大学物理例题.docx
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大学物理例题
例1路灯离地面高度为H，一个身高为h的人，在灯下水平路面上以匀速度
步行。
如图3-4所示。
求当人与灯的水平距离为
时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。
解:
建立如右下图所示的坐标，
时刻头顶影子的坐标为
，设头顶影子的坐标为
，则
由图中看出有
则有
所以有
;
例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率
。
A离地高度保持为h，h=1.5m。
运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H=10m，滑轮半径忽略不计，求：
（1）重物B上升的运动方程；
（2）重物B在时刻的速率和加速度；
（3）重物B到达C处所需的时间。
解：
（1）物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0=H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为
因绳长为
由上式可得重物的运动方程为
（SI）
（2）重物B的速度和加速度为
（3）由
知
当
时，
。
此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。
例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x=2t,y=4t2-8（SI）。
（1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；
（2）求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。
解：
（1）在运动方程中消去t，可得轨道方程为
，
轨道曲线为一抛物线如右图所示。
（2）由
可得:
在t1=1s时，
在t2=2s时,
例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。
解：
本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。
由题意可知，加速度和时间的关系为:
根据直线运动加速度的定义
因为t=0时，v0=0，故
根据直线运动速度的定义有
因为t=0时，x0=0，则位移为
例5
（1）对于作匀速圆周运动的质点，试求直角坐标和单位矢量i和j表示其位置矢量r,并由此导出速度v和加速度a的矢量表达式。
（2）试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心。
解:
（1）由右图可知
式中，
，
，且根据题意
是常数，所以，有
又因
所以
（2）
由上式可见，a与r方向相反，即a指向轨道圆周中心。
6一张致密光盘（CD）音轨区域的内半径R=2.2cm，外半径为R=5.6cm,如右图所示，径向音轨密度N=650条/mm。
在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以
的恒定速度运动的。
这张光盘的全部放音时间是多少？
激光束到达离盘心r=5.0cm处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少？
解:
（1）以r表示激光束打到音轨上的点对光盘中心的径矢，则在dr宽度内的音轨长度为2πrNdr。
激光束划过这样长的音轨所用的时间为dt=2πrNdr/v。
由此得光盘的全部放音时间为
（2）所求角速度为
所求角加速度为
例3两个质量均为m的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。
如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度
转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为
，求质点组对O点的角动量大小及方向。
解:
设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和mv组成的平面垂直）。
角动量的大小为
例6如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。
已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为
，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？
设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。
解：
对m1，由牛顿第二定律
对m2，由牛顿第二定律
对滑轮，用转动定律
又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑
联立解以上诸方程，可得
例7如图5-8所示。
两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。
二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。
今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。
