圆与方程知识点总结典型例题.docx

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圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程

1.圆的标准方程：

以点C（a,b）为圆心，r为半径的圆的标准方程是

（xa）2（y

b）2

r2.

特例：

圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：

x2y2

r2.

2.点与圆的位置关系：

（1）.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r

（2）.

2

2

2

给定点

M（x0,y0）及圆

C:

（x

a）

2（y

b）

2

r2.

①M在圆C内

（x0a）

（y0b）r

②M在圆C上

（x0

a）

2

（y0

b）

2r2

③M在圆C外

（x0

a）

2

（y0

b）

2r2

（3）涉及最值：

①圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

PBmin

BNBCr

PBmax

BMBCr

②圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAmin

ANrAC

PAmax

AMrAC

思考：

过此A点作最短的弦？

（此弦垂直AC）

3.圆的一般方程：

x2y2Dx

EyF0.

22DE

D2E24F

（1）当D

E4F

0时，方程表示一个圆，其中圆心

C,，半径r.

222

（2）当D2

E24F

0时，方程表示一个点

D,E.

22

（3）当D2

E24F

0时，方程不表示任何图形.

注：

方程

Ax2

Bxy

Cy2Dx

EyF

0表示圆的充要条件是：

B

0且AC0且

D2E2

4AF0.

4.

2

2

2

直线与圆的位置关系：

直线Ax

ByC

0与圆（xa）

（yb）r

圆心到直线的距离d

AaBbC

A2B2

1）dr

直线与圆相离

无交点；

2）dr

直线与圆相切

只有一个交点；

3）dr

直线与圆相交

有两个交点

；弦长|AB|=2

r2d2

rdd=rrd

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

AxByC0

x2y2DxEyF

求解，通过解

0

的个数来判断：

补充说明：

①若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；

②若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

过两圆

方程为

2

C1：

x

x2y2

y2

Dx

D1x

Ey

E1y

F

F1

x

2

0和C2：

x

2y2Dx

y2

Ey

D2x

F

E2y

0（

F2

0交点的圆系

1）

补充：

111222

①上述圆系不包括

C2；

②2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

③过直线

AxByC0与圆x2

y2DxEyF

0交点的圆系方程为

x2y2

DxEyFAxByC0

6.过一点作圆的切线的方程：

（1）过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立

②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

y1y0

k（x1

x0）

by1

R

k（a

x1）

R21

求解k，得到切线方程【一定两解】

例1.经过点P（1，—2）点作圆（x+1）2+（y—2）2=4的切线，则切线方程为。

（2）过圆上一点的切线方程：

圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），

则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2

特别地，过圆

x2y2

r2上一点

P（x0,y0）的切线方程为

x0x

y0y

r2.

例2.经过点P（—4，—8）点作圆（x+7）2+（y+8）2=9的切线，则切线方程为。

7.切点弦

（1）过⊙C：

（x

a）2

（yb）2

2

r外一点

P（x0,y0）

作⊙C的两条切线，切点分别为

A、B，

则切点弦AB所在直线方程为：

（x0

a）（xa）

（y0

b）（yb）r2

8.切线长：

若圆的方程为（xa）2（yb）2=r2，则过圆外一点P（x0,y0）的切线长为

d=（x0

a）

2

+（y0

b）

2

r2．

9.圆心的三个重要几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在某一条弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C1：

x2+y2—2x=0和圆C2：

x2+y2+4y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。

一、求圆的方程

例1（06重庆卷文）以点（2,

1）为圆心且与直线3x

4y5

0相切的圆的方程为（）

（A）（x

2）2

（y1）23

（B）

（x

2）2

（y1）23

（C）（x

2）2

（y1）29

（D）

（x

2）2

（y1）29

例2（06

安徽卷文

）直线

x

y

1与圆

x2y2

2ay0（a

0）没有公共点，则a的取值范围

是（

）

（A）（0,

21）

（B）（2

1,2

1）

（C）（

21,

21）

（D）（0,

21）

二、位置关系问题

三、切线问题

例3（06重庆卷理）过坐标原点且与圆x2

1

y24x2y5

2

1

0相切的直线方程为（）

（A）

y3x或yx3

1

（B）

y3x或yx3

1

（C）

y3x或yx3

（D）

y3x或yx3

四、弦长问题

例4（06天津卷理）设直线ax

y30与圆（x

1）2

（y2）2

4相交于

A、B两点，且

弦AB的长为23，则a.

五、夹角问题

例5（06全国卷一文）从圆x2

2xy2

2y1

0外一点

P（3,2）向这个圆作两条切线，则两

切线夹角的余弦值为（）

1

（A）

2

3

（B）

5

3

（C）

2

（D）0

六、圆心角问题

例6（06全国卷二）过点（1,

2）的直线l将圆（x

2）2y2

4分成两段弧，当劣弧所对的圆心

角最小时，直线l的斜率k.

七、最值问题

2

例7（06湖南卷文）圆x

y24x

4y10

0上的点到直线x

y14

0的最大距离与

最小距离的差是（）

（A）30（B）18（C）62（D）52

八、综合问题

例8（06湖南卷理）若圆x2

y24x

4y10

0上至少有三个不同的点到直线

l:

axby

0的距离为2

2，则直线l的斜率k取值范围

圆的方程

1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是

1

A.－1

7

B.－1

1

C.－

2

1

7

2.一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程.

3.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）

A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=0

4.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

5.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则

k=.

6.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最

小值为.

7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求

（1）

（3）x2+y2的最大值和最小值.

y

的最大值和最小值；

（2）y－x的最小值；

x

2

经过两已知圆的交点的圆系

2

例1．求经过两已知圆：

x

y4x6

0和x

2

2

y4y6

0的交点且圆心的横坐标为3

的圆的方程。

例2．设圆方程为：

（4）x2（

4）y2（2

4）x

（12

40）y48

164

0其中－4

求证：

不论为何值，所给圆必经过两个定点。

直线与圆的位置关系

例1：

求由下列条件所决定圆

x2y2

4的圆的切线方程；

（1）经过点P（

3,1），

（2）经过点

Q（3,0），（3）斜率为1

直线和圆

1.自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆

x2y2

4x4y

70相切，求光线L所在直线方程．

2.求圆心在直线xy

0上，且过两圆x2

y22x

10y

240，

x2y2

2x2y

80交点的圆的方程．

3.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．

弦长

【例题】已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB.