则

＋＝1，即y＝3－，

又因为F（－1,0），

所以·＝x0·（x0＋1）＋y＝x＋x0＋3

＝（x0＋2）2＋2，

又x0∈[－2,2]，即·∈[2,6]，

所以（·）max＝6.

4．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．

答案　m≥1且m≠5

解析　∵方程＋＝1表示椭圆，

∴m>0且m≠5.

∵直线y＝kx＋1恒过（0,1）点，

∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：

＋≤1，m≥1，

∴m的取值范围是m≥1且m≠5.

5．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，1·2的值等于________．

答案　－2

解析　易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．

此时，F1（－，0），F2（，0），不妨设P（0,1），

∴1＝（－，－1），2＝（，－1），

∴1·2＝－2.

6．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋（y－1）2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________．

答案　

解析　由得x2－3x－4＝0，

∴xA＝－1，yA＝，xD＝4，yD＝4，

直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F（0,1），

且该圆圆心为F（0,1），

∴AF＝yA＋1＝，DF＝yD＋1＝5，

∴＝＝.

7．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．

答案　0或－8

解析　设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），

则

由②－①得（x2－x1）（x2＋x1）＝（y2－y1）（y2＋y1），显然x1≠x2.

∴·＝3，即kMN·＝3，

∵M，N关于直线y＝x＋m对称，

∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0，

又∵y0＝x0＋m，∴P，

代入抛物线方程得m2＝18·，

解得m＝0或－8，经检验都符合．

8．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是________．

答案　（，＋∞）

解析　

设椭圆与双曲线的半焦距为c，

PF1＝r1，PF2＝r2.

由题意知r1＝10，r2＝2c，

且r1>r2,2r2>r1，

∴2c<10,2c＋2c>10，

∴

∴e2＝＝＝＝；

e1＝＝＝＝.

∴e1·e2＝＝>.

9．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．

答案　－1

解析　过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y2＝4x得焦点F的坐标为（1,0），准线为x＝－1，则由抛物线的定义可得

d1＋d2＝PA－AB＋d2＝PF－1＋d2，

PF＋d2大于或等于焦点F点P到直线l，

即PF＋d2的最小值为＝，

所以d1＋d2的最小值为－1.

二、解答题

10．已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：

x＝分别交于M，N两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求线段MN的长度的最小值．

解　

（1）如图，由题意得椭圆C的左顶点为A（－2,0），上顶点为

D（0,1），即a＝2，b＝1.

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）直线AS的斜率显然存在且不为0，

设直线AS的方程为y＝k（x＋2）（k＞0），解得M（，），且将直线方程代入椭圆C的方程，

得（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

设S（x1，y1），由根与系数的关系得（－2）·x1＝.

由此得x1＝，y1＝，即S（，）．

又B（2,0），则直线BS的方程为y＝－（x－2），

联立直线BS与l的方程解得N（，－）．

∴MN＝＝＋≥2＝.

当且仅当＝，即k＝时等号成立，故当k＝时，线段MN的长度的最小值为.

11．在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（－，0），直线PA与PB的斜率之积为－.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过点F（1,0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M、Q不重合），求证：

直线MQ过x轴上一定点．

（1）解　由题意知：

·＝－.

化简得＋y2＝1（y≠0）．

（2）证明　方法一　设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，－y2），

l：

x＝my＋1，代入＋y2＝1（y≠0）整理得

（m2＋2）y2＋2my－1＝0.

y1＋y2＝，y1y2＝，

MQ的方程为y－y1＝（x－x1），

令y＝0，

得x＝x1＋＝my1＋1＋

＝＋1＝2.

∴直线MQ过定点（2,0）．

方法二　设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，－y2），

l：

y＝k（x－1），代入＋y2＝1（y≠0）整理得

（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2＝0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

MQ的方程为y－y1＝（x－x1），

令y＝0，得x＝x1＋＝x1＋＝＝2.

∴直线MQ过定点（2,0）．

12．设椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率e＝，左顶点M到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：

点O到直线AB的距离为定值；

（3）在

（2）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．

（1）解　由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，

所以b＝a，即a＝2b.

由左顶点M（－a,0）到直线＋＝1，

即bx＋ay－ab＝0的距离d＝，

得＝，即＝，

把a＝2b代入上式，得＝，解得b＝1.

所以a＝2b＝2，c＝.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）证明　设A（x1，y1），B（x2，y2），

①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2.

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故·＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，也就是x－y＝0，

又点A在椭圆C上，所以－y＝1，

解得|x1|＝|y1|＝.

此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝.

②当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y＝kx＋m，

与椭圆方程联立有

消去y，得（1＋4k2）x2