求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。
解：
如图示，由牛顿第二定律
对m1：
对m2：
对整个轮，由转动定律
又由运动学关系
联立解以上诸式，即可得
例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO′转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。
设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，且
开始时m1、m2离地均为h=2m，求：
（1）柱体转动时的角加速度；
（2）两侧细绳的张力；
（3）m1经多长时间着地？
（4）设m1与地面作完全非弹性碰撞，m1着地后柱体的转速如何变化？
解：
设a1、a2分别为m1、m2的加速度，
为柱体角加速度，方向如图5-9（b）所示。
（1）m1、m2的平动方程和柱体的转动方程如下：
式中：
;
;
;
；
联立
（1）、
（2）、（3）式，解得角加速度为
代入数据后得
（2）由
（1）式得
由
（2）式得
（3）设m1着地时间为t，则
（4）m1着地后静止，这一侧绳子松开。
柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m2减速上升。
讨论:
如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1、m2选做一个系统，系统受的合外力矩，则加速度
本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的转动、m1和m2的平动。
例9一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。
（1）二人是否同时达到顶点？
以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？
机械能是否守恒？
系统对滑轮轴的角动量是否守恒？
（2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？
解：
（1）甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相同，因为
所以二人的加速度相同，二人的速度为
因初速度v0=0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。
以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2（T-mg）>0，故系统的动量不守恒。
以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。
显然人在上升中机械能在样加。
但
甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩（M=TR-TR+mgR-mgR）等于零，系统对轴的角动量守恒。
（2）设甲的速度
、乙的速度为
，从解
（1）知二人的速度相等，即
，这个结果也可用角动量守恒得到，因
故
设绳子的牵连速度为v0，设滑轮左侧绳子的v0向下，那么滑轮右侧的v0一定向上，根据速度合成定理
所以
则
讨论:
由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是同时到达顶点。
例12一质量为M，半径为R，并以角速度
旋转着的飞轮，某瞬时有一质量为m的碎片从飞轮飞出。
假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上，如图5-11所示。
求余下圆盘的角速度、角动量。
解：
破裂瞬间，系统对转轴的合外力矩为零，系统角动量守恒
得
余下圆盘角速度不变。
余下圆盘的角动量
例13赤道上有一高楼，楼高h（图5-12）。
由于地球自转，楼顶和楼根对地心参考系都有线速度。
（1）证明：
楼顶和楼根的线速度之差为
，其中
为地球自转角速度。
（2）证明：
一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根东侧约
处。
这就是落体偏东现象。
计算h=30m时，着地点偏东的距离。
（此结果利用了物体下落时“水平”速度不变这一近似处理。
实际上物体下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。
利用这一点，并取楼高对地球半径之比的一级近似，则可得更有为准确的结果
。
）
证：
（1）楼顶的线速度为
楼根的线速度为
。
二者之差
。
（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度
平移，则落体下落时间为
而着地时偏东的距离为
以
代入上式可得
例15一个内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。
管是刚性的，环半径为R。
一质量为m的小球静止于管内最高点A处，如图5-14所示。
由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三种说法是否正确，并说明理由。
（a）地球、环管与小球系统的机械能不守恒。
（b）小球的动量不守恒。
（c）小球对OO′轴的角动量守恒。
辨析
（a）不正确。
对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的功当然为零，环管与小球间的正压力N和N′是一对非保守内力。
在小球下滑过程中，小球受管壁的压力N（与管壁垂直）始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以这一对内力做功之和为零，而且与参考系的选择无关。
系统中只有保守内力（重力）做功，系统的机械能守恒。
（b）正确。
小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。
（c）不正确。
小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO′轴平行，重力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过OO′轴，对OO′轴有力矩，所以小球对OO′的角动量在变化，角动量不守恒。
例如小球在位置A对OO′轴的角动量为零，在B处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴的角动量不再是零，到达最低点C时，对OO′轴的角动量又等于零。
例1 一条均匀链条，质量为m，总长为l，成直线状放在桌面上，如图6-8所示，设桌面与链条之间的摩擦系数系数为
。
现已知链条下垂长度为a时链条开始下滑，试计算链条刚好全部离开桌面时的速率。
解：
运用动能定理计算此题，链条下落过程有重力、摩擦力做功，根据动能定理
当链条下垂y再继续下垂
时，重力功
为
全过程重力的功
桌面摩擦力在链条下滑时做的功为
代入动能定理
解出
例2 在质量m、半径R的圆盘形定滑轮上跨一轻绳，在绳一端施一恒力
，另一端系一质量m，边长为L的立方体，开始时立方体上端面正好与密度为
的液面重合，并在绳子拉动下由静止开始上升，如图6-9。
求：
（1）当立方体一半露出液面时，滑轮与立方体间绳张力；
（2）立方体刚离开液面时的速度。
解：
（1）立方体与滑轮受力分别如图6-10、图6-11所示。
当立方体露出一半时浮力
对立方体，由牛顿第二定律
对滑轮，由转动定律
又由角量与线量关系
解得
（2）取立方体、滑轮、绳、地球为系统
做功的外力有
，
无非保守内力做功
设立方体刚离开液面时速度为v，此时滑轮角速度为
，有
由功能原理
解得：
例3 在光滑水平桌面上放着一静止的木块，其质量为M，质量为m的子弹以水平速度
打击木块。
设子弹在木块中钻行时受到恒定阻力
，求子弹在木块中钻行的距离。
解：
碰撞过程中，子弹在木块中钻行，因受阻力而减速，木块则加速直至和子弹的速度相等为止。
系统水平方向不受外力，动量守恒。
取子弹前进方向为正，碰撞结束时子弹和木块的共同速度为v，则有
对于木块这个质点系，在碰撞过程中，它受的外力为
，根据质心运动定理，质心对地的加速度
相对于木块这个非惯性系，研究子弹的运动时，必须添加惯性力。
在该系统中应用动能定理，有
子弹在木块中钻行的距离为
例4 在一辆小车上固定装有光滑弧形轨道，轨道下湍水平，小车质量为m，静止放在光滑水平面上，今有一质量也为m，速度为v的铁球，沿轨道下端水平射入并沿弧形轨道上升某一高度，然后下降离开小车（如图6-12所示）。
（1）铁球离开小车时相对地面的速度多大？
（2）铁球沿弧面上升的最大高度h是多少？
解：
（1）选铁球与车为系统，对铁球以
水平射入这一过程进行考察，因系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。
设铁球离开小车时对地面的速度为
，小车的速度为
，则有
（1）
在上述过程中，只有重力做功，如果把地球选进系统，系统的机械能守恒，取轨道水平处为势能零点
（2）
由式
（1）、
（2）可得
即铁球离开小车时对地面速度为零。
（2）当铁球上升最大高度h时，它相对于小车的速度为零，因而它对地具有与小车相同的水平速度
，上升过程中铁球、小车与地球系统的机械能守恒，势能零点取轨道水平处。
（3）
同一过程中铁球与小车系统水平方向的动量守恒，于是
（4）
联立（3）、（4）两式可得
例5 劲度系数为k的弹簧，一端固定于墙上，另一端与质量为m1的木块A相接，A与质量为m2的木块B用轻绳相连，整个系统放在光滑水平面上，如图6-13所示，然后以不变的力F向右拉m2，使m2自平衡位置由静止开始运动。
求木块A、B系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力T对m1所做的功，恒力F对m2做的功。
解：
设A、B系统合外力为零时的速度为v，弹簧的伸长量为x，则外力
（f为弹簧对A的拉力）
所以
对A、B组成的系统运用动能定理
A内力表示连结A、B的绳张力做的功，因绳不变形，物体A、B的位移相同，故
将
代入上式得
恒力F做功
以A为对象，运用动能定理
解得拉力的功
例6 如图6-14所示，质量为M，长为l的均匀细杆，可绕A端的水平轴自由转动，当杆自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆下端的距离为a处垂直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角
，试小球击中细杆前的速度。
解：
球与杆碰撞瞬间，系统所受合外力矩为零，系统碰撞前后角动量守恒
（1）
杆摆动过程机械能守恒
（2）
（3）
联立
（1）、
（2）、（3）式，解得小球碰前速率为
例7 一质量为M，半径为R，并以角速度
旋转着的飞轮，某瞬时有一质量为m的碎片从飞轮飞出。
