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数字信号处理研究性学习.docx

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数字信号处理研究性学习

《数字信号处理》课程研究性学习报告

DFT近似计算信号频谱专题研讨

【目的】

（1）掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。

（2）理解误差产生的原因及减小误差的方法。

（3）培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。

 

【研讨题目1】基本题

1．利用DFT分析x（t）=Acos（2f1t）+Bcos（2f2t）的频谱，其中f1=100Hz，f2=120Hz

（1）A=B=1;

（2）A=1,B=0.2。

要求选择不同的窗函数。

【题目分析】

由取样定理知，要使信号频谱不混叠，则抽样频率不小于最高频率的两倍，即

。

而要满足信号分辨率的要求，抽样点数

。

FFT点数要求

.以下用控制变量的办法，分别研究fs、N和L对频谱误差的影响。

（1）研究抽样频率fs对频谱误差的影响时，固定N=100（

此处取N=100可认为N带来的误差可忽略）。

【仿真程序1】

N=100;

L=512;

T=1/50;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（311）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表一——抽样频率fs取值原则研究,fs

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

N=100;

L=512;

T=1/125;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（312）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表一——抽样频率fs取值原则研究,fmax

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

 

N=100;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

figure

（1）;

subplot（313）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表一——抽样频率fs取值原则研究,fs>2*fmax'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

 

由结果可知：

在fs2*fmax时均无混叠，这是因为余弦信号是带限信号，只要抽样频率大于最高频率便无混叠。

（2）研究时域抽样点N对频谱误差的影响时，固定fs=600（可保证无混叠）。

。

改变N：

【仿真程序2】

N=10;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

figure

（2）;

subplot（411）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

N=20;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（412）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

N=30;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（413）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N=fs/deltaf,N=30'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

 

N=60;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（414）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N=2*fs/deltaf,N=60'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

可见，当

时，虽然两谱峰有混叠，但基本上可将其分辨出，而当

时，两者完全分离，无混叠。

（3）研究FFT点数L对频谱误差的影响时，固定N=60,fs=600；改变L:

【仿真程序3】

N=60;

L=30;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

figure（3）;subplot（411）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表3——DFT点数L取值原则研究,L

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

 

N=60;

L=62;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（412）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表3——DFT点数L取值原则研究,L>NL=62'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

 

N=60;

L=128;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（413）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表3——DFT点数L取值原则研究,L>NL=128'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

N=60;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（414）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表3——DFT点数L取值原则研究,L>NL=512'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

由实验结果可知，即便L=N,或者稍大于N,也不能保证所得到的曲线是光滑的，在保证运算速度的基础上，应尽量增大FFT点数以确保频谱信息完整。

 

2.而当A=1;B=0.2时由于混叠误差、栅栏效应与两者等值时是一样的道理，因而此处只研究窗函数的长度带来的误差。

改变N值：

1020306090；

【仿真程序4】

N=10;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+0.2*cos（2*pi*f2*t）;

x=x.*hamming（N）';

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

figure

（2）;

subplot（511）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

N=20;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+0.2*cos（2*pi*f2*t）;

x=x.*hamming（N）';

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（512）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

N=30;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+0.2*cos（2*pi*f2*t）;

x=x.*hamming（N）';

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（513）;

plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N=fs/deltaf,N=30'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

 

N=60;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+0.2*cos（2*pi*f2*t）;

x=x.*hamming（N）';

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（514）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N=2*fs/deltaf,N=60'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

 

N=90;

L=512;

T=1/600;

t=（0:

N-1）*T;

f1=100;

f2=120;

x=cos（2*pi*f1*t）+0.2*cos（2*pi*f2*t）;

x=x.*hamming（N）';

y1=fftshift（fft（x,L））;

ws=2*pi/T;

f=（-0.5*ws+（0:

L-1）*ws/L）/（2*pi）;

subplot（515）;plot（f,abs（y1）,'linewidth',1.5）;

title（'图表二——抽样点数N取值原则研究,N=2*fs/deltaf,N=90'）;

xlabel（'f'）;

ylabel（'幅度值'）;

可见使用汉明窗时

也未必就能分得开，这只是一个理论上的分析值，究竟能否分开还需进行实验。

实验结论：

综上，连续时间信号选择合适DFT参数原则为为：

（1）

（非带限信号）；

（2）窗函数的长度参考值是：

矩形窗

，汉明窗

，（但究竟取多少还需进行实验而确定）；

（3）

（在保证运算速度的基础上，应尽量增大L以确保频谱信息完整。

）

 

【研讨题目2】基本题

2．已知一离散序列为

（1）用L=32点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；

（2）对序列进行补零，然后分别用L=64、128、256、512点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；

（3）讨论所获得的结果，给出你的结论。

该结论对序列的频谱计算有何指导意义？

【题目分析】

（1）

（2）两问要求使用不同的DFT点数进行频谱分析，并且分析谱峰值与理论值的差别，进而分析DFT点数对频谱计算的影响。

其程序与结果如下.

