MERS传播的数学模型的建立及分析.docx

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MERS传播的数学模型的建立及分析

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

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成都工业学院

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3.唐××

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）

日期：

2015年7月27日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

MERS传播的数学模型的建立与分析

摘要

本文针对MERS的传播建立了传统的SIR仓室数学模型。

针对问题一，对附件一提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。

模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法。

但在不同国家因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同国家不同城市之间的可比性降低。

而且由于MERS和SARS的治病机理不同，传染率和死亡率不同，患病人数规模不同，所以对MERS的传播分析，不能简单的套用附件一所用的模型。

针对问题二，我们在WHO（WorldHealthOrgnazation）的官方网站上查找到了韩国MERS疫情从2015年5月20日至2015年7月5日的详细数据[1]。

对MERS的传播建立传统的SIR仓室模型，采用最小二乘法拟合参数，利用MATLAB编程求解，画出参数感染率

的参数散点图和参数移出率

的散点图

对第三个问题，本文研究对MERS疫情对韩国入境旅游收入的影响，建立了灰色预测GM（1，1）模型。

关键字：

SIR仓室模型常微分方程参数拟合灰色预测

1.问题重述

MERS（MiddleEastRespiratorySyndrome）病毒是一种新型的冠状病毒，这种病毒已经被命名为中东呼吸综合征冠状病毒，大多数MERS病毒感染病例发生在沙特。

2015年，MERS在韩国又有新一轮的爆发和蔓延，给韩国的经济发展和人民生活带来了较大影响。

对MERS的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件所提供的一个SARS传播的早期模型，请对其评价是否适用MERS。

（2）收集MERS的韩国疫情数据，建立MERS传播的数学模型，说明优于附件1中的模型的原因；特别要说明怎样建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型。

对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：

提前或延后n天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

（3）收集MERS对韩国旅游方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

2.模型假设

1.假设一个MERS康复者不会二度感染，他们已退出传染体系，因此将其归为“退出者”；

2.模型不考虑所研究这段时间内的自然出生率和死亡率，MERS引起的死亡人数归为“退出者”；

3.假设在疾病传播期内所考察地区总人数视为常数；

4.假设每个病人单位时间有效接触的人数为常数；

5.假设韩国在MERS疫情流行期间和结束之后，旅游业数据的变化只与MERS疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。

3.变量说明

：

表示易感染人群（susceptible）占总人数的比例；

；表示感染人群（infected）占总人数的比例；

：

表示移出人群占总人数的比例；

：

表示感染者对易感染者有效感染的感染率；

：

表示移出率，即移出者的增加率

：

表示第

个单位时间的旅游业的收益；

表示在

个单位时间时的累积旅游业的收益；

：

称为系统发展灰数；

：

称为内生控制变量

4.对早期模型的评价

附件1的模型主要采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势进行预测。

在数据拟合方面，该模型中有两个疑点：

1、感染期限L的确定。

由于被严格隔离、治愈、死亡等原因，感染者在某一时段后不再具有对易感人群的传染力，故对病毒的传染加上感染期限是合理的。

但在对该参数的确定上，作者为了较好地拟合各阶段的数据,通过人为调试来确定L的取值，缺乏医学上的支持，使模型的说服力减弱，合理性和可靠性大大降低。

2、文中认为“K代表某种环境下一个人传染他人的平均概率”。

但从模型的公式中可以看出，参数K的实际意义是一个病人平均每天传染其他人的个数。

两者之间有实质的区别，文中的说法显然不妥。

从预测思想来看，该模型是借鉴先发地区——广东、香港的有关参数对北京的疫情进行预测的。

由于广东、香港的疫情和控制都在北京之前，已经过了高峰期，到5月8日为止每日新增病例已降至10来例，基本处于后期控制阶段。

而当时北京的疫情刚过了高峰期，正处于社会剧烈调整时期，数据较为凌乱，略有下降趋势，但不明显。

可见在当时，采取这种借鉴是无奈之举。

但是由于城市之间的政策，风俗习惯等不同，城市之间的可比性不强，借鉴存在很大的局限性。

如在香港，由于对传播机制认识不足，中途又出现高度感染的特殊情况。

另外使用借鉴法无法对首发城市进行预测。

MERSS和SARS又有许多不同,例如，MERS的病死率约为40.7%，传染性没有SARS强，但SARS的病死率为14%-15%，低于MERS，传染性则强于MERS。

MERS和SARS治病机理不同，传染率死亡率不同，病毒潜伏时间也不同，所以不能简单的套用附件所给模型来分析和预测MERS的传播。

5.模型的建立与求解

5．1问题2的模型建立与求解

5.1.1问题2的模型思路

对于传染病感染区，由于为了避免传染病的更大的扩散，一方面政府会对人口的流动做出限制，另一方面个人由于对传染病的警惕也不会进入感染区，所以，感染区人口流动很小。

即可把它看作一个封闭区，则可以建立SIR仓室模型[2],里面的总人数不变，里面的人分类为：

易感染者:

