步步高江苏专用理届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五第3讲圆锥曲线中地热点问题.docx

1、步步高江苏专用理届高三数学大二轮专题复习与增分策略专题五第3讲圆锥曲线中地热点问题第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与

2、椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当AB2，由椭圆定义，得点R的轨迹方程为1.(2)设M(x0，y0)，则N(x0，y0)，QM，QN的斜率分别为kQM，kQN，则kQM，kNQ，所以直线QM的方程为y(x2)，直线QN的方程为y(x2)令xt(t2)，则y1(t2)，y2(t2)，又点M(x0，y0)在椭圆1上，所以y3x.所以y1y2(t2)2(t2)2，其中t为常数且t2. (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法

3、求解(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解 设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的点，且|，|，|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标解(1)设N(x，y)，则由2，得P为MN的中点

4、，所以M(x,0)，P(0，)又得0，(x，)，(1，)，所以y24x(x0)(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P0(x0，y0)到F的距离等于其到准线的距离，即P0Fx0，所以|x1，|x2，|x3，根据|，|，|成等差数列，得x1x32x2，直线AD的斜率为，所以AD中垂线方程为y(x3)，又AD中点(，)在直线上，代入上式得1，即x21，所以点B(1，2)考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C：1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x4上的射影依次为D、K、E.(1)求椭圆C的方程；(2

5、)若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；(3)连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由 (1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式，把，用点A，B的横坐标表示出来，只要证明的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点

6、，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点解(1)依题意得b，e，a2b2c2，a2，c1，椭圆C的方程为1.(2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为yk(x1)，求得l与y轴交于M(0，k)，又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.所以当直线l的倾斜角变化时，直线的值为定值.(3)当直线l斜率不存在时，直线lx轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK的中点N，猜想，当直线l

7、的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N，证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点，lAE：yy2(x4)，当x时，yy20.点N在直线lAE上同理可证，点N也在直线lBD上当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则

8、直线必过定点(0，m) (2013陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得O1AO1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，O1M，又O1A，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，

9、y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2， x1x2， 因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0 将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)考点三圆锥曲线中的最值范围问题例3(2013浙江)如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线

10、，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以AB22.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以PD.设ABD的面积为S，则SABPD，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1. 求最值及参数范围的方法有两种：根据题目给出的已

11、知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域 已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x14y3061(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围解(1)先判断出(，0)在椭圆上，进而断定点(1，3)和(4，6)在抛物线上，故(，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y29x.(2)

12、设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y(xm)，由消去y整理得2x22mxm260，由0得4m28(m26)0，即2m0，又F(2,0)，即(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)y1y240.整理得m(m3)0，即m0.由可得m的取值范围是(2，3)(0,2)1 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方

13、程表示)检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形2 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果3 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参

14、数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且EGF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足t(O为坐标原点)，当|0，得k2.x1x2，x1x2，t，(x1x2，y1y2)t(x，y)，x，yk(x1x2)4k.点P在椭圆C上，22，16k2t2(12k2)|，|x1x

15、2|，(1k2)(x1x2)24x1x2，(1k2)40，k2.k2.16k2t2(12k2)，t28，又12k22，t284，2t或t2，实数t的取值范围为(2，)(，2)(推荐时间：70分钟)一、填空题1 已知方程1(kR)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是_答案1k3解析若椭圆焦点在x轴上，则，解得1k3)解析如图ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)3 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案6解析设P(x0，y0)，则1，即y3，又因为F

16、(1,0)，所以x0(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即2,6，所以()max6.4 直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_答案m1且m5解析方程1表示椭圆，m0且m5.直线ykx1恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点，应有：1，m1，m的取值范围是m1且m5.5 设F1、F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，12的值等于_答案2解析易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大此时，F1(，0)，F2(，0)，不妨设P(0,1)，1(，1)，2(，1)，122.6 直线3x4y4

17、0与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为_答案解析由得x23x40，xA1，yA，xD4，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)，且该圆圆心为F(0,1)，AFyA1，DFyD15，.7 已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_答案0或8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0，又y0x0m，P，代入抛物线方程得m21

18、8，解得m0或8，经检验都符合8 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF110，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是_答案(，)解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1r1，PF2r2.由题意知r110，r22c，且r1r2,2r2r1，2c10，c51.9 已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_答案1解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为

19、y24x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x1，则由抛物线的定义可得d1d2PAABd2PF1d2，PFd2大于或等于焦点F点P到直线l，即PFd2的最小值为，所以d1d2的最小值为1.二、解答题10已知直线x2y20经过椭圆C：1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x分别交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值解(1)如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(2,0)，上顶点为D(0,1)，即a2，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为yk(x2)(k0

20、)，解得M(，)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(14k2)x216k2x16k240.设S(x1，y1)，由根与系数的关系得(2)x1.由此得x1，y1，即S(，)又B(2,0)，则直线BS的方程为y(x2)，联立直线BS与l的方程解得N(，)MN2.当且仅当，即k时等号成立，故当k时，线段MN的长度的最小值为.11在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(，0)，直线PA与PB的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点(1)解由题意知：.化简

21、得y21(y0)(2)证明方法一设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y2)，l：xmy1，代入y21(y0)整理得(m22)y22my10.y1y2，y1y2，MQ的方程为yy1(xx1)，令y0，得xx1my1112.直线MQ过定点(2,0)方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y2)，l：yk(x1)，代入y21(y0)整理得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2，MQ的方程为yy1(xx1)，令y0，得xx1x12.直线MQ过定点(2,0)12设椭圆C：1(ab0)的离心率e，左顶点M到直线1的距离d，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设

22、直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求AOB的面积S的最小值(1)解由e，得ca，又b2a2c2，所以ba，即a2b.由左顶点M(a,0)到直线1，即bxayab0的距离d，得，即，把a2b代入上式，得，解得b1.所以a2b2，c.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1x2，y1y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故0，即x1x2y1y20，也就是xy0，又点A在椭圆C上，所以y1，解得|x1|y1|.此时点O到直线AB的距离d1|x1|.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，与椭圆方程联立有消去y，得(14k2)x2