五MATLAB符号计算.docx
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五MATLAB符号计算
第5章MATLAB符号计算
Matlab本身并没有符号计算功能，1993年通过购买Maple的使用权后，开始具备符号运算的功能．符号运算的类型很多，几乎涉及数学的所有分支．
符号运算使用一种特殊的数据类型，称为符号对象（SymbolicObject>，用字符串形式表达，但又不同于字符串（CharArray>。
符号中的变量，函数和表达式都是符号对象。
5.1符号对象的定义
5.1.1建立符号变量
MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：
sym和syms，两个函数的用法不同。
1.sym函数
sym函数用来建立单个符号对象，一般调用格式为：
符号对象名=sym（'符号字符串'>
该函数可以建立一个符号对象，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
符号对象名=sym（num,’d’>
该函数将数值表达式num转化为符号表达式，数值用十进制表示；
试比较分析下列命令:
a=pi^2,b=’pi^2’,c=sym（pi^2>,d=sym（pi^2,’d’>,e=sym（b>
>>a=pi^2%结果为一个数
a=
9.8696
>>b='pi^2'%结果为一个字符串
b=
pi^2
>>c=sym（pi^2>%数值转化为符号对象，有理表示！
c=
55560*2^（-49>
>>c=sym（pi^2,'d'>%数值转化为符号对象，十进制表示！
c=
9.869699230
>>e=sym（b>%或e=sym（'pi^2'>字符串转化为符号对象
e=
pi^2
2.syms函数
函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。
MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量<对象）。
syms函数的一般调用格式为：
syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符（‘>，变量间用空格而不要用逗号分隔。
>>symsxyz
>>h=x^3+2*y^2+e
h=
x^3+2*y^2+pi^2
5.1.2建立符号表达式
含有符号对象的表达式称为符号表达式。
建立符号表达式有以下3种方法：
（1>利用单引号来生成符号表达式。
（2>用sym函数建立符号表达式。
（3>使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
>>A=[cb。
e-hh-x^3]
A=
[55560*2^（-49>,pi^2]
[-x^3-2*y^2,2*y^2+pi^2]
5.1.3计算精度和数据类型转换
利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式,函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。
double（s>将符号对象转化为双精度数值
char（s>将符号对象转化为字符串
digits（n>将数值计算精度设为n位；
x=vpa（s>求s的数值结果
x=vpa（s,n>采用n位计算精度求s的数值结果
>>2^10000
ans=
Inf
>>a=sym（2>。
b=a^10000
b=
199********74216268…709376%很长的整数，准确的，而不是近似的
>>vpa（b>
ans=
.199********7421626836e3011
>>formatlong。
pi^2,formatshort%用长格式显示pi的值，再恢复为短格式
ans=
9.86960440108936
试比较以下C=PI^2的显示结果。
>>c=sym（'pi^2'>。
>>vpa（c,16>%16位
ans=
9.8696
>>vpa（c>%32位，默认
ans=
9.869668761
>>vpa（c,100>%100位，高精度
ans=
9.8696687694452438552232
>>vpa（c,2>%2位，低精度
ans=
9.6
>>double（c>%双精度，数值
ans=
9.8696
>>symsx。
f=sym（x^3-1>
f=
x^3-1
>>fun=inline（f>
fun=
Inlinefunction:
fun（x>=x.^3-1
5.2符号矩阵和符号函数
5.2.1符号矩阵
MATLAB大部分矩阵和数组运算符及指令都可以用于符号如：
inv，./，.\，eig等
>>clear。
A=sym（'[a,b。
c,d]'>。
>>B=inv（A>
B=
[d/（a*d-b*c>,-b/（a*d-b*c>]
[-c/（a*d-b*c>,a/（a*d-b*c>]
>>A.\B,A\B
ans=
[d/（a*d-b*c>/a,-1/（a*d-b*c>]
[-1/（a*d-b*c>,a/（a*d-b*c>/d]
ans=
[（d^2+b*c>/（d^2*a^2-2*a*d*b*c+b^2*c^2>,-b*（a+d>/（d^2*a^2-2*a*d*b*c+b^2*c^2>]
[-c*（a+d>/（d^2*a^2-2*a*d*b*c+b^2*c^2>,（b*c+a^2>/（d^2*a^2-2*a*d*b*c+b^2*c^2>]
>>A*B
ans=
[a*d/（a*d-b*c>-b*c/（a*d-b*c>,0]
[0,a*d/（a*d-b*c>-b*c/（a*d-b*c>]
>>eig（A>
ans=
[1/2*d+1/2*a+1/2*（d^2-2*a*d+a^2+4*b*c>^（1/2>]
[1/2*d+1/2*a-1/2*（d^2-2*a*d+a^2+4*b*c>^（1/2>]
2.符号函数计算
大部分MATLAB的数学函数和逻辑关系运算也可以用于符号对象，另外还有：
factor（expr>对expr作因式分解
expand（expr>将expr展开
collect（expr,v>将expr按变量v合并同类项
simplify（s>：
应用函数规则对s进行化简。
simple（s>：