假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上，如图6-15所示。
（1）问碎片能上升多高？
（2）求余下圆盘的角速度、角动量和转动动能。
解：
（1）碎片m的速率
，碎片上升过程机械能守恒
解得
（2）破裂瞬间，系统对转轴的合外力矩为零，系统角动量守恒
得
余下圆盘角速度不变。
余下圆盘的角动量
余下圆盘的转动动能
例8 如图6-16所示，从太阳系外飞入太阳系的一颗流星离太阳最近的距离为
，这时它的速率为
。
若不考虑其他行星的影响，试求这颗流星在进入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄准距离。
解：
对流星飞经太阳附近的过程，由机械能守恒可得
由此得流星进入太阳系之前的速率为
流星受太阳的引力总指向太阳，流星对太阳的角动量守恒
流星飞向太阳的瞄准距离为
例1 2mol氢气在温度为300K时体积为0.05m3。
经过
（1）等温膨胀；或（3）等压膨胀，最后体积都变为0.25m3。
试分别计算这三种过程中氢气对外做的功并说明它们为什么不同？
在同一p-V图上画出这三个过程的过程曲线。
解：
（1）绝热膨胀：
（2）等温膨胀
（3）等压膨胀
由于各过程的压强不同，所以在体积变化相同的情况下，气体对外做的功也不同，这在p-V图（图20-6）上看得很清楚：
各过程曲线下的面积不同。
例2 使一定质量的理想气体的状态按图20-7中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以轴和V轴为渐近线的双曲线。
（1）已知气体在状态A时的温度
，求气体在B，C和D状态时的温度。
（2）从A到D气体对外做的功总共是多少？
解：
（1）AB为等压过程：
，
BC为等温过程：
；
CD为等压过程：
。
（2）
例3 分别通过下列准静态过程把标准状态下0.014kg氮气压缩为原体积的一半。
（1）等温过程；
（2）绝热过程；（3）等压过程。
求：
在这些过程中，气体内能的改变，传递的热量和外界对气体所做的功。
分析 依题意氮气可视为理想气体，且
。
等值、绝热过程的功、热量及内能增量的计算。
解：
已知,
（1）等温过程
（放热）
（2）绝热过程
由
得
（3）等压过程
所以
所以
（放热）
例4 汽缸内有一种刚性双原子分子的理想气体，若使其绝热膨胀后气体的压强减少一半，求变化前后气体的内能之比。
解：
理想气体的状态方程和内能公式
可得
变化前
变化后
由绝热过程方程
即
按题设
，有
，或
对刚性双原子分子
所以
例5 图20-9为一循环过程的T-V曲线。
该循环的工质为
的理想气体，其中
和
均已知且为常量。
已知a点的温度为
，体积为V1，b点的体积为V2，ca为绝热过程。
求：
（1）c点的温度；
（2）循环的效率。
解：
（1）ca为绝热过程，
（2）ab为等温过程，工质吸热
bc为等容过程，工质放热为
循环过程的效率
例7 一台冰箱工作时，其冷冻室中的温度为-10℃，室温为15℃。
若按理想卡诺致冷循环计算，则此致冷机每消耗
的功，可以从冷冻室中吸出多少热量？
解：
由于
所以
J
例1人体一天大约向周围环境散发
热量，试估算由此产生的熵。
设人体温度为
，忽略人进食时带进体内的熵，环境温度取为237K。
解：
将人和环境视为一个孤立系统，人体向周围环境散热可以设计为一个等温过程，环境吸热也可以设计为一个等温过程，于是两个过程的总熵为
例2已知在
时，1mol的冰溶解为1mol的水需要吸收6000J的热量，求
（1）在
时这些水化为冰的熵变；
（2）在
时水的微观状态数与冰的微观状态数之比。
解：
（1）
的冰化为
的水为不可逆过程，为了计算其熵变，可设一可逆的等温过程，于是熵变为
（2）由玻尔兹曼熵公式
可知，熵S与微观状态数有关，若已知两状态的熵变，就可求得微观状态数之比。
由于
所以
1.对于一个系统的熵变，有下面两种说法，判断其正误。
（1）任一绝热过程，熵变
；
（2）任一可逆过程，熵变
。
解答：
（1）说法错误。
由克劳修斯熵公式可知，对可逆绝热过程，熵变
，但对不可逆绝热过程
，即
，熵增加。
（2）说法同样不正确。
可逆的绝热过程系统熵不变。
但对非绝热的可逆过程，吸热时
，放热时
。
2.一杯热水放在空气中，最终杯中水的温度与空气完全相同，结果杯中水的熵减少，这是否与熵增加原理矛盾？
解答：
不矛盾。
熵增加原理只对孤立绝热系统成立。
而杯中的水不是孤立的，也不是绝热系统，因而其熵是可以减少的。
若将杯中的水可、和空气作为一个孤立系统，则系统达到平衡态时，总熵一定是增加的。
3.若一系统从某一初态分别沿可逆过程和不可逆过程到达同一终态，则不可逆过程的熵变大于可逆过程的熵变。
解答：
这种说法不对。
因为熵是态函数，只要初、末状态一定，熵的增量就一定，与过程无关。
难点辨析
1.怎样理解熵是态函数
从可逆卡诺循环出发，对图21-1所示的任一可逆循环过程有
所以必有
仿照保守力做功与路径无关引入了一个态函数那样，可以引入一个态函数
，即熵S是热力学系统的状态函数。
2.熵与内能的比较
熵和内能虽然都是态函数，却是两个不同的概念，它们描述系统的不同性质，具有不同的物理意义。
例如，理想气体向真空膨胀的过程中，系统的内能不变，但熵却要增加，我们还是根据熵的变化来判断过程自发进行的方向的。
另一方面，内能的变化是从量的方面显示过程中的能量转换，而熵的变化则是从质的方面显示能量转换的不可逆行。
3.怎样计算不可逆过程的熵变
对可逆过程，可以利用克劳修斯熵公式计算熵变，即
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