角含半角模型.docx
《角含半角模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《角含半角模型.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
角含半角模型
角含半角模型角含半角模型，顾名思义即一个角包含看它的一半大小的角。
它主要包含：
等腰直角三角形含半角模型；正方形含半角模型两类。
解决类似问题的常见办法主要有两种：
旋转目标三角形和翻折目标三角形。
类型一：
等腰直角三角形含半角模型
（1）如图，在AABC中,AB=AC,zBAC=90°,点D、E在BC上，且zDAE=45°,则BD2+CE2=DE2.
图示
（1）作法1:
将AABD旋转90°作法2:
分别翻折三角形
（2）如图，在AABC中，AB=AC,zBAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上,
且zDAE=45°,则：
BD2+CE2=DE2
（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形，亦可以逬行两种方法的操作。
任意等腰三角形
旋转法
翻折法
类型二：
正方形中角含半角模型
（1）如图，在正方形ABCD中，点E.F分别在边BCXCD上，zEAF=45°，连接EF,
过点A作AG丄EF于点G，则：
EF=BE+DF.AG=AD
作法：
将AABE绕点A逆时针旋转90°
（2）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CB、DC的延长线上rzEAF=45°,则：
EF=DF—BE
作法：
将ZXABE绕点A逆时针旋转90°
（2）如图将正方形变成一组邻边相等对角互补的四边形在四方形ABCD中AB=ADf
zBAD+zC=180°，点E、F分别在边BCXCD上,zEAF=-zBAD，连接EF•则：
2
EF=BE+DF。
图示（3）
作法：
将AABE绕点A逆时针旋转zBAD的大小
例题1：
如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F分别在AB、AD±，若CE=5,且z
ECF=45°r则CF的长为、
变式1:
如图四边形ABCD中，ADllBC,zBCD=90°,AB二BC+ADzzDAC=45°,E为
CD上一点,且zBAE=45°,若CD=4,则AABE的面积为（）
A12n244850
A、—B、—C、—Ds—
7777
例题2:
在正方形ABCD中，连接BD,
（1）如图1,AE丄BD于点E,直接写出zBAE的的度数；
（2）如图1,在
（1）的条件下,将ZXAEB以A为旋转中心，沿逆时针方向旋转30。
后
得到△AREr43与BD交于M,AE'的延长线与BD交于No
1依题意补全图1；
2用等式表示线段BM、DN和MN之间的数星关系，并证明。
（3）如图2,E、F分别是边BC、CD上的点,ACEF的周长是正方形ABCD周长的一半,
AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数星关系的思
路。
（不必写出完整推理过程L
变式2:
（1）探究发现
如图1,在正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，zMAN=45°,若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到ABAG位置，可得Z\MAN泌MAG,SAMCN的周长为6,则正方形ADCD的边长为o
（2）类比延伸
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,zBAD=120°,zB+zD=180°，点M、N分别在边
BC、CD上，zMAN=60°,请判断线段BM、DN、MN之间的数呈关系,并说明理由。
（3）拓展应用
如图3,四边形ABCD中，AB=AD=10,zADC=120°，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、MN,AABM是等边三角形，AM丄AD,DN=5（能—1）,请直接写出MN的长。
图1
图2
图3
例题3:
如图，在四边形ABCD中fAB=BC#zA=zC=90°zzB=135°,K、N分别是AB、
BC上的点，若ABKN的周长为AB的2倍，求zKDN的度数。
变式3:
如图，正方形被两条与边平行的线段EF、GH分割称四个小矩形，P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确走zHAF的大小并证明你的结论。
B
F
例题4:
如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=BDzzABC=zADC=90°,zMAN=l
--2zBADo
（1）如图「将zMAN绕点A旋转，它的两边分别交BC、CD于M、N,试判断这一程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
直接写岀结论，不用证明；
（2）如图2,将zMAN绕点A旋转,它的两边分别交BC、CD延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM.DN和MN之间有怎样的数呈关系？
并证明你的结论；
（3）如图3,将zMAN绕点A旋转,它的两边分别交BC、CD的反向延长线于M、Nf
试判断这一过程中线段BMXDN和MN之间有怎样的数
呈关系？
直接写出结论『不用证明。
D
A
A
M
练习
练习1:
请阅读下列材料:
问题，正方形ABCD中，M、N分别是直线CB、DC上的动点，zMAN=45°,当zMAN
交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数星关系？
小聪同学的思路是：
延长CB至E使BE=DN,并连接AE,构造全等三角形经过推理使问题得到解决,请你参考小葱同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中，线段BM、DN和MN之间的数臺关系；
（2）当zMAN分别交边CB、DC的延长线于点M、N（如图②），线段BM、DN和MN之间又有怎样的数呈关系？
请你写出你的猜想,并加以证明；
（3）在图①中，若正方形的边长为16cm,DN=4cm,请利用
（1）中的结论，试求MN的长。
图①
图②
练习2:
（1）如图1,在四边形ABCD中，AB=ADzzB=zD=90°zE.F分别是边BC、
CD上的点，且zEAF二丄zBAD。
试探究图中线段BE、EF、FD之间的数呈关系。
2
小王同学探究此问题的方法是：
延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明
ADF,再证明AAEG^AAEF,可得岀结论,他的结论是。
（2）如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,zB+zD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且zEAF二丄zBADr上述结论是否仍然成立，并说明理由。
2
（3）如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,zB+zD=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且zEAF=|zBAD,
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明,若不成立，请写出它们之间的数呈关系，并证明。
练习3:
小晏和她的同学组成了〃爰琢磨"学习小组，有一次，她们碰到这样一道题：
〃已知正方形ABCDEF、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点若EG丄FH，则EG=FGO"为了解决这个问题，经过思考，大家给了以下两个方案；
方案一：
过点A作AMllHF交BC于点M,过点B作BNIIEG交CD于点N;
方案二：
过点A作AMllHF交BC于点M,过点A作ANIIEG交CD于点N;…
（1）对小晏遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任取一个加以证明（如图1）・
（2）如果把条件中的"正方形"改为"长方形",并设AB=2,BC=3,（如图2）,试探究
EG、FH之间有怎样的数呈关系，并加以证明。
（3）如果把条件中的"EG丄FH"改为"EG与FH的夹角为45",并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为迎（如图3）,试求EG的长度。
B
图1
图2
图3
练习4:
已知，如图，正方形ABCD的边长为a,BMXDN分别平分正方形的两个外角，
且满足zMAN=45°f连接MC、NC、MNO
（1）填空：
与AABM相似的三角形是,BM*DN=；（用
含a的式子表示）
（2）求zMCN的度数；
（3）猜想线段BM、DN和MN之间的数呈关系并证明你的结论；
升级会员 