调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。
g=finverse（f,v>求函数f（v>的反函数g（v>
fg=compose（f,g>求函数f（v>和g（v>的复合函数f（g（v>>
[n,d]=numden（expr>分式通分，n返回分子，d返回分母
如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。
例1.已知f（x,y>=（x-y>3,g（x,y>=（x+y>3，s=x^6+1。
考虑相关的运算，如求h=f*g并展开。
>>clear。
symsxyz。
f=（x-y>^3。
g=（x+y>^3。
>>h=f*g%两函数相乘
h=
（x-y>^3*（x+y>^3
>>hs=expand（h>%函数展开
hs=
x^6-3*x^4*y^2+3*x^2*y^4-y^6
>>s=x^6+1。
sf=factor（s>%因式分解
sf=
（x^2+1>*（x^4-x^2+1>
>>sz=subs（sf,x,z^2+z+1>%用z^2+z+1替换sf中的x
sz=
（（z^2+z+1>^2+1>*（（z^2+z+1>^4-（z^2+z+1>^2+1>
>>[n,d]=numden（x/y+y/x>%分式通分
n=
x^2+y^2
d=
x*y
下面是复合函数与反函数的例子：
>>clear。
symsxyzt。
>>f=1/（1+x^2>。
g=sin（y>。
>>A1=compose（f,g>%求复合函数
A1=
1/（sin（y>^2+1>
>>A2=compose（f,g,t>%求复合函数，变量用t表示
A2=
1/（sin（t>^2+1>
>>v=finverse（f>
Warning:
finverse（1/（x^2+1>>isnotunique.
>InD:
\toolbox\symbolic\@sym\finverse.matline43
v=
1/x*（-x*（x-1>>^（1/2>%结果不唯一。
5.3符号表达式中变量的确定
MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。
findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。
该函数的调用格式为：
findsym（s,n>
函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。
符号变量确定原则
（1>除了i和j之外，字母位置最接近x的字母；若距离相等，则取ASCII码大的；
（2>若没有除了i与j以外的字母，则视x为默认的符号变量；（微分方程视t为默认的符号变量>
>>symsabxy
>>findsym（3*a*b+y^2+1,1>
ans=
y
>>findsym（3*a*b+y^2+1>
ans=
a,b,y
5.4符号微积分
5.4.1符号极限
limit函数的调用格式为：
（1>limit（f,x,a>：
求符号函数f（x>的极限值。
即计算当变量x趋近于常数a时，f（x>函数的极限值。
（2>limit（f,a>：
求符号函数f（x>的极限值。
因为没有指定符号函数f（x>的自变量，则使用该格式时，符号函数f（x>的变量为函数findsym（f>确定的默认自变量，即变量x趋近于a。
（3>limit（f>：
求符号函数f（x>的极限值。
符号函数f（x>的变量为函数findsym（f>确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。
（4>limit（f,x,a,'right'>：
求符号函数f的极限值。
'right'表示变量x从右边趋近于a。
（5>limit（f,x,a,‘left’>：
求符号函数f的极限值。
‘left’表示变量x从左边趋近于a。
例5-1求下列极限<改用课本例子）。
（1>
（2>
<3）
（4>
>>symshnx
>>L=limit（'（log（x+h>-log（x>>/h',h,0>%单引号可省略掉
L=1/x
>>M=limit（'（1-x/n>^n',n,inf>
M=exp（-x>
>>limit（（1-cos（x>>/（x*sin（x>>,x,0>
ans=
1/2
>>symsx。
>>f=（sqrt（x>-sqrt（2>+sqrt（x-2>>/sqrt（x*x-4>。
>>limit（f,x,2,'right'>
ans=
1/2
例5-21.（A>求二元函数的极限：
>>fun1='（x^3*y+x*y^3+x*y>/（x+y>^3'。
>>limit（limit（fun1,x,2>,y,1>
ans=
4/9
>>symsmn
>>limit（symsum（m/n^2,m,1,n>,n,inf>
ans=
1/2
>>symsxy
>>limit（limit（x*y/（x^2+y^2>,x,0>,y,0>
ans=
0
注：
此二元函数的极限不存在，但计算结果为零，是不正确的。
要注意二元函数的极限与二次极限的区别。
故使用MATLAB计算极限，要在极限存在的前提下进行。
5.4.2符号导数
diff函数用于对符号表达式求导数。
该函数的一般调用格式为：
diff（s>：
没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。
diff（s,'v'>：
以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。
diff（s,n>：
按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。
diff（s,'v',n>：
以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。
例5-3（1>设z=e2xcos（3y>，求
<化简过程中只写最后一个最简结果）。
2.设z=e2xcos（3y>，求
并求
（2>y=ex（sinx+cosx>
>>z=exp（2*x>*cos（3*y>。
>>f1=diff（diff（z,x>,y>
f1=
-6*exp（2*x>*sin（3*y>
%或f1=diff（diff（z,y>,x>结果同上!
