中考零距离新课标中考数学复习《三角形》精选常考点及答案解析.docx

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中考零距离新课标中考数学复习《三角形》精选常考点及答案解析

第十单元三角形

第一节三角形

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

三角形

理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念；了解三角形的稳定性；了解三角形重心的概念

能利用三角形三边关系解决有关简单问题；能利用三角形内角和定理及其推论解决有关简单问题

运用三角形三边关系的有关内容解决有关问题；运用三角形内角和定理的有关内容解决有关问题

★

三角形中位线

理解三角形中位线的概念

能利用三角形中位线定理解决有关简单问题

运用三角形中位线的有关内容解决有关问题

★★

知识要点

1.三角形的定义：

有三条相接所得到的图形叫做三角形．

2.三角形的分类

（1）按角分类：

可分为三角形，三角形，三角形．

（2）按边分类：

可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形可分为三角形和三角形.

3.三角形中的主要线段

（1）三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线交于一点，此交点叫做三角形的．

（2）三角形的角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

（3）三角形的高线：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.

（4）三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

定理：

三角形的中位线,且.

4.三角形的边角关系

边与边的关系：

（1）三角形的两边之和大于第三边；

（2）三角形的两边之差小于第三边.

角与角的关系：

（1）定理：

三角形三个内角的和等于180°；

（2）推论1：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

（3）推论2：

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

边与角的关系：

在一个三角形中，等边对等角，等角对等边.

典例诠释

考点一三角形三边关系

例1（2016·石景山二模）从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是（）

A.1B.C.D.0

【答案】C

【名师点评】此题考查了三角形的三边关系，两边长之差的绝对值<第三边长<两边长之和，并与概率结合.

考点二与三角形有关的角

例2（2016·顺义一模）如图1-10-1，在△ABC中，∠A=75°，直线DE分别与AB，AC交于D，E两点，则∠1+∠2=．

图1-10-1

【答案】255°

【名师点评】此题可以用三角形的外角知识解决，也可以用四边形的内角和知识解决，不管用哪种方法，要把∠1+∠2作为一个整体来对待.

例3（2016·丰台二模）将一副三角板按图1-10-2中方式叠放，则∠α等于（）

A.90°B.75°C.60°D.45°

图1-10-2

【答案】B

【名师点评】要熟悉一副三角板各内角的度数，通过三角形的内角和或外角知识解答.

例4（2016·石景山二模）如图1-10-3为4×4的正方形网格，图中的线段均为格点线段（线段的端点为格点），则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为．

图1-10-3

【答案】225°

【名师点评】易知∠3=45°，其他角度不易求出，利用全等知识和等量代换，容易找到∠2和∠4互余，∠1和∠5互余，问题得解.

考点三三角形中的重要线段

例5（2016·朝阳一模）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图1-10-4所示，在地面上取一点C，使C到A，B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）

图1-10-4

A．3300mB．2200mC．1100mD．550m

【答案】B

例6（2016·石景山二模）如图1-10-5，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=40°．按以下步骤作图：

①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D，则∠ADC的度数为．

图1-10-5

【答案】70°

【名师点评】此题考查尺规作一个角的平分线，再利用三角形内角和知识解决.

基础精练

1.（2016·丰台一模）如图1-10-6，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，使点C能直接到达点A和点B，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是（）

图1-10-6

A.10mB.20mC.35mD.40m

【答案】D

2.（2016·顺义一模）如图1-10-7，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是（）

图1-10-7

A．18米B．24米C．28米D．30米

【答案】C

3.（2016·昌平二模）如图1-10-8，小慧与小聪玩跷跷板，跷跷板支架EF的高为0.4米，E是AB的中点，那么小慧能将小聪翘起的最大高度BC等于米.

图1-10-8

【答案】0.8

4.（2016·房山二模）如图1-10-9，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的面积为．

图1-10-9

【答案】2.5

5.（2014·泉州）如图1-10-10，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=．

【答案】110°

图1-10-10

6.如图1-10-11，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）

图1-10-11

A．1B．1.5C．2D．2.5

【答案】A

7.（2014·宜昌）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）

A.5B.10C.11D.12

【答案】B

真题演练

（2015·北京）如图1-10-12，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）

图1-10-12

A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km

【答案】D

第二节等腰三角形和直角三角形

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

等腰三角形和等边三角形

了解等腰三角形和等边三角形的概念

掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理与判定定理；尺规作图（利用基本作图作三角形）：

已知底边及底边上的高线作等腰三角形；能利用等腰三角形和等边三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题

运用等腰三角形和等边三角形的有关内容解决有关问题

★★★★

直角三角形

了解直角三角形的概念

掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；尺规作图（利用基本作图作三角形）：

已知一直角边和斜边作直角三角形；掌握直角三角形的性质定理；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；能利用直角三角形的性质与判定解决有关简单问题

运用直角三角形的有关内容解决有关问题

★★★★

知识要点

等腰三角形

1.定义：

有相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底.

2.性质

（1）等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴；

（2）等腰三角形的两个底角相等（简称：

）；

（3）等腰三角形顶角平分线、底边上的、底边上的高互相重合（简称：

）.

3.判定

（1）定义；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：

）.

4.等边三角形

（1）定义：

三角形是等边三角形；

（2）等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴；

（3）性质：

等边三角形的各角都，并且每一个角都等于.

（4）判定：

①定义；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

直角三角形

1.定义：

有一个角是的三角形叫做直角三角形.

2.性质：

两个锐角；斜边上的中线等于；

如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于.

3.判定：

如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．

典例诠释

考点一等腰三角形中的多解问题

例1如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为．

【答案】15或18

【名师点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

例2等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）

A．60°B．120°

C．60°或150°D．60°或120°

【答案】D

【名师点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．

考点二等腰三角形和直角三角形的性质及判定

例3（2016·门头沟一模）如图1-10-13，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于（）

图1-10-13

A．20°B．30°C．32°D．25°

【答案】A

【名师点评】通过平行线的知识可知∠1=∠ACB=70°，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余即可解决.

例4（2016·海淀一模）如图1-10-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，DE为AC边上的中线．求证：

∠BAD=∠EDC.

图1-10-14

【证明】如图1-10-15.

图1-10-15

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=90°.

∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，

∴∠DAC+∠C=90°，∴∠BAD=∠C.

∵DE为AC边上的中线，∴DE=EC.

∴∠EDC=∠C,∴∠BAD=∠EDC.

【名师点评】此题考查了“双垂直”的基本图形，易知∠BAD=∠C，再利用“直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半”得到等腰△EDC，从而问题得解.

例5（2016·海淀一模）如图1-10-16，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=BC．求证：

AB平分∠EAD．

图1-10-16

【证明】∵AB=AC,AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC.

∵BE=BC，∴BD=BE.

∵AE⊥BE于点E，

∴点B在∠EAD的平分线上，∴AB平分∠EAD.

【名师点评】此题考查了等腰三角形的“三线合一”性质，可得到BD=BE=BC，再利用直角三角形全等的判定定理（HL）即可.

基础精练

1.（2016·丰台一模）如图1-10-17，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE.求证：

AB=AC.

图1-10-17

【证明】∵在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，

∴∠ADB＝∠BEC=90°.

∴∠ABD+∠BAD＝∠C+∠CBE=90°.

又∵∠BAD=∠CBE,∴∠ABD＝∠C.

∴AB=AC.

2.（2016·怀柔一模）如图1-10-18，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）

图1-10-18

A.B.1C.D.7

【答案】A

3.（2016·怀柔一模）如图1-10-19，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：

∠CAB=∠AED.

图1-10-19

【证明】∵DE是AB边的垂直平分线,

∴AE=BE,∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B.

在Rt△ABC中，∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°.

在Rt△ADE中，∠ADE=90°,

∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED.

4.（2016·门头沟一模）如图1-10-20，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：

BD=DE．

图1-10-20

【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．

∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=30°．

∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．

又∵∠ACB=60°，∠DCB=∠CDE+∠CED，

∴∠DEC=∠ACB=30°．∴∠DBC=∠DEC，∴BD=DE．

5.（2016·平谷一模）如图1-10-21，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD.求证：

GD⊥DE.

图1-10-21

【证明】如图1-10-22.

图1-10-22

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠BED=∠FDC=90°.∴∠1=∠3.

∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.

∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°.∴∠2+∠FDE=90°.∴GD⊥DE.

6.（2016·石景山一模）如图1-10-23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．求证：

∠AED=∠DCB．

图1-10-23

【证明】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，

∴CD=AB=DB，∴∠B=∠DCB．

∵DE⊥AB于点D，∴∠A+∠AED=90°．

∵∠A+∠B=90°，∴∠B=∠AED．∴∠AED=∠DCB．

7.（2016·东城二模）如图1-10-24，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（）

图1-10-24

A．18°B.36°C．54°D．64°

【答案】C

8.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm

【答案】C

9.若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

【答案】D

10.已知：

如图1-10-25，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：

①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=DB+CE；③AD+DE+AE=AB+AC；④BF=CF.正确的有（）

图1-10-25

A.1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

11.（2016·顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．

例如：

如图1-10-26，在Rt△ABC中，取AB边的中点D，线段CD就是△ABC的“等腰线段”．

（1）请分别画出如图1-10-27所示三角形的“等腰线段”；

图1-10-26图1-10-27

（2）如图1-10-28，在△EFG中，∠G=2∠F，若△EFG有“等腰线段”，请直接写出∠F的取值．

图1-10-28

【解】

（1）如图1-10-29所示.

图1-10-29

（2）36°和45°．

12.如图1-10-30，在△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，将线段CB绕点C旋转60°得到CB′，∠ACB的平分线CD交直线AB′于点D，连接DB，在射线DB′上截取DM=DC．

（1）在图1-10-30①中证明：

MB′=DB；

（2）若AC=，分别在图1-10-30①和②中，求出AB′的长（直接写出结果）．

①②

图1-10-30

（1）【证明】如图1-10-31，连接CM．

图1-10-31

由旋转可知：

CB′=CB，∠BCB′=60°．

∵AC=BC，∠ACB＝90°，

∴AC=CB′，∠ACB′＝150°．∴∠CAB′=∠CB′A=15°．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°．∴∠CDM=∠ACD+∠CAD=60°．

∵DM=DC，∴△CDM是等边三角形，

∴CM=CD，∠DCM=60°．

∴∠B′CM=∠ACB′－∠ACD－∠DCM=45°．

∴∠B′CM=∠BCD．

在△CMB′和△CDB中，

∴△CMB′≌△CDB（SAS），∴MB′=DB．

（2）【解】在图1-10-30①中，AB′=3+，在图1-10-30②中，AB′=3－．

真题演练

（2015·北京）如图1-10-31，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：

∠CBE=∠BAD.

图1-10-31

【证明】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.

又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，

∴∠BAD+∠ABC=90°.

∵BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠CBE=∠BAD.

第三节全等三角形

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

全等三角形

理解全等三角形的概念

能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握三个基本事实：

三边分别相等的两个三角形全等，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；掌握两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；尺规作图（利用基本作图作三角形）：

已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；能利用全等三角形的性质与判定解决有关简单问题

利用全等三角形的有关内容解决有关问题

★★★★★

知识要点

1.全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等形.全等图形的形状和完全相同.全等三角形：

能够完全重合的两个三角形就是全等三角形.

