圆与方程知识点总结典型例题.docx
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圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程
1.圆的标准方程:
以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是
(xa)2(y
b)2
r2.
特例:
圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:
x2y2
r2.
2.点与圆的位置关系:
(1).设点到圆心的距离为d,圆半径为r:
a.点在圆内d<r;b.点在圆上d=r;c.点在圆外d>r
(2).
2
2
2
给定点
M(x0,y0)及圆
C:
(x
a)
2(y
b)
2
r2.
①M在圆C内
(x0a)
(y0b)r
②M在圆C上
(x0
a)
2
(y0
b)
2r2
③M在圆C外
(x0
a)
2
(y0
b)
2r2
(3)涉及最值:
①圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值
PBmin
BNBCr
PBmax
BMBCr
②圆内一点A,圆上一动点P,讨论PA的最值
PAmin
ANrAC
PAmax
AMrAC
思考:
过此A点作最短的弦?
(此弦垂直AC)
3.圆的一般方程:
x2y2Dx
EyF0.
22DE
D2E24F
(1)当D
E4F
0时,方程表示一个圆,其中圆心
C,,半径r.
222
(2)当D2
E24F
0时,方程表示一个点
D,E.
22
(3)当D2
E24F
0时,方程不表示任何图形.
注:
方程
Ax2
Bxy
Cy2Dx
EyF
0表示圆的充要条件是:
B
0且AC0且
D2E2
4AF0.
4.
2
2
2
直线与圆的位置关系:
直线Ax
ByC
0与圆(xa)
(yb)r
圆心到直线的距离d
AaBbC
A2B2
1)dr
直线与圆相离
无交点;
2)dr
直线与圆相切
只有一个交点;
3)dr
直线与圆相交
有两个交点
;弦长|AB|=2
r2d2
rdd=rrd
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
AxByC0
x2y2DxEyF
求解,通过解
0
的个数来判断:
补充说明:
①若C1与C2相切,则表示其中一条公切线方程;
②若C1与C2相离,则表示连心线的中垂线方程.
(3)圆系问题
过两圆
方程为
2
C1:
x
x2y2
y2
Dx
D1x
Ey
E1y
F
F1
x
2
0和C2:
x
2y2Dx
y2
Ey
D2x
F
E2y
0(
F2
0交点的圆系
1)
补充:
111222
①上述圆系不包括
C2;
②2)当1时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
③过直线
AxByC0与圆x2
y2DxEyF
0交点的圆系方程为
x2y2
DxEyFAxByC0
6.过一点作圆的切线的方程:
(1)过圆外一点的切线:
①k不存在,验证是否成立
②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即
y1y0
k(x1
x0)
by1
R
k(a
x1)
R21
求解k,得到切线方程【一定两解】
例1.经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线,则切线方程为。
(2)过圆上一点的切线方程:
圆(x—a)2+(y—b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),
则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2
特别地,过圆
x2y2
r2上一点
P(x0,y0)的切线方程为
x0x
y0y
r2.
例2.经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线,则切线方程为。
7.切点弦
(1)过⊙C:
(x
a)2
(yb)2
2
r外一点
P(x0,y0)
作⊙C的两条切线,切点分别为
A、B,
则切点弦AB所在直线方程为:
(x0
a)(xa)
(y0
b)(yb)r2
8.切线长:
若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为
d=(x0
a)
2
+(y0
b)
2
r2.
9.圆心的三个重要几何性质:
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
②圆心在某一条弦的中垂线上;
③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。
10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆C1:
x2+y2—2x=0和圆C2:
x2+y2+4y=0,试判断圆和位置关系,若相交,则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
一、求圆的方程
例1(06重庆卷文)以点(2,
1)为圆心且与直线3x
4y5
0相切的圆的方程为()
(A)(x
2)2
(y1)23
(B)
(x
2)2
(y1)23
(C)(x
2)2
(y1)29
(D)
(x
2)2
(y1)29
例2(06
安徽卷文
)直线
x
y
1与圆
x2y2
2ay0(a
0)没有公共点,则a的取值范围
是(
)
(A)(0,
21)
(B)(2
1,2
1)
(C)(
21,
21)
(D)(0,
21)
二、位置关系问题
三、切线问题
例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆x2
1
y24x2y5
2
1
0相切的直线方程为()
(A)
y3x或yx3
1
(B)
y3x或yx3
1
(C)
y3x或yx3
(D)
y3x或yx3
四、弦长问题
例4(06天津卷理)设直线ax
y30与圆(x
1)2
(y2)2
4相交于
A、B两点,且
弦AB的长为23,则a.
五、夹角问题
例5(06全国卷一文)从圆x2
2xy2
2y1
0外一点
P(3,2)向这个圆作两条切线,则两
切线夹角的余弦值为()
1
(A)
2
3
(B)
5
3
(C)
2
(D)0
六、圆心角问题
例6(06全国卷二)过点(1,
2)的直线l将圆(x
2)2y2
4分成两段弧,当劣弧所对的圆心
角最小时,直线l的斜率k.
七、最值问题
2
例7(06湖南卷文)圆x
y24x
4y10
0上的点到直线x
y14
0的最大距离与
最小距离的差是()
(A)30(B)18(C)62(D)52
八、综合问题
例8(06湖南卷理)若圆x2
y24x
4y10
0上至少有三个不同的点到直线
l:
axby
0的距离为2
2,则直线l的斜率k取值范围
圆的方程
1.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示圆方程,则t的取值范围是
1
A.-17
B.-11
C.-
2
1
7
2.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27,求此圆的方程.
3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形,则()
A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=0
4.(2004年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
5.(2005年黄冈市调研题)圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则
k=.
6.(2004年全国卷Ⅲ,16)设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最
小值为.
7.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求
(1)
(3)x2+y2的最大值和最小值.
y
的最大值和最小值;
(2)y-x的最小值;
x
2
经过两已知圆的交点的圆系
2
例1.求经过两已知圆:
x
y4x6
0和x
2
2
y4y6
0的交点且圆心的横坐标为3
的圆的方程。
例2.设圆方程为:
(4)x2(
4)y2(2
4)x
(12
40)y48
164
0其中-4
求证:
不论为何值,所给圆必经过两个定点。
直线与圆的位置关系
例1:
求由下列条件所决定圆
x2y2
4的圆的切线方程;
(1)经过点P(
3,1),
(2)经过点
Q(3,0),(3)斜率为1
直线和圆
1.自点(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射线所在直线与圆
x2y2
4x4y
70相切,求光线L所在直线方程.
2.求圆心在直线xy
0上,且过两圆x2
y22x
10y
240,
x2y2
2x2y
80交点的圆的方程.
3.(2002北京文,16)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为.
弦长
【例题】已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点,求弦长AB.