>>ff2=subs（f1,x,1>。
>>ff2=subs（ff2,y,pi>
ff2=-1.6288e-014
<2）
>>clear。
symsxy
>>y=exp（x>*（sin（x>+cos（x>>。
>>dy=diff（y,x>
dy=
exp（x>*（sin（x>+cos（x>>+exp（x>*（cos（x>-sin（x>>
>>simple（dy>
ans=
2*exp（x>*cos（x>
>>simplify（dy>
ans=
2*exp（x>*cos（x>
例5-3求下列函数的导数。
（同前面合并！
>
（2>
，
>>clear。
symsxy
>>s=diff（x^2*exp（-y>,x,2>
s=
2*exp（-y>
>>t=diff（x^2*exp（-y>,x>。
>>t=diff（t,y>。
>>t=subs（t,x,1>
>>t=subs（t,y,2>
t=
-0.2707
例5-4.（1>求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数的导数
。
（2>.求函数z=ln（x2+y2>的全微分,并化简<化简过程中只写最后一个最简结果）。
（3>求摆线
，在t=π所对应的点的切线斜率
（4>求y=ln（sinx>的微分
>>symsxy。
>>fxy=y^5+2*y-x-3*x^7。
>>fx=diff（fxy,'x'>。
fy=diff（fxy,'y'>。
>>dv=-fx/fy
dv=（1+21*x^6>/（5*y^4+2>
>>symsxydxdy
>>z=log（x^2+y^2>。
>>dz=diff（z,x>*dx+diff（z,y>*dy。
>>dz=simple（dz>
dz=2*（x*dx+y*dy>/（x^2+y^2>
>>symsat。
>>x=a*（t-sin（t>>。
y=a*（1-cos（t>>。
>>f1=diff（y,t>。
f2=diff（x,t>。
>>f=f1/f2
f=
sin（t>/（1-cos（t>>
>>ff=inline（f>。
>>k=ff（pi>
k=
6.1232e-017
>>symsxydxdy
>>y=log（sin（x>>。
>>f1=diff（y,x>。
>>dy=f1*dx
dy=
cos（x>/sin（x>*dx
5.4.3符号积分
符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：
int（s>：
没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。
int（s,v>：
以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。
int（s,v,a,b>：
求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf>。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
当系统求不出解读解，会自动求原点附近的一个近似解。
例5-5求下列积分。
>>symsx
>>f=（x^2+1>/（x^2-2*x+2>^2。
>>g=cos（x>/（sin（x>+cos（x>>。
>>h=exp（-x^2>。
>>I=int（f>
>>J=int（g,0,pi/2>
>>K=int（h,0,inf>
结果为：
I=1/4*（2*x-6>/（x^2-2*x+2>+3/2*atan（x-1>
J=1/4*pi
K=1/2*pi^（1/2>
4.求不定积分：
并化简<化简过程中只写最后一个最简结果）。
（4>
>>f2=int（x*exp（a*x>>
f2=
1/a^2*（a*x*exp（a*x>-exp（a*x>>
>>simple（f2>
ans=
exp（a*x>*（a*x-1>/a^2
例5-5计算积分<无解读解）
<3）
（4>
（5>重积分
>>symsx。
t3=int（3*sin（x^2>/x,1,4>
t3=
3/2*sinint（16>-3/2*sinint（1>%特殊函数sinint（a>表示积分int（sin（a*x>/x,0,1>
>>t3=vpa（t3,5>%用vpa求数值解
t3=
1.0279
>>t4=int（exp（-x^sin（x>>,0,1>%求不出解读解
Warning:
Explicitintegralcouldnotbefound.
