（2）当e＝且A（－2,0）时，F（1,0），故a＝2，c＝1,
所以b＝，
椭圆方程是＋＝1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则＋＝1，＋＝1.
由＝＋，
得B.
因为B是椭圆C上一点，
所以＋＝1，
即2＋2＋2··
＝1，＋＝0，①
因为圆过A，F两点，所以线段MN的中点的坐标为，
又2＝（y＋y＋2y1y2）
＝，②
由①和②得2
＝
＝＝·＝，
所以圆心坐标为，
故所求圆的方程为2＋2＝.
思维升华 处理求最值的式子常用两种方式
（1）转化为函数图象的最值．
（2）转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值（注意出现复杂的式子时可用换元法）．
跟踪演练1 已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值．
解
（1）由已知得＝，＋＝1，
解得a2＝4，b2＝1，
椭圆C的标准方程是＋y2＝1.
（2）设l与x轴的交点为D（n,0），
直线l：
x＝my＋n，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立得（4＋m2）y2＋2mny＋n2－4＝0，
Δ＝16（m2－n2＋4）＞0，
y1,2＝，
所以＝－，y1y2＝，
所以＝＝，
即H，
由OH＝1，得n2＝，
则S△POQ＝·OD·|y1－y2|＝|n||y1－y2|，
n2（y1－y2）2＝n2[（y1＋y2）2－4y1y2]
＝12×16×.
设t＝4＋m2（t≥4），
则＝＝≤，
当且仅当t＝，即t＝12时取等号，此时S△POQ＝1，
所以△POQ面积的最大值为1.
热点二 定点问题
例2 （2018·全国大联考江苏卷）如图，已知A，B是椭圆＋＝1的长轴顶点，P，Q是椭圆上的两点，且满足kAP＝2kQB，其中kAP，kQB分别为直线AP，QB的斜率．
（1）求证：
直线AP和BQ的交点R在定直线上；
（2）求证：
直线PQ过定点．
证明
（1）根据题意，可设直线AP的方程为y＝kAP（x－2），直线BQ的方程为y＝kQB（x＋2），
则直线AP和BQ的交点R的横坐标x0满足＝2，即x0＝6.
因此直线AP和BQ的交点R在定直线x＝6上.
（2）由
（1），可设点R的坐标为（6，m），
则直线AP的方程为y＝（x－2），直线BQ的方程为y＝（x＋2），
联立方程得（m2＋12）x2－4m2x＋4（m2－12）＝0，
设P（xP，yP），则根据根与系数的关系，得2×xP＝，即xP＝，
代入直线AP的方程得，yP＝，
故P.
联立方程得（m2＋48）x2＋4m2x＋4（m2－48）＝0，
设Q（xQ，yQ）,则－2×xQ＝，
即xQ＝，
代入直线BQ的方程得，yQ＝，
故Q，
当＝，即m2＝24时，直线PQ与x轴的交点为T，
当≠，即m2≠24时，
下面证直线PQ过点T.
kPT－kQT＝－＝－＝0，
故直线PQ过定点T.
思维升华 如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．
跟踪演练2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：
x2＋y2＝4，椭圆C：
＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.
（1）求k1k2的值；
（2）记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？
若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
（3）求证：
直线AC必过点Q.
（1）解 设B（x0，y0），则C（－x0，－y0），＋y＝1，
所以k1k2＝·＝＝＝－.
（2）解 由题意得直线AP的方程为y＝k1（x－2），联立
得（1＋k）x2－4kx＋4（k－1）＝0，
设P（xp，yp），
解得xp＝，yp＝k1（xp－2）＝，
联立得（1＋4k）x2－16kx＋4（4k－1）＝0，
设B（xB，yB），
同理得xB＝，yB＝k1（xB－2）＝，
所以kBC＝＝，
kPQ＝＝＝，
所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC，
（3）证明 当直线PQ与x轴垂直时，Q，
则kAQ＝＝＝k2，所以直线AC必过点Q.
当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为
y＝，
联立，
解得xQ＝，yQ＝，
所以kAQ＝＝－＝k2，
故直线AC必过点Q.
综上可知，直线AC必过点Q.
热点三 定值问题
例3 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：
＋＝1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.
（1）求椭圆M的方程；
（2）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值（O为坐标原点）？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解
（1）由条件知，椭圆M的离心率e＝，且长轴的顶点为（－2,0），（2,0），
∴椭圆M的方程为＋＝1.
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:
y＝kx＋b.
由得，x2＋8kbx＋4b2－12＝0.
令Δ＝64k2b2－4＝0得，
b2＝3＋4k2.
联立化简得x2＋8kbx＋4b2－48＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1,2＝
∴
∴AB＝
＝＝
＝，而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△ABO＝AB·d＝6.