2.性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形对应边上的高线、中线、对应角的平分线相等．

3.判定

（1）基本事实：

三条边对应相等的两个三角形全等（简记为：

）．

（2）基本事实：

两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为：

）．

（3）基本事实：

两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为：

）．

（4）定理：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：

）．

（5）定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：

）．

4.常见的全等三角形

（1）平移型（如图1-10-32）：

图1-10-32

（2）翻折型（如图1-10-33）：

图1-10-33

（3）旋转型（如图1-10-34）：

图1-10-34

（4）复合型（如图1-10-35）：

图1-10-35

5.用尺规作三角形

（1）已知三边作三角形：

已知线段a，b，c,如图1-10-36，求作：

△ABC，使AB=c,AC=b，BC=a.

作法：

图1-10-36

（2）已知两边及夹角作三角形：

已知线段m,n,∠α，如图1-10-37，求作：

△ABC，使∠A=α，AB=m,AC=n.

作法：

图1-10-37

（3）已知两角及夹边作三角形：

已知线段m,∠α,∠β，如图1-10-38，求作：

△ABC，使∠A=α，∠B=β,AB=m.

作法：

图1-10-38

（4）已知底边及底边上的高线作等腰三角形：

已知线段m,n，如图1-10-39，求作：

等腰三角形ABC，使底边BC=m，底边BC边上的高等于n.

作法：

图1-10-39

（5）已知一直角边和斜边作直角三角形：

已知线段m,n，如图1-10-40，求作：

直角三角形ABC，使BC=m，斜边AC=n.

图1-10-40

作法：

典例诠释

考点一三角形全等及其应用

例1如图1-10-41，已知E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．

求证：

AB=CD.

图1-10-41

【证明】如图1-10-42,延长DE到F，使EF=DE，连接BF

.∵E是BC的中点，∴BE=CE.

图1-10-42

∵在△BEF和△CED中，

∴△BEF≌△CED．∴∠F=∠CDE，BF=CD．

∵∠BAE=∠CDE，∴∠BAE=∠F,∴AB=BF.

又∵BF=CD，∴AB=CD．

【名师点评】此题要证明AB=CD，不能通过证明△ABE和△CED全等得到，因为根据已知条件无法证明它们全等，那么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把AB和CD通过作辅助线转化到一个等腰三角形中．

例2（2016·石景山一模）如图1-10-43，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB.

图1-10-4

【答案】∠C=∠B或AC=AB等（答案不唯一）

【名师点评】此题考查两个三角形全等的条件，此题答案不唯一.

例3（2016·顺义一模）如图1-10-44，已知B，A，E在同一直线上，AC∥BD且AC=BE，∠ABC=∠D．求证：

AB=AD．

图1-10-44

【证明】∵AC∥BD，∴∠BAC=∠DBE．

在△ABC和△BDE中，

∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB=BD．

考点二尺规作图

例4（2016·房山二模）阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：

已知：

Rt△ABC，∠C=90°（如图1-10-45）．

图1-10-45

求作：

Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE=CB．

小芸的作图步骤如下：

如图1-10-46,

图1-10-46

（1）作线段FE=CB；

（2）过点F作GF⊥FE于点F；

（3）以点E为圆心,AB的长为半径作弧，交射线FG于点D，连接DE.

所以△DEF即为所求作的直角三角形．

老师说：

“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．

请回答：

得到DF=AC的依据是．

【答案】全等三角形的对应边相等

【名师点评】此题考查两个直角三角形全等的判定定理（HL），学生要能通过阅读作图步骤，找到哪些是已知条件，从而找到两个三角形全等的依据.

基础精练

1.（2016·通州一模）如图1-10-47，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，在△ABC外作∠CAE=∠CBD，过点C作CE⊥AE于点E.如果∠BCE=140°，求∠BAC的度数.

图1-10-47

【解】∵BD⊥AC，CE⊥AE，∴∠BDC=∠E=90°.

∵∠CAE=∠CBD，∴△BDC∽△AEC，∴∠BCD=∠ACE.

∵