即正常人，但可能会被感染。

感染者：

已经感染这种病的人，可以传染给周围的人。

移出者：

包括感染者中死亡的人，感染者中自愈的人和先天对这种病毒有免疫的人，他们将不在受这种传染病的影响。

5.1.2问题2的模型建立

根据传染病的感染而致的各类人口比例的变化可以建立微分方程。

这里用

表示易感染人群（susceptible）的比例关于时间

的函数，同样用

表示感染人群（infected）的比例关于时间

的函数，用

表示移出人群的比例关于时间

的函数。

方程一：

根据感染人群比例增长相等，可建立如下方程：

这里

表示感染者对易感染者有效感染的感染率，即单位时间内单位病人传染的人数与易感者之比值；

表示移出率，即单位时间内移出者占染病者的比率；

表示感染者比例关于时间

的函数；

表示易感染人者比例关于时间

的函数。

方程二：

根据易感染者比例减少相等，可建立如下方程：

方程三：

根据移出者的增长相等，建立如下方程：

这里

表示移出者比例关于时间

的函数。

方程四：

易感染者比例，感染者比例和移出者比例之和恒为1：

综上：

5.1.3问题2的模型求解

5.2.1问题2的模型微分方程初始值确定

我们统计的数据

是从2015年5月20日到2015年7月7日的数据（见表一），共计49天，对于移除者比例

，在病情开始没有死亡人数，也没有治愈人数，所以移除者比例

的初始条件

，对于感染者比例

，根据数据看出开始只有1人，所以感染者比例

的初始条件

，对于易感染者

的初始条件可有

算出，即

。

表一对MERS疫情每天数据的统计

日期

当天确诊病例人数

累计确诊病例人数

当天死亡人数

累计死亡人数

20/05/2015

21/05/2015

22/05/2015

23/05/2015

24/05/2015

25/05/2015

26/05/2015

27/05/2015

28/05/2015

29/05/2015

30/05/2015

31/05/2015

01/06/2015

02/06/2015

03/06/2015

04/06/2015

05/06/2015

06/06/2015

07/06/2015

08/06/2015

09/06/2015

114

10/06/2015

126

11/06/2015

132

12/06/2015

145

13/06/2015

148

14/06/2015

153

15/06/2015

157

16/06/2015

162

17/06/2015

164

18/06/2015

167

19/06/2015

167

20/06/2015

169

21/06/2015

172

22/06/2015

175

23/06/2015

179

24/06/2015

179

25/06/2015

180

26/06/2015

181

27/06/2015

181

28/06/2015

181

29/06/2015

181

30/06/2015

181

01/07/2015

182

02/07/2015

184

03/07/2015

184

04/07/2015

185

05/07/2015

185

06/07/2015

185

07/07/2015

185

5.2.2问题2的模型参数拟合

对于模型上的参数感染率

和移出率

受很多因素影响，很显然不是一个常数。

但是对于不是常数的参数很难拟合，所以，我们把所采集的数据（见表一）分为适当个组，把每个组的参数看作常数，这样就很方便拟合出每个组的参数，最后再综合各个组拟合的参数，把参数拟合成关于自变量时间

的函数（当然这里的组数分得越多则参数拟合得更加精确）。

这样就完整拟合出了每个时刻的参数值。

对于每个组的参数拟合，根据参数感染率

的定义（单位时间内单位病人传染的人数与易感者之比值）而易感染人数远大于单位病人传染人数，所以

。

移出率

（单位时间内移出者占染病者的比率）同样可以得知

，所以可以定两个参数的范围都在0到1之间，这里可以用尝试参数值去逼近最佳参数，具体步骤如下：

Step1：

因为模型的参数感染率

和移出率

范围都在0到1之间，这里我们先用0.1的梯度把参数分成（0.10.20.30.40.50.60.70.80.9）九个值，两个参数共组成81组值。

Step2：

把分成的每组参数值代入模型的微分方程组，用matlab中的函数可算出一个数值解。

Step3：

用上面求出来的函数计算出的值和实际值作差计算平方和（即最小二乘法），找出所有组参数值中最小的二乘数，即那组的感染率

和移出率

就是在梯度0.1下的最佳参数值。

Step4：

画出已经计算出来的函数图，与实际数据的函数图对比，如果相差太远这进行下一步，反之转到Step7。

Step5：

为了更加靠近最终的参数最佳值，这里再在上次拟合出来的参数值左右一个梯度的范围再以上次梯度的0.1倍进行参数再分组。

例如：

假设上次算出来的最佳感染率

=0.5移出率

=0.2，这次的参数范围就是

，这次就用0.01的梯度把参数分为20组参数。

Step6：

回到Step2。

Step7：

到了这里我们已经算出了一组数据的最佳参数值。

然后重复以上步骤，算出每组数据的最佳参数值。

Step8：

根据各组数据的最佳参数值画出参数值得散点图，拟合成适应函数。

到这里，全部参数拟合结束。

算法流程图如图一所示：

图1算法流程图

根据以上算法用matlab编程（程序见附件一），可以画出参数感染率

的参数散点图（见图2）和参数移出率

的散点图（见图3）。

[程序没有写出来，没有结果]