当直线l的斜率不存在时，l：
x＝2或x＝－2，则AB＝6，原点O到直线l的距离d＝2，
∴S△ABO＝6.
综上所述，△ABO的面积为定值6.
思维升华
（1）从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：
（2）直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．
跟踪演练3 （2018·苏锡常镇四市调研）如图，椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1,0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若＝2，求直线l的方程；
（3）求证：
x1x2为定值．
（1）解 由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.
得解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
（2）解 由
（1）知C（0,1），设D（x0，y0），
由＝2，得2y0＝－1，所以y0＝－，
代入椭圆方程得x0＝或－，
所以D或D，
所以kl＝＝－或kl＝＝.
所以直线l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
（3）证明 设D（x3，y3），由C（0,1），M（x1,0）可得直线CM的方程为y＝－x＋1,
联立椭圆方程得
解得x3＝，y3＝.
由B（，0），得直线BD的方程为
y＝（x－），
因为点N（x2，y2）在直线BD上，
所以y2＝（x2－），①
直线AC的方程为y＝x＋1，
因为点N（x2，y2）在直线AC上，所以y2＝x2＋1，②
联立①②得x2＝，
从而x1x2＝2为定值．
1．（2017·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
解
（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，
于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
（2）由
（1）知，F1（－1,0），F2（1,0）．设P（x0，y0），
因为P为第一象限的点，故x0＞0，y0＞0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，
直线PF2的斜率为.
因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，
所以直线l1的斜率为－，
直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程为y＝－（x＋1），①
直线l2的方程为y＝－（x－1）．②
由①②，解得x＝－x0，y＝，
所以Q.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又点P在椭圆上，故＋＝1.
由解得x0＝，y0＝，
由无解．
因此点P的坐标为.
2．（2018·苏州调研）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2，P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为，求过P，Q，F2三点的圆的方程；
（3）若＝λ，且λ∈，求·的最大值．
解
（1）由题意得解得c＝1，a2＝2，
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）因为P（0,1），F1（－1,0），
所以PF1的方程为x－y＋1＝0.
由解得或
所以点Q的坐标为.
设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝，E＝，F＝－.
所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0.
（3）设P，Q，则＝（x1＋1，y1），＝（－1－x2，－y2）．
因为＝λ，
所以即
所以＋λ2y＝1，＋y＝1，
解得x2＝.
所以·＝x1x2＋y1y2＝x2－λy＝－x－（1＋λ）x2－λ
＝－2－－λ
＝－，
因为λ∈，所以λ＋≥2，当且仅当λ＝，
即λ＝1时取等号．
所以·≤，即·的最大值为.
A组 专题通关
1．已知抛物线x2＝2py（p>0）的焦点F是椭圆＋＝1（a>b>0）的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为______．
答案 －1
解析 方法一 由抛物线方程，得焦点为F.
由椭圆方程，可得上焦点为（0，c），
故＝c，
将y＝c代入椭圆方程可得x＝±.
又抛物线通径为2p，
所以2p＝＝4c，
所以b2＝a2－c2＝2ac，
即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.
方法二 如图所示，由抛物线方程以及直线y＝，
可得Q.
又＝c，即Q（2c，c），
代入椭圆方程可得＋＝1，
化简可得e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3－2，e2＝3＋2>1（舍去），
即e＝＝－1（负值舍去）．
2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
答案 6
解析 由题意得F（－1,0），设点P（x0，y0），
则y＝3（－2≤x0≤2）．
·＝x0（x0＋1）＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3＝（x0＋2）2＋2.
又因为－2≤x0≤2，
所以当x0＝2时，·取得最大值6.
3．已知两定点A（－1,0）和B（1,0），动点P（x，y）在直线l：
y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
答案
解析 A（－1,0）关于直线l：
y＝x＋2的对称点为
A′（－2,1），连结A′B交直线l于点P，
则椭圆C的长轴长的最小值为
A′B＝＝，
所以椭圆C的离心率的最大值为＝＝.
4．如图，已知F1，F2是椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的长轴长是短轴长的________倍．
答案
解析 连结PF1，OQ，则PF1＝2OQ＝2b，PF1⊥PF2，
由PF＋PF＝F1F，得（2b）2＋（2a－2b）2＝（2c）2，
解得＝，故＝.
5．（2018·江苏省扬州树人学校模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N，若∠AMN＝60°，求点M的坐标．
解
（1）因为椭圆C的短轴长为2，离心率为，
所以解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）因为A为椭圆C的上顶点，所以A（0，）．
设M（m,0）（m>0），则kAM＝－.
又AM⊥AN，所以kAN＝，
所以直线AN的方程为y＝x＋.