>InD:
\toolbox\symbolic\@sym\int.matline58
t4=
int（exp（-x^sin（x>>,x=0..1>
>>t4=vpa（t4,5>%也可用vpa求数值解
t4=
.45491
>>symsxy
>>iy=int（2*sqrt（1-x^2>,y,-sqrt（1-x^2>,sqrt（1-x^2>>。
>>t5=int（iy,x,-1,1>
t5=
16/3
5.5级数
5.5.1级数符号求和
求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：
symsum（s,v,n,m>
其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。
v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。
n和m是求和的开始项和末项。
例5-6求级数
的和S,以及前十项的部分和S1．
>>symsnx
>>S=symsum（1/n^2,1,inf>
S=
1/6*pi^2
>>S1=symsum（1/n^2,1,10>
S1=
1968329/1270080
重要说明：
当求函数项级数
的和S2时，可用命令：
>>symsnx
>>S2=symsum（x/n^2,n,1,inf>
S2=
1/6*x*pi^2
>>S2=symsum（x/n^2,n,1,10>
S2=
1968329/1270080*x
两点说明：
<1）注意观察S2与S1的细微区别！
<2）当通项公式的Matlab表达式较长时，表达式要加上单引号．后面的练习中会遇到此问题．
例5-7求下列级数之和。
3.求幂级数
的和函数（注意最后结果要化简!
>
（3>symsnx。
%（1分>
s1=symsum（1/（2*n+1>/（2*x+1>^（2*n+1>,n,0,inf>。
%（4分>
s1=simple（s1>%（3分>
s1=1/2*log（（x+1>/x>
5.5.2函数的泰勒级数
MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：
taylor（f,v,n,a>
该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项（即变量v的n-1次幂>为止，n的缺省值为6。
v的缺省值与diff函数相同。
参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。
例5-8求函数在指定点的泰勒级数展开式。
4.将函数
在x=0点展开成x的幂级数<取前9项，实际结果为4项）
（4>f4=log（（1+x>/（1-x>>。
%（2分>
taylor（f4,x,0,9>%（6分>
ans=
2*x+2/3*x^3+2/5*x^5+2/7*x^7
4.将函数
在x=-1点展开成x的幂级数（采用默认阶数>
（4>taylor（1/x^2,-1>%（8分>
ans=3+2*x+3*（x+1>^2+4*（x+1>^3+5*（x+1>^4+6*（x+1>^5
5.6符号代数方程求解
在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：
solve（s>：
求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。
solve（s,v>：
求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。
solve（s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn>：
求解符号表达式s1,s2,…,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。
注：
线性方程可用linsolve函数
当系统求不出解读解，会自动求原点附近的一个近似解。
例5-9解方程
（1>二次方程ax2+bx+c=0。
（2>无解读解x2-3x+ex=2。
（3>方程组
，
这里y,z是未知量。
>>symsabcx。
solve（a*x^2+b*x+c,x>
ans=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c>^（1/2>>]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c>^（1/2>>]
>>solve（x^2-3*x+exp（x>-2,x>%无解读解，得一近似解
ans=
1.4462386859664265816
>>symsyzuvw。
s=solve（u*y^2+v*z+w,y+z+w,y,z>
s=
y:
[2x1sym]
z:
[2x1sym]
>>s.y,s.z%察看结构的具体内容，结果略，也可用下列方法更直接
>>[y,z]=solve（u*y^2+v*z+w,y+z+w,y,z>
y=
[-1/2/u*（-2*u*w-v+（4*u*w*v+v^2-4*u*w>^（1/2>>-w]
[-1/2/u*（-2*u*w-v-（4*u*w*v+v^2-4*u*w>^（1/2>>-w]
z=
[1/2/u*（-2*u*w-v+（4*u*w*v+v^2-4*u*w>^（1/2>>]
[1/2/u*（-2*u*w-v-（4*u*w*v+v^2-4*u*w>^（1/2>>]
例5-9解下列方程。
***4.问k为何值时，下面的方程组有非零解？
请写出相应的MATLAB命令
x1-3x3=0
x1+2x2+kx3=0
2x1+kx2-x3=0
（4>
>>symsk%（1分>
>>A=[10-3。
12k。
2k-1]。
%（1分>
>>D=det（A>%（2分>
D=10-k^2-3*k
>>solve（D>
ans=
[-5]
[2]
当k=-5或k=2时,det（A>=0,从而有非零解!
。
5.7符号常微分方程求解
在MATLAB中，用大写字母D表示导数。
例如，Dy表示y'，D2y表示y''，Dy（0>=5表示y'（0>=5。
D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。
符号常微分方程（组>求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为：
S=dsolv
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