5.3问题3的模型建立与求解

5.3.1问题3的模型建立

对于问题3，MERS疫情对韩国入境旅游游客人数的影响，这里建立了一阶一元灰色预测模型

GM（1，1），对旅游入境旅游游客人数进行预测。

以单位是

表示的时间序列就为：

这里

表示第

个单位时间的韩国入境旅游游客人数

令：

即通过上面公式（7）累积形成新的列：

这里

表示表示在

个单位时间时的韩国累积入境旅游的游客人数

则可以建立GM（1,1）模型：

这里

称为系统发展灰数，

称为内生控制变量。

5.3.2问题3的模型求解

确定参数

：

可利用一阶微分方程的解法求得其解，然后将（7）式代入，使用最小二乘法，便可以得出：

其中：

生成列

可以按以下公式计算出：

其中，

。

计算预测：

根据采集的数据（见表2），可以通过以上公式（11）可以用matlab算出参数，然后用matlab解出微分方程。

表22015年韩国旅游各月份的游客数

月份

游客（万人）

月份

游客（万人）

1月

4月

2月

5月

3月

6月

通过matlab程序（见附件2），可以画出出

（在第

个月的韩国入境旅游的游客人数）的函数图（表3）。

表3预计游客人数结果

月份

游客人数（万人）

79.69

60.17

54.98

45.69

37.96

31.54

26.21

21.78

6、模型的分析、推广与改进

要真正建立能够预测以及能为预防和控制提供可靠，足够的信息的模型。

要怎样做，以及困难。

事实上，真正情况要比我们的模型复杂的多，比如，由于初期传播机理不明，医护人员为收到好的保护，很多受到传染。

而传播率事实上也是按照某种趋势变化的，他与人们的警惕心理等因素有关。

要建立这样的模型，我们认为：

1、要不断的研究传染病理，完善模型。

2、建立实时反馈机制，不断修改模型参数，以求更准确的预测以后的数据。

3、尽量以实际的研究数据建模，力求准确反映事件的实质。

这样，当人为修改参数进行模拟预测时，可以为采取什么措施效果最好做出较准确的建议。

4、研究各种措施实际对疾病传播的影响。

要做到这些，也恰恰是建模的难点，因为当涉及到新的传染病的时候，以上数据或参数都必须通过长期的研究或拟合才能得到的。

比如措施对疾病传播的影响，是要统计大量实际数据才能获得的。

以上也可以看作我们模型的改进方向。

7、参考文献

[1]世界卫生组织.http:

//www.who.int/csr/disease/coronavirus_infections/MERS-CoV-cases-rok-21Jul15.xlsx?

ua=1

[2]周宁李林，基于灰色微分方程的传染病预测，

8、附录

附件1：

附件2：

y= dsolve（'Dy=81.9185-0.1852*y','y

（1）=52','t'）

y =

819185/1852 - （722881*exp（-（463*t）/2500）*exp（463/2500））/1852

>> x=81.9185-0.5*0.1852*（（819185/1852 - （722881*exp（-（463*t）/2500）*exp（463/2500））/1852）+（819185/1852 - （722881*exp（-（463*（t-1））/2500）*exp（463/2500））/1852））

>> x

>> t=[1 2 3 4 5 6 7 8]

t =

1 2 3 4 5 6 7 8

x =

79.6419 66.1775 54.9894 45.6928 37.9679 31.5490 26.2152 21.7832

y= dsolve（'Dy=81.9185-0.1852*y','y

（1）=52','t'）

y =

819185/1852 - （722881*exp（-（463*t）/2500）*exp（463/2500））/1852

t=[1 2 3 4 5 6 7 8]

t =

1 2 3 4 5 6 7 8

x =

79.6419 66.1775 54.9894 45.6928 37.9679 31.5490 26.2152 21.7832

y= dsolve（'Dy=81.9185-0.1852*y','y

（1）=52','t'）

y =

819185/1852 - （722881*exp（-（463*t）/2500）*exp（463/2500））/1852

t=[1 2 3 4 5 6 7 8]

t =

1 2 3 4 5 6 7 8

x =

79.6419 66.1775 54.9894 45.6928 37.9679 31.5490 26.2152 21.7832

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