由消去y，整理得
（2＋3m2）x2＋12mx＝0，
所以xN＝，yN＝×＋，
所以AN＝＝×，
在Rt△AMN中，由∠AMN＝60°，得AN＝AM，
所以×＝×，解得m＝.
所以点M的坐标为.
6．已知椭圆C：
＋y2＝1（常数m＞1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为（2,0）．
（1）若M与A重合，求C的焦点坐标；
（2）若m＝3，求PA的最大值与最小值；
（3）若PA的最小值为MA，求m的取值范围．
解
（1）m＝2，椭圆方程为＋y2＝1，c＝＝，
∴左、右焦点坐标为（－，0），（，0）．
（2）m＝3，椭圆方程为＋y2＝1，设P（x，y），则
PA2＝（x－2）2＋y2＝（x－2）2＋1－
＝2＋（－3≤x≤3），
∴当x＝时，（PA）min＝，
当x＝－3时，（PA）max＝5.
（3）设动点P（x，y），则
PA2＝（x－2）2＋y2＝（x－2）2＋1－
＝2－＋5（－m≤x≤m），
∵当x＝m时，PA取最小值，且＞0，
∴≥m且m＞1，
解得1＜m≤1＋.
7．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1（－，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2.
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
解
（1）因为椭圆C的焦点为F1（－，0），F2（，0），
可设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0）．
又点在椭圆C上，
所以解得
因此，椭圆C的方程为＋y2＝1.
因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3.
（2）①设直线l与圆O相切于点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
则x＋y＝3，
所以直线l的方程为y＝－（x－x0）＋y0，
即y＝－x＋.
由消去y，得
（4x＋y）x2－24x0x＋36－4y＝0.（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝（－24x0）2－4（4x＋y）·（36－4y）
＝48y（x－2）＝0.
因为x0＞0，y0＞0，
所以x0＝，y0＝1.
因此，点P的坐标为（，1）．
②因为△OAB的面积为，
所以AB·OP＝，从而AB＝.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（*）得x1,2＝，
所以AB2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2
＝·.
因为x＋y＝3，
所以AB2＝＝，即2x－45x＋100＝0，
解得x＝（x＝20舍去），则y＝，
代入Δ＝48y（x－2）＞0，满足题意，
因此点P的坐标为.
所以直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
B组 能力提高
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：
＋＝1经过点（b,2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1,0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P.若＝，求直线l的斜率k.
解
（1）因为椭圆＋＝1经过点（b,2e），
所以＋＝1.
因为e2＝＝，所以＋＝1.
因为a2＝b2＋c2，所以＋＝1.
整理得b4－12b2＋32＝0，
解得b2＝4或b2＝8（舍）.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为T（1,0），所以直线l的方程为y＝k（x－1）．
联立直线l与椭圆方程得
消去y，得（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1,2＝，
所以
因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，
联立直线MN与椭圆方程得
消去y，得（2k2＋1）x2＝8，解得x2＝.
因为MN∥l，所以＝.
因为（1－x1）·（x2－1）＝－[x1x2－（x1＋x2）＋1]
＝，
（xM－xN）2＝4x2＝，
所以＝
＝·＝.
（3）在y＝k（x－1）中，令x＝0，
则y＝－k，所以P（0，－k），
从而＝（－x1，－k－y1），＝（x2－1，y2）．
因为＝，
所以－x1＝（x2－1），即x1＋x2＝.
由
（2）知由
解得x1＝，x2＝.
因为x1x2＝，
所以×＝，
整理得50k4－83k2－34＝0，
解得k2＝2或k2＝－（舍）.
又因为k＞0，所以k＝.
9.如图，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，
＝4，直线y＝x＋与圆O：
x2＋y2＝b2相切．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交直线B2P于点E，问直线EF是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
解
（1）因为直线y＝x＋与圆O相切，由点到直线的距离公式得，＝＝b，即b＝1.
又
＝4，所以×2a×2b＝4，所以a＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1，
离心率e＝＝.
（2）由题意知直线B2P的斜率存在，设直线B2P的斜率为k，由
（1）可知，A1（－2,0），B1（0，－1），B2（0,1），
则直线B2P的方程为y＝kx＋1.
由得（1＋4k2）x2＋8kx＝0，
其中xB2＝0，所以xP＝－.
所以P，易知k≠0，且k≠±.
则直线A1P的斜率
＝＝－，
直线A1P的方程为y＝－（x＋2），
令x＝0，则y＝－，即F.
易知直线A1B1的方程为x＋2y＋2＝0，
由解得
所以E，
所以直线EF的斜率k0＝＝－，
所以直线EF的方程为y＝－x－，
即2k（x＋y＋1）－（y－1）＝0，
由得
所以直线EF过定点（－2,1）．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：
从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！
当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！
当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！
你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
升级会员 