角含半角模型.docx

1、角含半角模型角含半角模型 角含半角模型，顾名思义即一个角包含看它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形 含半角模型；正方形含半角模型两类。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角 形和翻折目标三角形。类型一：等腰直角三角形含半角模型(1)如图，在AABC 中,AB=AC , zBAC=90 ,点 D、E 在 BC 上，且zDAE=45,则 BD2+CE2 =DE2.图示(1) 作法1 :将AABD旋转90 作法2 :分别翻折三角形(2)如图，在AABC中，AB=AC , zBAC=90，点D在BC上，点E在BC延长线上,且zDAE=45,则：BD2 + CE2 = DE2(3)如图，

2、将等腰直角三角形变成任意等腰三角形，亦可以逬行两种方法的操作。任意等腰三角形旋转法翻折法类型二：正方形中角含半角模型(1)如图，在正方形ABCD中，点E. F分别在边BCX CD上，zEAF=45，连接EF ,过点 A 作 AG 丄 EF 于点 G，则：EF = BE + DF.AG = AD作法：将AABE绕点A逆时针旋转90(2 )如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CB、DC的延长线上r zEAF=45 ,则：EF = DF BE作法：将ZXABE绕点A逆时针旋转90(2)如图 将正方形变成一组邻边相等 对角互补的四边形在四方形ABCD中AB=AD fzBAD+zC=180，点 E

3、、F 分别在边 BCX CD 上,zEAF= - zBAD，连接 EF 则： 2EF = BE+DF。图示(3 )作法：将AABE绕点A逆时针旋转zBAD的大小例题1 ：如图，正方形ABCD的边长为4 ,点E、F分别在AB、AD ，若CE=5 ,且zECF=45 r则CF的长为 、变式 1 :如图四边形 ABCD 中，ADllBC , zBCD=90 , AB二BC+AD z zDAC=45 , E 为CD上一点,且zBAE=45 ,若CD=4 ,则AABE的面积为( )A 12 n 24 48 50A、 B、 C、 Ds 7 7 7 7例题2 :在正方形ABCD中，连接BD ,(1)如图1

4、, AE丄BD于点E ,直接写出zBAE的的度数；(2)如图1 ,在(1)的条件下,将ZXAEB以A为旋转中心，沿逆时针方向旋转30。后得到ARE r 43与BD交于M , AE的延长线与BD交于No1依题意补全图1；2用等式表示线段BM、DN和MN之间的数星关系，并证明。(3)如图2 , E、F分别是边BC、CD上的点,ACEF的周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N ,写出判断线段BM、DN、MN之间数星关系的思路。(不必写出完整推理过程L变式2 :(1)探究发现如图1 ,在正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，zMAN=45 ,若将 DAN绕点A顺时

5、针旋转90到ABAG位置，可得ZMAN泌MAG , SAMCN的周长为6 , 则正方形ADCD的边长为 o(2)类比延伸如图 2 ,四边形 ABCD 中,AB=AD , zBAD=120 , zB+zD=180，点 M、N 分别在边BC、CD上，zMAN=60,请判断线段BM、DN、MN之间的数呈关系,并说明理由。(3)拓展应用如图3 ,四边形ABCD中，AB=AD=10 , zADC=120，点M、N分别在边BC、CD上， 连接AM、MN , AABM是等边三角形，AM丄AD , DN = 5(能1),请直接写出MN的 长。图1图2图3例题 3 :如图，在四边形 ABCD 中 f AB=BC

6、# zA=zC=90 z zB=135 , K、N 分别是 AB、BC上的点，若ABKN的周长为AB的2倍，求zKDN的度数。变式3 :如图，正方形被两条与边平行的线段EF、GH分割称四个小矩形，P是EF与GH 的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确走zHAF的大小并证明你 的结论。BF例题4 :如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , BC=BD z zABC=zADC=90 , zMAN=l- - 2 zBADo(1)如图将zMAN绕点A旋转，它的两边分别交BC、CD于M、N ,试判断这一 程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写岀结论，不用证明；(2

7、 )如图2 ,将zMAN绕点A旋转,它的两边分别交BC、CD延长线于M、N ,试判断 这一过程中线段BM. DN和MN之间有怎样的数呈关系？并证明你的结论；(3 )如图3 ,将zMAN绕点A旋转,它的两边分别交BC、CD的反向延长线于M、N f试判断这一过程中线段BMX DN和MN之间有怎样的数呈关系？直接写出结论不用证明。DAAM练习练习1:请阅读下列材料:问题，正方形ABCD中，M、N分别是直线CB、DC上的动点，zMAN=45,当zMAN交边CB、DC于点M、N (如图)时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数星关系？ 小聪同学的思路是：延长CB至E使BE=DN ,并连接AE ,构造全等三

8、角形经过推理使问 题得到解决,请你参考小葱同学的思路，探究并解决下列问题：(1)直接写出上面问题中，线段BM、DN和MN之间的数臺关系；(2)当zMA N分别交边CB、DC的延长线于点M、N (如图)，线段BM、DN和MN 之间又有怎样的数呈关系？请你写出你的猜想,并加以证明；(3 )在图中，若正方形的边长为16cm , DN=4cm ,请利用(1)中的结论，试求MN 的长。图图练习2:(1)如图1 ,在四边形ABCD中，AB=AD z zB=zD=90 z E. F分别是边BC、CD上的点，且zEAF二丄zBAD。试探究图中线段BE、EF、FD之间的数呈关系。2小王同学探究此问题的方法是：延

9、长EB到点G ,使BG=DF,连接AG ,先证明ADF ,再证明AAEGAAEF ,可得岀结论,他的结论是 。(2 )如图2 ,在四边形ABCD中,AB=AD , zB+zD=180, E、F分别是边BC、CD上的 点，且zEAF二丄zBAD r上述结论是否仍然成立，并说明理由。2(3 )如图3 ,在四边形ABCD中,AB=AD , zB+zD=180 , E、F分别是边BC、CD延长 线上的点，且zEAF= | zBAD ,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明,若不成立， 请写出它们之间的数呈关系，并证明。练习3 :小晏和她的同学组成了 爰琢磨学习小组，有一次，她们碰到这样一道题：已

10、知正方形ABCD E F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点若EG丄FH，则EG=FGO 为了解决这个问题，经过思考，大家给了以下两个方案；方案一：过点A作AMllHF交BC于点M ,过点B作BNIIEG交CD于点N ;方案二：过点A作AMllHF交BC于点M ,过点A作AN IIEG交CD于点N ;(1)对小晏遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任取一个加以证明(如图1)(2 )如果把条件中的正方形改为长方形,并设AB=2 , BC=3 ,(如图2 ),试探究EG、FH之间有怎样的数呈关系，并加以证明。(3 )如果把条件中的EG丄FH改为EG与FH的夹角为45,并假设正方形ABCD的 边长为1 , FH的长为迎(如图3 ),试求EG的长度。B图1图2图3练习4 :已知，如图，正方形ABCD的边长为a , BMX DN分别平分正方形的两个外角，且满足zMAN=45 f 连接 MC、NC、MNO(1)填空：与AABM相似的三角形是 , BM*DN= ；(用含a的式子表示)(2 )求zMCN的度数；(3 )猜想线段BM、DN和MN之间的数呈关系并证明你的结论；