【仿真程序】

N=32;

L=32;

k=0:

N-1;

x=sin（0.2*pi*k）;

y=fft（x,L）;

w=2*（0:

L-1）/L;

subplot（511）;plot（w,abs（y）,'linewidth',2）;

title（'L=32'）;

xlabel（'omega/pi'）;

ylabel（'频谱幅度值'）;

L=64;

k=0:

N-1;

x=sin（0.2*pi*k）;

y=fft（x,L）;

w=2*（0:

L-1）/L;

subplot（512）;plot（w,abs（y）,'linewidth',2）;

xlabel（'omega/pi'）;

ylabel（'频谱幅度值'）;

title（'L=64'）;

L=128;

k=0:

N-1;

x=sin（0.2*pi*k）;

y=fft（x,L）;

w=2*（0:

L-1）/L;

subplot（513）;plot（w,abs（y）,'linewidth',2）;

xlabel（'omega/pi'）;

ylabel（'频谱幅度值'）;

title（'L=128'）;

L=256;

k=0:

N-1;

x=sin（0.2*pi*k）;

y=fft（x,L）;

w=2*（0:

L-1）/L;

subplot（514）;plot（w,abs（y）,'linewidth',2）;

xlabel（'omega/pi'）;

ylabel（'频谱幅度值'）;

title（'L=256'）;

L=512;

k=0:

N-1;

x=sin（0.2*pi*k）;

y=fft（x,L）;

w=2*（0:

L-1）/L;

subplot（515）;plot（w,abs（y）,'linewidth',2）;

xlabel（'omega/pi'）;

ylabel（'频谱幅度值'）;

title（'L=512'）;

峰值对应频率的计算：

由于离散非周期序列的L点DFT

是对其

在（0，2

）上的L点等间隔抽样

（1）L=32；由此计算抽样后间隔为

，可知抽样值为0.0625*k，即

00.06250.0.12500.18750.25000.31250.37500.43750.50000.56250.62500.68750.75000.81250.87500.93751.00001.06251.12501.18751.25001.31251.37501.43751.50001.56251.62501.68751.75001.81251.87501.9375

比对仿真所得图表可知（即最接近0.2及1.8），峰值对应的频率为0.1875，1.8125。

（2）L=64；由此计算抽样后间隔为

，所以抽样值为0.03125*k，即

00.03130.06250.09380.12500.15630.18750.21880.2500

0.28130.31250.34380.37500.40630.43750.46880.50000.5313

0.56250.59380.62500.65630.68750.71880.75000.78130.8125

0.84380.87500.90630.93750.96881.00001.03131.06251.0938

1.12501.15631.18751.21881.25001.28131.31251.34381.3750

1.40631.43751.46881.50001.53131.56251.59381.62501.6563

1.68751.71881.75001.78131.81251.84381.87501.90631.9375

1.9688

比对仿真所得图表可知，峰值对应的频率为0.1875，1.8125。

（3）L=128；由此计算抽样后间隔为

，所以抽样值为1/64*k，即

00.01560.03130.04690.06250.07810.09380.10940.1250

0.14060.15630.17190.18750.20310.21880.23440.25000.2656

0.28130.29690.31250.32810.34380.35940.37500.39060.4063

0.42190.43750.45310.46880.48440.50000.51560.53130.5469

0.56250.57810.59380.60940.62500.64060.65630.67190.6875

0.70310.71880.73440.75000.76560.78130.79690.81250.8281

0.84380.85940.87500.89060.90630.92190.93750.95310.9688

0.98441.00001.01561.03131.04691.06251.07811.09381.1094

1.12501.14061.15631.17191.18751.20311.21881.23441.2500

1.26561.28131.29691.31251.32811.34381.35941.37501.3906

1.40631.42191.43751.45311.46881.48441.50001.51561.5313

1.54691.56251.57811.59381.60941.62501.64061.65631.6719

1.68751.70311.71881.73441.75001.76561.78131.79691.8125

1.82811.84381.85941.87501.89061.90631.92191.93751.9531

1.96881.9844

比对仿真所得图表可知，峰值对应的频率为0.2031，1.7969。

（4）L=256；由此计算抽样后间隔为

，所以抽样值为1/128*k，即

00.00780.01560.02340.03130.03910.04690.05470.0625

0.07030.07810.08590.09380.10160.10940.11720.12500.1328

0.14060.14840.15630.16410.17190.17970.18750.19530.2031

0.21090.21880.22660.23440.24220.25000.25780.26560.2734

0.28130.28910.29690.30470.31250.32030.32810.33590.3438

0.35160.35940.36720.37500.38280.39060.39840.40630.4141

0.42190.42970.43750.44530.45310.46090.46880.47660.4844

0.49220.50000.50780.51560.52340.53130.53910.54690.5547

0.56250.57030.57810.58590.59380.60160.60940.61720.6250

0.63280.64060.64840.65630.66410.67190.67970.68750.6953

0.70310.71090.71880.72660.73440.74220.75000.75780.7656

0.77340.78130.78910.79690.80470.81250.82030.82810.8359

0.84380.85160.85940.86720.87500.88280.89060.89840.9063

0.91410.92190.92970.93750.94530.95310.96090.96880.9766

0.98440.99221.00001.00781.01561.02341.03131.03911.0469

1.05471.06251.07031.07811.08591.09381.10161.10941.1172

1.12501.13281.14061.14841.15631.16411.17191.17971.1875

1.19531.20311.21091.21881.22661.23441.24221.25001.2578

1.26561.27341.28131.28911.29691.30471.31251.32031.3281

1.33591.34381.35161

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